В урне 1 белый и два черных шара. Случайным образом вынимается 2 шара, затем

В урне 1 белый и два черных шара. Случайным образом вынимается 2 шара, затем один возвращается обратно. Затем из урны вытащили шар и оказался белым. Найти вероятность того, что оба вытащенных первый раз шара были черными.

Находим вероятность того, что первый раз были вынуты два черных шара как отношение числа сочетаний из 2 по 2 черных шара к числу сочетаний из 3 по 2 шара любого цвета:
PH1=C22C32=13
Тогда вероятность вынуть белый шар во втором извлечении равна (в урне два шара, один из которых - белый):
PA|H1=12
Далее, вероятность того, что первый раз были вынуты шары разного цвета:
PH2=1-PH1=1-13=23
Тогда вероятность вынуть белый шар во втором извлечении равна (был возращен шар белого цвета, тогда в урне из двух шаров окажется один белый):
PA|H2=12∙12=14
По формуле полной вероятности находим вероятность вынуть белый шар во втором извлечении:
PA=iPHiPA|Hi=13∙12+23∙14=13
И по формуле Байеса находим вероятность, что в первом случае были вынуты два черных шара, учитывая, что во втором случае был вынут белый шар:
PH1A=PH1PA|H1PA=13∙1213=12