В цепи, представленной на рис. 1.1, действует источник (один из пяти возможных) синусоидальной ЭДС

В цепи, представленной на рис. 1.1, действует источник (один из пяти возможных) синусоидальной ЭДС et=Emsinωt+ψ В. Рис. 1.1 1. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме с помощью прикладной математической программы (MathCAD, MathLab и др). 2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований. 3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Допустимая погрешность выполнения баланса мощностей 2%. 5. Определить показания измерительных приборов: амперметра, вольтметра и ваттметра. 6. Методом эквивалентного генератора определить ток в одной из ветвей схемы (номер ветви задается преподавателем).

В соответствии с указанным вариантом исходная схема показана на рис 1.2.
Рис. 1.2
Комплексы сопротивлений элементов имеют значения Z1=R=50 Ом; Z2=jXL=j20 Ом; Z3=R=50 Ом; Z4=jXL=j20 Ом; Z5=-jXC=-j10 Ом.
Мгновенное значение ЭДС:
et=Emsinωt+ψ=20sinωt+120° В.
Комплексное амплитудное значение ЭДС:
Em=Emejψ=20ej120°=-10+j17,321 В
Комплексное действующее значение ЭДС:
E=Em2=20ej120°2=14,142ej120°=-7,071+j12,247 В
1. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи по законам Кирхгофа в комплексной форме с помощью прикладной математической программы (MathCAD, MathLab и др).
Выбираем направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Цепь содержит пять ветвей и три узла. Система уравнений для комплексов действующих значений токов и напряжений включает 5 уравнений, два из которых составлены по I и три по II законам Кирхгофа:
-I1+I2-I3=0I3-I4-I5=0-I1Z1-I2Z2=-EI2Z2+I3Z3+I4Z4=E-I4Z4+I5Z5=0
Подставляя данные, запишем систему уравнений в матричной форме A×I=F:
-11-100001-1-1-50-j200000j2050j200000-j20-j10×I1I2I3I4I5=007,071-j12,247 -7,071+j12,2470
где квадратная матрица A – обобщенная матрица коэффициентов, I – вектор-столбец токов ветвей цепи, F – вектор-столбец входных воздействий.
Составленное матричное уравнение решаем с помощью прикладной программы MathCAD:
В результате получаем:
I1=0,047+j0,244 А
I2=0,003+j0,47 А
I3=-0,044+j0,226 А
I4=0,044-j0,226 А
I5=-0,088+j0,453 А
Напряжения на элементах определяем по закону Ома в комплексной форме.
U1=I1Z1=0,047+j0,244∙60=2,332+j12,192 В
U2=I2Z2=0,003+j0,47∙j20=-9,403+j0,055 В
U3=I3Z3=-0,044+j0,226∙60=-2,194+j11,315 В
U5=U4=I4Z4=0,044-j0,226∙j20=4,526+j0,878 В
2

. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных преобразований.
Выполняя последовательное преобразование схемы, находим эквивалентные сопротивления участков цепи и входное сопротивление цепи:
Z45=Z4∙Z5Z4+Z5=j20∙-j10j20-j10=-j20=20e-j90° Ом
Z345=Z3+Z45=50-j20=53,852e-j21,801° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.3.
Рис. 1.3.
Z1345=Z1∙Z345Z1+Z345=50∙50-j2050+50-j20=25,962-j4,808=26,403e-j10,491° Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.4.
Рис. 1.4.
Zвх=Z12345=Z2+Z1345=j20+25,962-j4,808=25,962+j15,192=30,08ej30,336°Ом
Схема после преобразования показана на рис. 1.5.
Рис. 1.5.
По закону Ома:
I2=EZвх=14,142ej120°30,08ej30,336°=0,47ej89,664°=0,003+j0,47 А
Дальнейший расчет проводится по закону Ома:
U1=I2Z1345=0,47ej89,664°∙26,403e-j10,491°=12,413ej79,173° В
I1=U1Z1=12,413ej79,173°50=0,248ej79,173°=0,047+j0,244 А
I3=U1Z345=12,413ej79,173°53,852e-j21,801°=0,231ej100,974°=-0,044+j0,226 А
U5=U4=I3Z45=0,231ej100,974°∙20e-j90°=4,61ej10,974° В
I4=U4Z4=4,61ej10,974°20ej90°=0,231e-j79,026°=0,044-j0,226 А
I5=U4Z5=4,61ej10,974°10e-j90°=0,461ej100,974°=-0,088+j0,453 А
3. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.
Выбираем масштаб: mu=2 Всм; mi=0,1 Асм