Завод может производить четыре вида изделия А,В,С и D в произвольных комбинациях. По технологии

Завод может производить четыре вида изделия А,В,С и D в произвольных комбинациях. По технологии каждое изделие обрабатывается четырьмя машинами (время обработки в минутах в пересчете на кг готовой продукции показано в таблице). Каждая машина может работать70 ч в неделю. Изделия могут продаваться по следующим ценам: А - $ 9, В - $ 8 С - $ 4, D - $ 6. Переменные затраты на оплату труда составляют $ 3 в час для машин 1 и 2 и $ 4 в час для машин 3 и 4. Материальные затраты составляют $ 2 на каждый кг продукции А и $ 1 на каждый килограмм продукции B, C и D. Сформулируйте задачу линейного программирования, максимизирующую прибыль при заданном максимальном спросе для каждого вида продукции и решите ее. Продукция Машина Максимальный спрос 1 2 3 4 A 2 5 5 2 100 B 5 5 5 7 350 C 4 10 3 3 300 D 6 3 3 5 150 Ответьте на следующие вопросы: 1) Сколько единиц продукта A следует производить для того, чтобы предприятие могло получить максимальную прибыль? 2) Сколько единиц продукта B следует производить для того, чтобы предприятие могло получить максимальную прибыль? 3) Сколько единиц продукта C следует производить для того, чтобы предприятие могло получить максимальную прибыль? 4) Сколько единиц продукта D следует производить для того, чтобы предприятие могло получить максимальную прибыль? 5) Чему равна максимальная прибыль? 6) Продукты каких видов выпускаются в объеме меньшем, чем максимальный спрос? 7) Какие машины предприятие может загрузить дополнительной работой без снижения максимальной прибыли?

Этап. Выбор управляемых переменных.
Управляемые переменные - те экономические показатели, которые являются неизвестными задачи.
В нашем случае - объемы выпуска продукта:
Xi - объем выпуска i-того вида продукта, i = 1, 2,3,4.
2 этап. Анализ существенных ограничений.
Следует учесть только те факторы, которые оказывают существенное влияние на принимаемые решения.
В оптимизационных моделях различают три типа ограничений:
-ресурсные;
-плановые;
-технологические соотношения между группами управляемых переменных.
В нашем случае - ограничения ресурсные (время работы станков).
3 этап. Выбор целевой функции.
Целевая функция в задачах оптимизации - показатель эффективности, который следует оптимизировать.
В нашем случае - это общая прибыль, которую необходимо максимизировать.
4 этап. Построение математической модели.
На этом этапе в виде функции записывается цель задачи и в виде неравенств - ее ограничения.
х1 - объем выпуска продукции А, выручка за единицу для данного вида изделия - $9, тогда 9•х1 - это ожидаемая выручка от реализации всех произведенной продукции вида А.
х2 - объем выпуска продукции В, выручка за единицу для данного вида изделия - $8, тогда 8•х2 - это ожидаемая выручка от реализации всех произведенной продукции вида В.
х3 - объем выпуска продукции С, выручка за единицу для данного вида изделия - $4, тогда 4•х3 - это ожидаемая выручка от реализации всех произведенной продукции вида С.
х4 - объем выпуска продукции D, выручка за единицу для данного вида изделия - $6, тогда 6•х1 - это ожидаемая выручка от реализации всех произведенной продукции вида D.
Можно записать математическое выражение для расчета общей выручки W, которую получит завод после реализации продукции:
W = 9•x1+8 •x2 +4•х3 +6•х4
Для определения прибыли необходимо из выручки вычесть материальные затраты (М) и затраты на оплату труда (О)
В результате можно записать математическое выражение для расчета общей прибыли Z, которую получит завод после реализации продукции:
Z = 9•x1+8 •x2 +4•х3 +6•х4 – M – O max
Материальные затраты рассчитываются по формуле М = 2•x1+1 •x2 +1•х3 +1•х4
Затраты на оплату труда рассчитываются как сумма произведений времени работы каждой машины на расценки оплаты труда.
Запишем выражение для расчета ожидаемых затрат времени обработки на каждом станке.
На изготовление продукции А затрачивается 2 мин рабочего времени машины 1, тогда на весь ожидаемый выпуск продукции А (х1) будет затрачено 2•х1 минут

. Для изготовления продукции В будет затрачено 5•х2 минут. Для изготовления продукции С будет затрачено 4•х3 минут. Для изготовления продукции D будет затрачено 6•х4 минут. Т.о. выражение для расчета времени в часах использования машины 1 на изготовление продукции всех типов, имеет вид:
(2 • x1+5•x2+4•x3+6•x4)/60.
Поскольку затраты времени работы машины 1 не могут превысить имеющийся фонд, то: (2 •x1+5•x2+4•x3+6•x4)/60 ≤ 70
Рассуждая аналогично, запишем ограничения по использованию фонда времени на производство продукции.
Дополнительно есть информация о максимально возможном спросе на продукцию