В урне 3 белых и 2 черных шаров. Из нее три раза подряд извлекают

В урне 3 белых и 2 черных шаров. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем первый вынутый шар возвращают в урну, а остальные – нет. Случайные величины: X – число извлеченных белых шаров; Y – число черных шаров. Для заданных случайных величин X и Y: построить таблицу совместного распределения; найти частные распределения для X и Y и вычислить для каждого из них математическое ожидание и дисперсию; найти коэффициент корреляции; определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y.

Построить таблицу совместного распределения
Случайная величина X – число извлеченных белых шаров – имеет следующие возможные значения 0, 1, 2, 3. Случайная величина Y – число черных шаров - имеет следующие возможные значения 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности
p11=PX=0, Y=0=0
p12=PX=0, Y=1=0
p13=PX=0, Y=2=0
p14=PX=0, Y=3=25∙25∙14=125=0,04
p21=PX=1, Y=0=0
p22=PX=1, Y=1=0
p23=PX=1, Y=2=35∙25∙14+25∙35∙24+25∙25∙34=350+325+325=1550=310=0,3
p24=PX=1, Y=3=0
p31=PX=2, Y=0=0
p32=PX=2, Y=1=35∙35∙24+35∙25∙34+25∙35∙24=950+950+325=2450=1225=0,48
p33=PX=2, Y=2=0
p34=PX=2, Y=3=0
p41=PX=3, Y=0=35∙35∙24=950=0,18
p42=PX=3, Y=1=0; p43=PX=3, Y=2=0; p44=PX=3, Y=3=0
Таблица совместного распределения имеет вид
Y
X
0 1 2 3
0 0 0 0 0,04
1 0 0 0,3 0
2 0 0,48 0 0
3 0,18 0 0 0
найти частные распределения для X и Y и вычислить для каждого из них математическое ожидание и дисперсию
Найдем частный ряд распределения для величины Y.
Определим вероятности случайной величины Y при любом значении величины X
p.1=PY=0∀X=PY=0=i=14pi1=0+0+0+0,18=0,18
p.2=PY=1∀X=PY=1=i=14pi2=0+0+0,48+0=0,48
p.3=PY=2∀X=PY=2=i=14pi3=0+0,3+0+0=0,3
p.4=PY=3∀X=PY=3=i=14pi4=0,04+0+0+0=0,04
Частный ряд распределения для величины Y имеет вид
Y
0 1 2 3
pj
0,18 0,48 0,3 0,04
Математическое ожидание Y
my=MY=yjpj=0∙0,18+1∙0,48+2∙0,3+3∙0,04=0,48+0,6+0,12=1,2
Дисперсия Y
DY=MY2-my2=yj2pj-my2=02∙0,18+12∙0,48+22∙0,3+32∙0,04-1,22=0,48+1,2+0,36-1,44=0,6
Найдем частный ряд распределения для величины X.
Определим вероятности случайной величины X при любом значении величины Y
p1.=PX=0∀Y=PX=0=j=14p1j=0+0+0+0,04=0,04
p2.=PX=1∀Y=PX=1=j=14p2j=0+0+0,3+0=0,3
p3.=PX=2∀Y=PX=2=j=14p3j=0+0,48+0+0=0,48
p4.=PX=3∀Y=PX=3=j=14p4j=0,18+0+0+0=0,18
Частный ряд распределения для величины X имеет вид
X
0 1 2 3
pi
0,04 0,3 0,48 0,18
Математическое ожидание X
mx=MX=xipi=0∙0,04+1∙0,3+2∙0,48+3∙0,18=0,3+0,96+0,54=1,8
Дисперсия X
DX=MX2-mx2=xi2pi-mx2=02∙0,04+12∙0,3+22∙0,48+32∙0,18-1,82=0,3+1,92+1,62-3,24=0,6
найти коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции
ρxy=CovX, Yσxσy=mxy-mxmyDXDY
Найдем
mxy=MXY=xiyjpij=3∙0∙0,18+2∙1∙0,48+1∙2∙0,3+0∙3∙0,04=0,96+0,6=1,56
Коэффициент корреляции
ρxy=mxy-mxmyDXDY=1,56-1,8∙1,20,6∙0,6=-0,60,6=-1
определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y
Проверим условие независимости для дискретных случайных величин
pij=pi.∙p.j=PX=xi∀Y∙PY=yj∀X, ∀i,j
p41=0,18≠PX=3∀Y∙PY=0∀X=0,18∙0,18=0,0324