Система передачи данных использует циклический код с параметрами (15,9) с образующим полиномом g(x)= x6+x5+x4+x3+1.

Система передачи данных использует циклический код с параметрами (15,9) с образующим полиномом g(x)= x6+x5+x4+x3+1. На вход кодера канала поступает информационная последовательность u=1100 1100 1. Запишите образующую матрицу G заданного кода в каноническом виде. Определите кодовое расстояние кода d0 (dmin). Определите кодовую комбинацию v на выходе кодера. Внесите двойную ошибку (t=2) в любые разряды комбинации v. Вы получили искаженную комбинацию y на входе декодера канала в приемной части. Определите синдром s комбинации y. Ответьте на вопросы: Декодер обнаружил ошибки? (Да, нет, почему??) Сколько различных ненулевых синдромов имеет заданный код? Декодер способен исправить обнаруженные ошибки?

РЕШЕНИЕ
Запишем образующую матрицу заданного кода G, используя заданный образующий полином g(x).
│000000111│
│000001110│
│000011100│
│000111000│
│001110000│
│011100000│
Преобразуем полученную матрицу к каноническому виду.
│000000111│
│000001110│
│000011100│
│000111000│
│001110000│
│011100000│
Минимальный вес кодового слова в образующей матрице Gкан t=3. Следовательно, кодовое расстояние заданного кода d0=3.
Задана информационная последовательность U=110 100 1. Кодовая комбинация v на выходе кодера может быть найдена как произведение V=U×Gкан или можно вычислить проверочные разряды кодовой комбинации через образующий полином g(x)

. Воспользуемся вторым способом.
R(x)=[U(x)×x3]mod g(x)=[(x6+x5+x3+1)×x3]mod(x2+x+1)=x2+x1101001111
V=1001 1101001111
Полученная комбинация делится на заданный образующий полином без остатка, и, следовательно, является разрешенной комбинацией заданного кода.
По заданию при передаче по дискретному каналу возникла комбинация ошибок весом t=3. Пусть вектор ошибки имеет вид (выбираем произвольно) e=0111100