Система представляется в виде технического устройства (аппаратура, производственный агрегат и т.п.), которое имеет три. 2

Система представляется в виде технического устройства (аппаратура, производственный агрегат и т.п.), которое имеет три узла (элемента). Для работы технического устройства достаточно, чтобы работал хотя бы один узел. Система может находиться в следующих четырех состояниях: e1 –все узлы системы работают исправно; e2 – только один узел системы вышел из строя и подлежит восстановлению (ремонтируется или планируется его замена); e3 – два узла системы вышли из строя и восстанавливаются; e4 – все три узла системы вышли из строя и восстанавливаются. Граф системы приведен на следующем рисунке: Интенсивности переходов λij из состояния ei в состояние ej для каждого варианта приведены ниже: № варианта λ12 λ23 λ24 λ31 λ34 λ42 9 4 2 2 1 1 1 Определить: 1. Распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале t ∈[0; 5] с шагом h = 0,5; 2. Вектор финальных вероятностей системы; 3. Эффективность работы системы, если векторы стоимостей состояний системы приведены ниже для каждого варианта. № варианта e1 e2 e3 e4 9 16 7 -3 -16

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова, соответствующую приведенному графу системы:
dP1dt=-4P1+P3dP2dt=4P1-4P2+P4dP3dt=2P2-2P3dP4dt=2P2+P3-P4
Чтобы найти распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале t ∈[0; 5] с шагом h = 0,5 воспользуемся, например, численным методом Эйлера решения дифференциальных уравнений. Считаем, что в начальный момент времени система находилась в состоянии e1 (все узлы системы работают исправно), т.е . вектор начального состояния имеет вид: q=1000
Приведем результаты расчетов:
P1
P2
P3
P4
0 1 0 0 0
0,5 0,1118 0,3091 0,2470 0,3320
1,0 0,0669 0,1986 0,2384 0,4962
1,5 0,0556 0,1922 0,2086 0,5436
2,0 0,0507 0,1912 0,1972 0,5610
2,5 0,0488 0,1908 0,1930 0,5675
3,0 0,0480 0,1906 0,1914 0,5700
3,5 0,0478 0,1905 0,1908 0,5709
4,0 0,0477 0,1905 0,1906 0,5712
4,5 0,0476 0,1905 0,1905 0,5714
5,0 0,0476 0,1905 0,1905 0,5714
Как видим, ко времени t=5 система переходит в установившийся режим.
Определим стационарное распределение вероятностей, для чего левые части системы дифференциальных уравнений приравняем к нулю (в стационарном режиме Pi=const dPidt=0):
0=-4P1+P30=4P1-4P2+P40=2P2-2P30=2P2+P3-P4
Выражая:
P1=14P3;P2=P3;P4=3P3
И подставляя в нормировочное уравнение:
14P3+P3+P3+3P3=1 P3=421
Тогда остальные вероятности:
P1=14P3=121
P2=P3=421
P4=3P3=1221
Получили финальное распределение вероятностей P=121;421;421;1221, которое совпадает с результатом, полученном при численном расчете системы дифференциальных уравнений.

. вектор начального состояния имеет вид: q=1000
Приведем результаты расчетов:
P1
P2
P3
P4
0 1 0 0 0
0,5 0,1118 0,3091 0,2470 0,3320
1,0 0,0669 0,1986 0,2384 0,4962
1,5 0,0556 0,1922 0,2086 0,5436
2,0 0,0507 0,1912 0,1972 0,5610
2,5 0,0488 0,1908 0,1930 0,5675
3,0 0,0480 0,1906 0,1914 0,5700
3,5 0,0478 0,1905 0,1908 0,5709
4,0 0,0477 0,1905 0,1906 0,5712
4,5 0,0476 0,1905 0,1905 0,5714
5,0 0,0476 0,1905 0,1905 0,5714
Как видим, ко времени t=5 система переходит в установившийся режим.
Определим стационарное распределение вероятностей, для чего левые части системы дифференциальных уравнений приравняем к нулю (в стационарном режиме Pi=const dPidt=0):
0=-4P1+P30=4P1-4P2+P40=2P2-2P30=2P2+P3-P4
Выражая:
P1=14P3;P2=P3;P4=3P3
И подставляя в нормировочное уравнение:
14P3+P3+P3+3P3=1 P3=421
Тогда остальные вероятности:
P1=14P3=121
P2=P3=421
P4=3P3=1221
Получили финальное распределение вероятностей P=121;421;421;1221, которое совпадает с результатом, полученном при численном расчете системы дифференциальных уравнений.