Система представляется в виде технического устройства (аппаратура, производственный агрегат и т.п.), которое имеет три

Система представляется в виде технического устройства (аппаратура, производственный агрегат и т.п.), которое имеет три узла (элемента). Для работы технического устройства достаточно, чтобы работал хотя бы один узел. Система может находиться в следующих четырех состояниях: e1 –все узлы системы работают исправно; e2 – только один узел системы вышел из строя и подлежит восстановлению (ремонтируется или планируется его замена); e3 – два узла системы вышли из строя и восстанавливаются; e4 – все три узла системы вышли из строя и восстанавливаются. Граф системы приведен на следующем рисунке: Интенсивности переходов λij из состояния ei в состояние ej для каждого варианта приведены ниже: № варианта λ12 λ23 λ24 λ31 λ34 λ42 8 3 3 1 4 2 2 Определить: 1. Распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале t ∈[0; 5] с шагом h = 0,5; 2. Вектор финальных вероятностей системы; 3. Эффективность работы системы, если векторы стоимостей состояний системы приведены ниже для каждого варианта. № варианта e1 e2 e3 e4 8 22 10 -5 -22

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова, соответствующую приведенному графу системы:
dP1dt=-3P1+4P3dP2dt=3P1-4P2+2P4dP3dt=3P2-6P3dP4dt=P2+2P3-2P4
Чтобы найти распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале t ∈[0; 5] с шагом h = 0,5 воспользуемся, например, численным методом Эйлера решения дифференциальных уравнений. Считаем, что в начальный момент времени система находилась в состоянии e1 (все узлы системы работают исправно), т.е . вектор начального состояния имеет вид: q=1000
Приведем результаты расчетов в точках с шагом h=0,5 (сами расчеты произведем с более мелким шагом h=0,05 для большей точности расчетов):
P1
P2
P3
P4
0 1 0 0 0
0,5 0,3173 0,3476 0,167 0,1683
1,0 0,2408 0,3216 0,163 0,2747
1,5 0,2191 0,3174 0,1592 0,3042
2,0 0,2130 0,3162 0,1583 0,3124
2,5 0,2113 0,3159 0,1581 0,3148
3,0 0,2111 0,3160 0,1581 0,3156
3,5 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
4,0 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
4,5 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
5,0 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
Как видим, уже ко времени t=3 система переходит в установившийся режим.
Определим стационарное распределение вероятностей, для чего левые части системы дифференциальных уравнений приравняем к нулю (в стационарном режиме Pi=const dPidt=0) и добавим к системе нормировочное уравнение:
0=-3P1+4P30=3P1-4P2+2P40=3P2-6P30=P2+2P3-2P4P1+P2+P3+P4=1
Выражая последовательно:
-3P1+4P3=0 P3=34P1
3P2-6P3=0 P2=2P3=32P1
3P1-4P2+2P4=0 P4=32P1
И подставляя в нормировочное уравнение:
P1+32P1+34P1+32P1=1 P1=419≈0,2105
Тогда остальные вероятности:
P2=32P1=619≈0,3158
P3=34P1=319≈0,1579
P4=32P1=619≈0,3158
Получили финальное распределение вероятностей P=419;619;319;619, которое совпадает с результатом, полученном при численном расчете системы дифференциальных уравнений.
Вычисляем эффективность работы системы:
kэф=ieiPi=22∙419+10∙619-5∙319-22∙619=119
Как видим, эффективность система имеет положительно значение.

. вектор начального состояния имеет вид: q=1000
Приведем результаты расчетов в точках с шагом h=0,5 (сами расчеты произведем с более мелким шагом h=0,05 для большей точности расчетов):
P1
P2
P3
P4
0 1 0 0 0
0,5 0,3173 0,3476 0,167 0,1683
1,0 0,2408 0,3216 0,163 0,2747
1,5 0,2191 0,3174 0,1592 0,3042
2,0 0,2130 0,3162 0,1583 0,3124
2,5 0,2113 0,3159 0,1581 0,3148
3,0 0,2111 0,3160 0,1581 0,3156
3,5 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
4,0 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
4,5 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
5,0 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
Как видим, уже ко времени t=3 система переходит в установившийся режим.
Определим стационарное распределение вероятностей, для чего левые части системы дифференциальных уравнений приравняем к нулю (в стационарном режиме Pi=const dPidt=0) и добавим к системе нормировочное уравнение:
0=-3P1+4P30=3P1-4P2+2P40=3P2-6P30=P2+2P3-2P4P1+P2+P3+P4=1
Выражая последовательно:
-3P1+4P3=0 P3=34P1
3P2-6P3=0 P2=2P3=32P1
3P1-4P2+2P4=0 P4=32P1
И подставляя в нормировочное уравнение:
P1+32P1+34P1+32P1=1 P1=419≈0,2105
Тогда остальные вероятности:
P2=32P1=619≈0,3158
P3=34P1=319≈0,1579
P4=32P1=619≈0,3158
Получили финальное распределение вероятностей P=419;619;319;619, которое совпадает с результатом, полученном при численном расчете системы дифференциальных уравнений.
Вычисляем эффективность работы системы:
kэф=ieiPi=22∙419+10∙619-5∙319-22∙619=119
Как видим, эффективность система имеет положительно значение.