Особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби

 

 

 

 

 

Введение

 

Актуальность. В соответствии с программой по математике в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в V и VI классах. Это значит, что в начальных классах надо создать конкретные представления о доли и дроби.

В настоящее время появляется большое число новых моделей обучения в начальной школе, каждая из которых имеет свой взгляд на данную тему. Так в системе Л.В. Занкова более широко представлена обыкновенная дробь, а также сложение и вычитание обыкновенных дробей. Этой же позиции придер-живается и модель «Школа 2100» и соответствующая ей программа Л.Г. Петерсон. В системе Эльконина – Давыдова наряду с обыкновенной дробью в 4 классе дети знакомятся с десятичными дробями и с правилами их сложения и вычитания1.

Несмотря на то, что доли и дроби изучаются практически во всех современных моделях образования, эта тема до сих пор остается наиболее сложной для учащихся и вызывает у них определенные трудности.

Все вышесказанное позволило определить тему курсовой работы: методика изучения доли и дроби в начальной школе.

Объект исследования: учебно-воспитательный процесс в начальной школе.

Предмет исследования: методические особенности обучения младших школьников понятию доли и дроби.

Цель исследования: выявить особенности методики обучения младших школьников долям и дробям.

Гипотеза исследования: обучение младших школьников долям и дробям будет проходить наиболее эффективно, если учитель будет использовать прак-тический метод.

Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы были определены следующие задачи:

1. Подобрать и изучить методическую и психологическую литературу по данной теме.

2. Раскрыть понятия «доля» и  «дробь».

3. Выявить основные проблемы, возникающие  у учащихся в процессе изучения  данной темы.

4. Раскрыть особенности методики  работы с долями и дробями  в начальной школе.

В первой главе работы рассмотрены теоретические аспекты изучения доли и дроби в начальной школе.

Для написания работы использовалась методическая,  психологическая литература и периодика.

 

Глава 1. Теоретические аспекты изучения доли и дроби в начальной школе.

 

1. История возникновения понятий «доля» и «дробь».

 

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа – 2/3 - у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе      единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; … .  Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей2. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5.  Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача :

«Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски  эта задача решалась так:   Дробь  7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому,   папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

 

 

 

Умели египтяне также умножать и делить  дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной.  А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям3.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12   пути или прочтено  5/12  книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия4.

Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности  не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия 1/288   асса   -  «скрупулус». В ходу были и такие названия: «семис»- половина асса, «секстанс»- шестая его доля, «семиунция»- половина унции, то есть 1/24   асса и так далее. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса  (1/3  асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию ( 2/3 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы5.

 

 

 

1.2. Проблемы изучения долей и  дробей в начальной школе.

 

Рассмотрим проблемы, возникающие у младших школьников при изучении долей и дробей:

- при делении геометрической  фигуры на доли получаются  неравные доли. Учитель должен  обучить получению правильных  долей путем сложения фигуры  на равные части;

- смешивание понятия «доля»  и «дробь». Учитель объясняет  детям, что доля – это 1 часть  от целого (1/2, 1/4, 1/6 и другие), а  дробь – любая другая часть  целого (2/3, 4/8 и так далее). Можно  провести математические диктанты  на разведение этих понятий6;

- ошибки при сравнении дробей. Здесь рассматривается несколько  случаев: 1) если у дробей одинаковые  знаменатели, то больше та дробь, числитель которой больше; 2) если  у дробей одинаковые числители, то больше та дробь, у которой  знаменатель меньше. Сравнение дробей  рассматривают на конкретных  примерах с использованием наглядного  материала. Дети хорошо видят, что  дробь 2/3 больше, чем дробь 2/4, так  как в первом случае делили  на 3 части, а во втором – на 4 части, поэтому во втором случае  сами части получились меньше7;

- ошибки при переводе неправильной  дроби в смешанное число. Данная  операция основывается на делении  с остатком, поэтому перед изучением  данной темы необходимо повторить  деление с остатком. Покажем на  конкретном примере. «Преобразовать  неправильную дробь 21/6 в смешанное  число». Рассуждают: «Так как целое  делили на 6 равных частей и  взяли 21 часть, то целых было несколько. Узнаем, сколько целых частей  умещается в 21. 21: 6 = 3 (ост.3). Значит 21/6 = 3 3/6.» Дети легко приходят  к выводу, что частное, получаемое  в результате деления числителя  на знаменатель, - это целая часть, а остаток – числитель новой  дроби. Знаменатель остается без  изменения8;

- ошибки при переводе смешанного  числа в неправильную дробь. Эта  операция основывается на проверке  деления с остатком, поэтому изучается  после перевода неправильной  дроби в смешанное число. Но  по аналогии дети уже легко  могут сами вывести правило: «Чтобы  перевести смешанное число в  неправильную дробь, нужно целую  часть умножить на знаменатель  и к полученному произведению  прибавить числитель. Это будет  числитель новой дроби. Знаменатель  оставляем без изменения.»9;

- ошибки при сложении и вычитании  дробей. Учащиеся часто складывают/вычитают  и числители, и знаменатели. Для  предупреждения этих ошибок учитель  при объяснении данной темы  должен опираться на наглядный  материал. Данные операции проводятся  в пределах одной геометрической  фигуры10;

- ошибки при выборе решения  задач, связанных с дробями и  долями. Очень часто учащиеся  путают вид задачи и неверно  избирают решение задачи. Учитель  должен работать над различением  видов задач, связанных с дробями. Рассмотрим две задачи на нахождение  доли числа («В классе 32 ученика. Из них 1/4 играют в хоккей. Сколько хоккеистов в классе?») и на нахождение числа по доле(«Сколько стоит книга, если 2/6 часть ее цены составляет 14 р.?»). Дети должны понять, что в задачах первого вида нужно целое (32) делить на знаменатель (4), то есть находить значение одной части, и умножить на числитель дроби (1). В задачах второго вида нужно искать целое. Для этого нужно узнать сколько приходиться на одну часть (делят 14 на 2), а затем умножить на знаменатель, то есть количество частей. Получают целое11.

Очень хорошо данная работа показана в программе по математике Л.Г. Петерсон в 4 классе. Решение задач, связанных с дробями, раскрывается с помощью модели отрезка, на котором хорошо просматривается связь между данными и искомыми12.

Таким образом, большая роль в работе с долями и дробями принадлежит учителю, так как данная тема сложна для учащихся начальной школы. Вся работа ведется в тесной связи с наглядным материалом.

 

 

 

 

Глава 2. Методика изучения долей и дробей в начальной школе.

 

2.1. Методика ознакомления с понятиями «доля» и «дробь» и сравнением долей и дробей.

 

Ознакомление с долями и дробями традиционно начинается в 3 классе. С этой целью предусматривается ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 4 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби,  научить решать задачи на нахождение дроби числа13. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.

Работа над данной темой ведется в 2 этапа.

1. Ознакомление с долями.

Ознакомить детей с долями -  значит сформировать у них  конкретные представления о долях, то есть научить детей образовывать доли практически. Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть14.

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; можно использовать рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах (круги, прямоугольники, треугольники, бруски, отрезки и другие). Очень важно, чтобы пособия были не только у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представления о долях, а позднее о дробях. Будут сформированы тогда, когда ученики будут своими руками получать, например, половину круга, квадрата15.

Познакомить детей с долями можно таким образом. У каждого из учащихся и  у учителя по несколько одинаковых кругов, прямоугольников.   Учитель: «Возьмите два одинаковых круга. Один из них разделите на две равные части (показывает, как надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2) . Покажите их. Возьмите квадрат. Как полу-чить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две  равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.»16

Учащиеся могут сделать это разными способами, например: разрезать квадрат по диагонали и получить два равных треугольника или же разрезать по средней линии, тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части (рис.1.1)

Рисунок 1.1.

 

 

 

 

Учитель: «Как получить одну вторую долю круга (разделить круг на две равные части и взять одну такую часть)? Как получили одну вторую долю квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата?  (Половина круга, половина квадрата.) Сколько половин круга в целом круге (2)?»

Доли записывают с помощью двух чисел. Одна вторая доля круга, квадрата обозначается так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.

Учащиеся записывают на половине круга  1/2 и объясняют, что пока-зывает в этой записи каждое число.

Так же образуются доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски) надо данный отрезок (прямоугольник , полоску) разделить на 5 равных  частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.

Это прежде всего упражнения в назывании и записи долей (рис.1.2.) Назовите и запишите, какая доля квадрата (круга) отрезана (закрашена)17.

Рисунок 1.2.

 

 

 

 

Можно предлагать самим детям изобразить  какую-либо долю отрезка и записать эту долю.

В каждом случае  надо спрашивать, сколько всего долей в целом. Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и другие.

Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же  величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.

Например, предлагается сравнить доли 1/3 и 1/2  и поставить знак « > »,  « < ».

Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков (рис.1.3.). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.

Рисунок 1.3.

1/3

 

1/2

 

 

Решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное  назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе18.

В 3 классе рассматривается только простые задачи, а в 4 классе они включаются в составные.

2. Ознакомление с дробями.

Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

Ознакомление начинается с упражнений вида: «Разделите круг на 4 равные части. Как назвать каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили дробь - три четвертых. Кто сможет записать эту дробь? Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.»19

Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа20.

Для сравнения дробей обычно используются иллюстрации с равными прямоугольниками (рис.1.4.). Учащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник.

Учитель: «Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на  2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.»21

Рисунок 1.4.

 

1
1/2				1/2
1/4		1/4		1/4		1/4
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

 

 

Учитель: «Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?»     Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на рисунок.

Предлагаются специальные вопросы на сравнение дробей22:

1. Вставьте пропущенный знак  « > » ,  «  < »     или  «   = »:

3/8 * 3/4 ;   4/5 * 1 ;   4/8 * 1/2 ;

Подбираете  такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:

5/10 = */2 ;  3/8 > */4 ;   ½ < */4

Выполняя такие и подобные упражнения, учащиеся прибегают к соответствующим иллюстрациям с прямоугольниками, или заново изображают дроби  с помощью, например отрезков.

Конкретный смысл дроби очень ярко раскрывается при решении задач на нахождение доли числа («В классе 32 ученика. Из них 1/4 играют в хоккей. Сколько хоккеистов в классе?»), на нахождение числа по доле(«Сколько стоит книга, если 1/6 часть ее цены составляет 14 р.?»), на нахождение части, которую одно число составляет от другого(«Около дома стоит 8 машин. Из них 3 машины белые. Какую часть всех машин составляют белые машины?»)23. Решение этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий и практического материала24.

Например,   предлагается   задача:   «У   монтёра   было   12   м провода.  2/3   всего провода  он  израсходовал.  Сколько  метров провода израсходовал монтер?»

Учащиеся под руководством учителя выполняют чертеж (рис.1.5.)

Рисунок 1.5.

2/3

12 м

 

- Изобразим отрезком  кусок провода, приняв 1 см за 1 м. Какой длины отрезок надо начертить? (12 см.) Что сказано об израсходованном проводе?  (Израсходовано  2/3 всего провода.)

- Как изобразить израсходованный  кусок провода? (Отрезок разделить на 3 равные части и взять 2 такие части.) Значит, сначала мы 12 разделим на 3. Что этим узнаём? (Чему равна 1/3 провода.) Чему же она равна? (4 м) Затем результат умножим на 2. Что этим узнаем? (Чему равны 2/3 провода.) Сколько же метров провода израсходовал монтер? (8 м.)

Запись: 12:3-2 = 8 (м)  Ответ: 8 м.

В дальнейшем, решая такие задачи, учащиеся должны самостоя-тельно выполнять подобные рассуждения. Например, надо узнать, сколько минут в 3/4 ч. Ученик рассуждает:   «Найду, сколько минут составляет 1/4 ч, для этого 60 разделю на 4, получится  15; теперь найду, сколько минут в 3/4  ч, для этого 15 умножу   на 3,   получится 45;  значит, 3/4  ч — это 45 мин».

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Несколько позднее задачи на нахождение дроби числа должны включаться в составные задачи, например: «Мотоциклист проехал за 3 дня  1250 км. В  первый день он проехал 2/5 всего  пути,  а  во  второй  день 3/10 всего  пути.   Какое  расстояние проехал мотоциклист в третий день?»25

Записывать решение таких задач лучше в виде отдельных действий:

1) 1250:5-2 = 500 (км) — проехал мотоциклист в первый день;

2) 1250: 10-3 = 375 (км) — проехал мотоциклист во второй день;

3) 500 + 375 = 875   (км) — проехал   мотоциклист   за  2   дня;

4) 1250— 875 = 375 (км)— проехал мотоциклист в третий день.

Ответ: 375 км.

Задачи на нахождение дроби числа должны предлагаться для устного и письменного решения. Различные упражнения с дробями следует чаще включать для устных и письменных работ на протяжении всего учебного года.

 

 

Сравнение долей и дробей.

 

Если мы сравниваем между собой какие-нибудь величины, например два отрезка, то может оказаться, что один из них в точности равен другому, или он больше другого, или меньше другого.

На рисунке 12  отрезок AВ   равен  отрезку CD; отрезок EF больше   отрезка QH;   отрезок  KL  меньше   отрезка  MN.

Такие же три случая мы встретим и при сравнении   дробей. Попробуем сравнить между собой некоторые дроби.

1. Две дроби считаются равными, если величины, соответствующие  этим дробям, равны между собой (при одной и той же единице  измерения). Возьмём отрезок СК  и примем его за единицу.

Разделим отрезок СК пополам точкой D (рис. 13). Тогда часть этого отрезка CD мы обозначим дробью 1/2. Если тот же отрезок СК мы разделим на 4 равные части, то отрезок CD выразится дробью 2/4 ; если же мы разделим отрезок СК на 8 равных частей, то отрезку CD будет соответствовать  дробь 4/8. Так как мы три раза брали один и тот же отрезок, то дроби 1/2, 2/4  и 4/8 равны между собой.

2. Возьмём две дроби с равными   числителями: 1/4 и 1/8,   и посмотрим, какие величины им соответствуют. В первом случае некоторая величина разделена на 4 равные части,  а во втором случае о н а  же разделена на 8 равных частей.

Рисунок 14 показывает, что 1/4 больше 1/8. Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше.

3. Возьмём две дроби с равными  знаменателями: 5/8 и 3/8.   Если мы отметим на предыдущем чертеже каждую из этих дробей, то увидим, что отрезок, соответствующий первой дроби, больше отрезка, соответствующего второй. Значит, из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой числитель больше.

4. Если даются две дроби с  разными числителями и знаменателями, то судить об их величине  можно путём сравнения  каждой из них с единицей. Например,2/3 меньше 4/5, потому что первая дробь отличается от единицы на 1/3, а вторая на 1/5, т. е.  у второй дробименьше недостаёт до единицы, чем у первой.

Однако легче всего сравнивать такие дроби путём приведения их к общему знаменателю, о чём будет сказано ниже.

 

 

 

Сравнение долей и дробей.

 

Доли – это равные части, на которые разделили одно целое.

А теперь разделим каждую долю прямоугольника пополам. Получим всего 10 долей

Легко заметить, что долей стало больше, а каждая доля стала меньше. Отсюда следует, чточем больше долей целого, тем меньше каждая доля. А значит:

целое разделили на 5 равных частей, а знаменатель второй дроби показывает, что целое разделили на 10 равных частей. Помним, что чем больше долей, тем меньше каждая доля.

Исходя из этого, можно сделать вывод: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

·         числители дробей одинаковые, равны 3;

·         

·         

·         

Покажем это на рисунке.

•                    знаменатели этих дробей одинаковые и показывают, что целое разделили на 9 равных частей;

•                    

•                    

•                    4 части целого будут меньше 7 частей целого;

•                    

Покажем это на рисунке.

Исходя из этого, можно сделать вывод: из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

 

 

 

 

 

 

2.2. Методика  работы над задачами  с долями и дробями .

 

 

 

Начнем с небольшой исторической справки о задачах на дроби. Эти задачи являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для обозначения дробей с числителем 1. Единственным исключением была дробь 2/3, для которой имелось соответствующее обозначение. Не случайно поэтому в тексте одной из задач папируса Ахмеса находим выражение«две трети от трети скота» (см. № 162) — выразить эту часть стада дробью 2/9 египтяне еще не могли. В том же папирусе Ахмеса встречается задание «Разделить 7 хлебов между 10 лицами», ответ к которому в современной записи можно выразить так: 2/3 + 1/30. Решение более сложных задач на дроби, аналогичных задаче 172, было для египтян довольно сложной проблемой.

Гораздо позже Анания Ширакаци (Армения, VII в.) записал ответ в одной из задач в виде:1/41/61/121/22, что выражает дробь 6/11, получающуюся сложением указанных дробей.

Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». Это обстоятельство как будто бы отразилось и на методике обучения решению задач на дроби. До сих пор методисты особо выделяют аликвотные дроби, называя их «долями», и различают терминологически, например, нахождение доли числа и дроби числа. Спору нет, изучение дробей должно начинаться с аликвотных дробей также как обучение решению составной задачи — с выделения его первого шага. Но ниоткуда не следует, что методическая терминология учителя должна доводиться до учащихся и быть их рабочей терминологией. Тем более, что теперь дробь не определяется как доля или совокупность нескольких долей, как это было в учебниках А.П. Киселева или И.Н. Шевченко. В противном случае с дробями, частями и долями будет трудно избежать вряд ли понятных ученикам формулировок вроде такой: «Вы умеете решать задачи на нахождение числа по заданной его доле. Научимся решать задачи на нахождение числа по заданной его дроби». [3, с. 167] Мы считаем малополезным для учащихся выделение «долей» из всех дробей и задач на нахождение доли числа и числа по его доле из соответствующих задач на дроби, так как в русском языке слова «доля» и «часть» являются синонимами. Слово «доля» употребляют и в тех случаях, когда часть не выражается аликвотной дробью. Имея в виду, что часть числа может быть выражена обыкновенной дробью (в том числе аликвотной), десятичной дробью или в процентах, мы будем говорить о нахождении части числа и числа по его части как общих задачах, частные случаи которых приводят к нахождению доли, процентов числа и обратным задачам. Это небольшое терминологическое уточнение позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения простейших задач на дроби и проценты. Однако проблема не только в терминологии.

В прошлые годы задачам на дроби уделялось много внимания в начальной школе. Теперь в этом вопросе произошли существенные изменения, о которых не всегда знают учителя, работающие в 5–6 классах. Вернемся на несколько лет назад и рассмотрим задачи на дроби в учебнике математики для 3 (выпускного для начальной школы) класса 1976 года издания. Еще до раздела «Дроби» в нем имеется 8 задач на нахождение доли числа и 3 задачи на нахождение числа по его доле. Причем в первых задачах каждого типа доли записывались словами, а потом — с помощью дроби. Даже эти первые задачи были составными — в 3–4 действия. Правда, простые задачи, связанные с долями (в том числе и с обозначением долей в виде дроби) встречались до этого в учебнике для 2 класса.

В разделе «Дроби» после разнообразной работы по формированию самого понятия «дробь», знакомства с терминами «числитель», «знаменатель», после приведения дробей к новому знаменателю и сравнения дробей с разными знаменателями (все с опорой на рисунки) давался образец решения задачи на нахождение дроби числа в два действия. Дальше на 100 страницах учебника были разбросаны 32 задачи на нахождение дроби числа и 5 задач на нахождение числа по его доле (четыре из них составные). Чтобы читатель получил представление о быстроте нарастания сложности задач, приведем шестую после разобранного образца задачу на нахождение дроби числа и следующую за ней задачу на нахождение числа по его доле.

574. Автотуристы за три дня проехали 360 км; в первый день они проехали 2/5, а во второй день — 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

575. Отец купил сыну костюм за 24 р., на что израсходовал 1/3 своих денег. После этого он купил несколько книг, и у него осталось 39 р. Сколько стоили книги? [14]

Разумеется, недостаток более простых задач и большие временные перерывы между задачами не позволяли добиваться хороших результатов в обучении, но эти и другие недостатки можно было легко устранить. Однако при переходе к четырехлетнему обучению в начальной школе произошла странная вещь — дроби вообще исчезли из учебников. Программа по математике 1988 года предусматривала обучение детей лишь нахождению доли числа и числа по его доле в 3 классе и решение задач на нахождение нескольких долей числа в 4 классе [20]. Но и это требование программы не было выполнено в новом комплекте учебников под редакцией Ю.М. Колягина. Если в учебнике для 4 класса содержится около 16 задач первого и 4 задач второго типа (в учебнике для 3 класса — 18 и 14 соответственно), то в нем нет ни одной задачи на нахождение нескольких долей числа. Таким образом, в начальной школе не предполагалось обучение школьников нахождению дроби числа и числа по его дроби.

Здесь нам хочется подчеркнуть, что требования программы 1988 года являлись шагом назад даже по сравнению с требованиями программы трехлетних начальных народных училищ, утвержденной в 1897 году, в которой на втором году обучения предполагалось знакомство учащихся с долями, а на третьем — вычисления с ними. В программе был указан «наибольший размер сведений о долях, какие могут быть допускаемы... : 1) нахождение одной или нескольких частей, которые сами выражаются целым числом; 2) нахождение таких частей единицы, которые наиболее употребительны в жизни (например, 1/2, 1/4, 1/8, 1/10, 1/5, 1/3, 1/6);  
3) употребление нескольких из числа уже знакомых долей единицы, 4) образование целых из частей единицы и выражение целых в долях единицы; 5) сложение и вычитание одинаковых частей единицы; 6) повторение частей единицы несколько раз; 7) нахождение по целому части и по части целого, когда и данное, и искомое суть целые числа; 8) сложение и вычитание различных долей могут быть допущены только относительно употребительнейших в жизни случаев, например 1/2 с 1/8, и если ученики сейчас же угадывают, в каких долях может быть выражена сумма. Все эти упражнения могут быть допускаемы только при решении задач, без всяких теоретических объяснений и выводов».