Пространственные механизмы

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» 
 

Факультет вычислительной математики и кибернетики 

Кафедра математического обеспечения ЭВМ 
 
 
 
 
 

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА 

 3D моделирование кинематики рычажных механизмов 
 
 
 

Допущен к защите:______________

Заведующий  кафедрой МО ЭВМ

д.ф.-м.н., проф.

___________________ Стронгин Р.Г.

     Подпись

«___»__________2011 г.

Выполнил: студент группы 8403

___________________   Денисова А.В.

      Подпись 

Научный руководитель:

профессор, д.т.н.

___________________ Турлапов В.Е.

      Подпись 
 
 

Нижний  Новгород

2011 

Оглавление 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

  Одной из  ведущих отраслей современной  техники является машиностроение. По уровню развития машиностроения судят  о развитии производительных сил  в целом.

Прогресс  машиностроения в свою очередь определяется созданием новых

высокопроизводительных  и надёжных машин. Решение этой важнейшей  проблемы основывается на комплексном  использовании результатов многих дисциплин и, в первую очередь, теории механизмов и машин.

Теория  механизмов и машин - наука об общих методах исследования

свойств механизмов и машин и проектировании их схем.

    Известными  примерами механизмов являются шасси, механизация крыла и механизмы  управления самолётов, роботы-манипуляторы последовательной и параллельной структуры (в том числе платформы Стюарта) и др. Проектирование названных технических систем осуществляется сегодня с использованием CAD-систем, таких как “AutoCad” или “Компас”. Эти системы позволяют абсолютно точно спроектировать конструкцию механизма и его деталей до мельчайших подробностей, но обычно не позволяют выполнять структурный анализ и какие-либо расчеты работы этого механизма.

    Основной  задачей научной работы, является теоретическая проработка, проектирование и создание программной системы, позволяющей проектировать кинематику механизмов. Программа должна иметь удобный для пользователя графический интерфейс, обладающий возможностью трехмерного моделирования аналога структурных схем механизмов.

    В начале данной работы делается краткое  введение в предметную область: теорию механизмов и машин и ставятся постановки решаемых задач и разрабатываются  теоретические методы их решения. Затем вырабатываются требования к программной системе и средствам программирования для её создания. Выполняется проектирование программы: разрабатываются типы данных для представления механизмов, определяются способы решения основных проблем.  
 
 
 
 
 

1. Описание предметной  области:  
теория механизмов и машин

1.1 Структура строения механизма

  1.1.1 Общее понятие механизма

    Перед тем, как начать подробное описание структуры механизма, дадим самое  общее понятие механизма, не базирующееся на других понятиях:

Механизм - это совокупность взаимосвязанных твёрдых тел, предназначенная для преобразования входов на одном или нескольких твёрдых телах в выходы на других твёрдых телах.

    Данное  определение объясняет назначение любого механизма, заключающееся в  преобразовании движения, но не даёт точного  понимания структуры этого механизма. В следующих разделах, я перейду к подробному описанию структурных элементов механизма и способов их взаимодействия. После этого будет дано более точное определение механизма, описывающее его структуру.

1.1.2 Звенья механизмов

Звенья – это твёрдые тела, из которых образуется механизм. При этом имеются в виду как абсолютно твёрдые, так и деформируемые и гибкие тела (в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только абсолютно твёрдых тел). Звеном может быть либо одна деталь, либо несколько деталей, соединённых в одну неизменяемую систему.

    Звенья  различают по конструктивным признакам (коленчатый вал, шатун, поршень, зубчатое колесо и т. д.) и по характеру движения - например:

• кривошип – звено, вращающееся на полный оборот, вокруг неподвижной оси;
• коромысло – звено, вращающееся на не полный оборот;
• ползун – звено, совершающее поступательное прямолинейное движение;
• стойка – неподвижное звено механизма;

    Понятие неподвижности стойки для механизмов транспортных машин, в частности  летательных аппаратов, - условное, поскольку в этом случае сама стойка движется.

    Если  рассматривать звено свободным, т. е. не связанным с другими звеньями, то оно имеет шесть степеней подвижности.

Степенью  подвижности твердого тела называется возможность тела совершать движение, определяемое одним независимым параметром (понятие из теоретической механики).

    Сложное движение свободного звена можно  разложить, как это делается в  теоретической механике, на два составляющих движения, а именно: на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой, называемой полюсом, и вращательное движение вокруг этого  полюса. В свою очередь, поступательное движение звена определяется законом изменения координат х, у, z полюса. Для определения вращательного движения достаточно знать закон изменения, например, трех углов Эйлера - угла прецессии , угла нутации и угла собственного вращения . Таким образом, шесть величин х, у, z, , и являются шестью независимыми параметрами, определяющими движение свободного звена. Каждому такому параметру соответствует одно простое движение. В связи с этим сложное движение звена можно разложить на шесть простых составляющих движений.

    Характер  относительного движения подвижно-соединённых звеньев зависит только от мест их соединения.

Геометрическим  элементом называется место соединения одного звена с другим звеном. Геометрическим элементом может являться совокупность поверхностей, линий и точек звена, входящих в соприкосновение (контакт) с другим звеном.

    Для того чтобы элементы пары находились в постоянном соприкосновении, пара должна быть замкнута геометрическим (за счёт конструктивной формы звеньев) или силовым (силой тяжести, пружиной, силой давления жидкости или газа) способом.

    Одно  звено может иметь несколько геометрических элементов. Таким образом, для звена, подлежащего изучению в теории механизмов, характерным и главным являются форма геометрических элементов и их взаимное расположение на звене. Все другие факторы, как-то: материал, форма, конструкция звеньев, не отражают их относительного движения и поэтому не подлежат изучению в теории механизмов.

    Кроме того, в теории механизмов пренебрегают также малыми деформациями звеньев, т. е. рассматривают механизмы с абсолютно твердыми звеньями, в отличие от механизмов реальных, в которых происходят и деформации звеньев и изменения их размеров вследствие неточности их  изготовления.

    Различаю  входные и выходные звенья механизма:

• Выходным называю звено, совершающее движение, для которого предназначен механизм;
• Входным называю звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемое движение выходного звена.

    Число входных звеньев обычно равно  числу степеней свободы механизма, т. е. числу его обобщённых координат, но возможно и не совпадение их.

1.1.3 Кинематические пары

Кинематической  парой (сокращённо - парой) называют подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев.

    Всякая  кинематическая пара ограничивает движение соединяемых звеньев.

Ограничение, наложенное на движение твёрдого тела, называется условием связи.

    Таким образом, кинематическая пара накладывает условия связи на относительное движение двух соединяемых звеньев. Очевидно, что наибольшее число условий связи наложенное кинематической парой, равно пяти.

    Различное число условий связи, накладываемых  на относительное движение звеньев кинематическими парами, позволяет разделить последние на 5 классов, так что пара k-го класса накладывает k условий связи, где kÎ{1,2,3,4,5}. Отсюда следует, что кинематическая пара k-го класса допускает в относительном движении звеньев 6-k степеней подвижности.

    Следует заметить, что в механизмах применяются  кинематические пары только пятого, четвертого и третьего классов. Кинематические же пары первого и второго классов  не нашли применения в существующих механизмах.

    Так как звенья соприкасаются геометрическими элементами, то, очевидно, кинематическая пара представляет собою совокупность таких элементов соединяемых звеньев. Отсюда следует, что характер относительного движения соединяемых звеньев зависит от формы геометрических элементов. Это относительное движение одного звена по отношению к другому может быть получено, если одно из двух соединяемых звеньев сделать неподвижным, а другому сообщить движение, допускаемое связями, накладываемыми кинематической парой.

    Любая точка подвижного звена описывает в относительном движении траекторию, которую для краткости будем называть траекторией относительного движения. Если траектории относительного движения таких точек являются плоскими кривыми и располагаются в параллельных плоскостях, то пара называется плоской. В случае пространственных кинематических пар указанные траектории относительного движения представляют собою пространственные кривые.

    Кроме разделения по классам, кинематические пары так же делят в зависимости  от типа геометрического элемента пары:

• высшие пары – это пары, в которых при соединении двух звеньев контакт осуществляется лишь на кривых или точках;
• низшие пары – это пары, в которых при соединении двух звеньев контакт осуществляется по поверхностям.

    Высшие  кинематические пары применяются для уменьшения трения в элементах этих пар и часто реализуются в качестве роликов или подшипников. Но особенности внутреннего строения таких элементов, в общем случае, не влияют на относительное движение соединяемых парой звеньев. Существуют так же определённые приёмы, позволяющие заменять механизмы с высшими кинематическими парами их аналогами с низшими парами (что позволяет упростить исследование кинематики механизма в дальнейшем). Поэтому далее мы будем рассматривать только механизмы с низшими парами.

    Низшие  кинематические пары наиболее часто  применяются на практике и имеют  более простое внутреннее строение, по сравнению с высшими парами. Элемент низшей кинематической пары представляет собой две скользящие друг по другу поверхности, что, с  одной стороны распределяет нагрузку в этом элементе, а с другой стороны увеличивает трение при относительном движении звеньев. В связи с этим, использование низших кинематических пар позволяет передавать значительную нагрузку от одного звена на другое, благодаря именно тому, что в этих парах звенья соприкасаются по поверхности.

    В таблице 1 приведены примеры кинематических пар всевозможных классов. В таблице для каждой из пар указано её название, рисунок и условное обозначение на схеме. Далее будут приведены дополнительные пояснения для наиболее часто используемых пар из этой таблицы.

    Вращательная  пара – одноподвижная (условное обозначение ”1 В”), допускает лишь относительное вращательное движение звеньев вокруг оси. Звенья пары соприкасаются по цилиндрической поверхности, следовательно, это низшая пара, замкнутая геометрически. Роль такой кинематической пары выполняет и более сложная конструкция – шарикоподшипник.

    Поступательная  пара – одноподвижная (условное обозначение ”1 П”), с геометрическим замыканием, низшая, допускает лишь прямолинейное поступательное относительное движение звеньев.

    Цилиндрическая  пара – двухподвижная (”2 Ц”), с геометрическим замыканием, низшая, допускает независимое вращательное и поступательное относительное движение звеньев.

    Сферическая пара – трёхподвижная (”3 С”), с геометрическим замыканием, низшая, допускает три независимых относительных вращения звеньев вокруг осей x, y, z.

    Сферическая пара с пальцем – двухподвижная (”2 С”), с геометрическим замыканием, низшая, допускает два независимых относительных вращения звеньев вокруг осей, определяемых прорезью и пальцем (добавленным к сферической паре).

Таблица 1.1: классификация кинематических пар по числу степеней свободы 
и числу связей

    Винтовая  пара – одноподвижная, с геометрическим замыканием, низшая, допускает относительное винтовое движение звеньев с постоянным шагом. Угловые и линейные перемещения звеньев винтовой пары имею однозначное соответствие, в результате чего остаётся только одна степень подвижности.

    Плоскостная пара, цилиндр-плоскость и шар-плоскость пары используют силовое замыкание, причём первая из них низшая, а две другие высшие. Эти пары практически не применяются в реальных механизмах и описаны в данном обзоре для полноты представления классификации кинематических пар.

    Пары  так же разделяют по типу относительного движения соединяемых звеньев на обратимые и необратимые:

• Обратимые кинематические пары допускают один и тот же вид относительного движения независимо от того, какое из звеньев условно выбрано неподвижным. Если кинематическая пара одноподвижная, то она однозначно обратимая;
• Необратимые кинематические пары допускают различные виды относительного движения соединяемых звеньев в зависимости от того, какое из них условно принято неподвижным.

    В качестве необратимых пар в существующих механизмах применяются кулачковые пары, пары зацепления (различного вида зубчатые пары), фрикционные пары с  гибкими звеньями. Изучение относительных  движений звеньев, соединения которых  представляют собой указанные пары, можно осуществить лишь при рассмотрении механизмов в целом, так как с помощью необратимых пар нельзя образовать двухзвенные механизмы, как это можно сделать с помощью обратимых пар. Изучение необратимых пар выходит за рамки данной работы и будет нами пропущено.

1.1.4 Кинематические цепи

Кинематической  цепью называют систему звеньев, образующих между собой кинематические пары.  Кинематические цепи бывают простыми и сложными:

• Простой кинематической цепью называется такая цепь, у которой каждое звено входит не более чем в две кинематические пары.
• Сложной кинематической цепью называется цепь, в которой имеется хотя бы одно звено, входящее более чем в две кинематические пары.

    Простые и сложные кинематические цепи, в  свою очередь, делятся на замкнутые и разомкнутые:

• Простой замкнутой кинематической цепью называется простая кинематическая цепь, каждое звено которой входит в две кинематические пары.
• Простой разомкнутой кинематической цепью называется простая кинематическая цепь, в которой есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару.
• Сложной замкнутой кинематической цепью называется такая сложная кинематическая цепь, каждое звено которой входит, по крайне мере, в две кинематические пары.
• Сложной разомкнутой кинематической цепью называется такая сложная кинематическая цепь, в которой имеются звенья, входящие в одну кинематическую пару.

1.1.5 Виды механизмов и их структурные схемы

    Теперь, когда введены основные понятия  теории механизмов, можно дать новое  определение механизма, более точно описывающее его структуру:

Механизмом – это кинематическая цепь, в состав которой входит неподвижное звено (стойка), и число степеней свободы которой равно числу обобщённых координат, характеризующих положение цепи относительно стойки.

    Движение  звеньев механизма рассматривается  по отношению к неподвижному звену  – стойке. Те звенья, которые соединяются  со стойкой, образуя пары пятого класса, передают на неё усилия и носят  названия основных звеньев. Из числа последних выделяют входные звенья, закон движения которых является заданным.

    Механизмы классифицируют по различным признакам, и в первую очередь их делят  на механизмы с низшими и высшими парами; те и другие могут быть плоскими и пространственными.

Плоским называется механизм, все подвижные точки которого движутся в параллельных плоскостях.

Пространственным называют механизм, подвижные точки которого описывают неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях.

    Наиболее  распространённые механизмы с низшими  парами – рычажные, клиновые и винтовые; с высшими парами – кулачковые, зубчатые, фрикционные, мальтийские и храповые.

    При изображении механизма на чертеже  различают его структурную схему с применением условных обозначений звеньев и пар (без указания размеров звеньев) и кинематическую схему с размерами необходимыми для кинематического расчёта. На схемах звенья обозначают цифрами, а пары и различные точки звеньев – буквами (с указанием числа степеней подвижности). Очевидно, кинематическая схема механизма не изображает его действительного устройства, а может быть использована лишь для кинематического или динамического исследования.

    В качестве примера, на рис. 1.1 a) приведено конструктивное изображение  
V-образного механизма авиационного двигателя, а на рис 1.1 б) – его

    структурная схема. В некоторых случаях применяют  полу схематическое изображение  механизмов, представляющее собою нечто  среднее между конструктивным чертежом и структурной схемой.

1.2Механизм и его подвижность

1.2.1 Структурная формула

    Существуют общие закономерности в структуре (строении) самых различных механизмов, связывающие число степеней свободы W механизма с числом звеньев и числом и видом его кинематических пар. Эти закономерности носят название структурных формул механизмов.

Под числом степеней подвижности механизма (обозначение W) будем понимать число независимых параметров, определяющих положение всех подвижных звеньев механизма.

    Такими  параметрами являются независимые координаты, определяющие положения входных звеньев. Очевидно, число степеней подвижности будет равно числу всех входных звеньев.

    Для пространственных механизмов в настоящее  время наиболее распространена формула Малышева, вывод которой производится следующим образом.

    Введём  обозначения следующих числовых величин:

• m – число звеньев (включая стойку);
• p₁, p₂, p₃, p₄, p₅ – число одно-, двух-, трёх-, четырёх- и пятиподвижных пар;
• n=m-1 – число подвижных звеньев механизма;

    Если  бы все подвижные звенья были свободными телами, общее число степеней свободы  было бы равно 6n. Однако каждая одноподвижная пара V-го класса, накладывает на относительное движение звеньев, образующих пару 5 связей, каждая двухподвижная пара IV-го класса – 4 связи и т. д. Следовательно, общее число степеней свободы, равное шести, будет уменьшено на величину:

        (1.1)

    В общее число наложенных связей может  войти некоторое число q избыточных (повторных) связей, которые дублируют другие связи, не уменьшая подвижности механизма, а только обращая его в статически неопределимую систему. Поэтому число степеней свободы пространственного механизма, равное числу степеней свободы его подвижной кинематической цепи относительно стойки, определяется по следующей формуле Малышева:

       (1.2)

    При q=0 механизм – статически определимая система, при q>0 – статически неопределимая система. В частном случае, если число степеней подвижности механизма W найдено из геометрических соображений, то из формулы (1.2) можно найти число избыточных связей q и решить вопрос о статической определимости механизма. Или же, зная, что механизм статически определимый можно найти W.

    Если  избыточных связей нет (q=0), сборка механизма происходит без деформирования звеньев, последние как бы самоустанавливаются; поэтому такие механизмы называют самоустанавливающимися. Если избыточные связи есть, то сборка механизма и движение его звеньев становится возможным только при деформировании последних.

    Для плоских механизмов без избыточных связей структурная формула носит  имя П. Л. Чебышева, впервые предложившего её в 1869 году для рычажных механизмов с вращательными парами и одной степенью свободы. В настоящее время формула Чебышева распространена на любые плоские механизмы и выводится с учётом избыточных связей следующим образом.

    Пусть в плоском механизме, имеющем  m звеньев (включая стойку), n=m-1 – число подвижных звеньев, p_н – число низших пар и p_в – число высших пар. Если бы все подвижные звенья были свободными телами, совершающими плоское движение, общее число степеней свободы было бы равно 3n. Однако каждая низшая пара накладывает на относительное движение звеньев, образующих пару, две связи, а каждая высшая пара накладывает одну связь, оставляя 2 степени свободы.

    В число наложенных связей может войти  некоторое число q_п избыточных (повторных) связей, устранение которых не увеличивает подвижности механизма. Следовательно, число степеней свободы плоского механизма, т.е. число степеней свободы его подвижной кинематической цепи, относительно стойки, определяется по следующей формуле Чебышева:

          (1.3)

    Индекс  “П” напоминает о том, что речь идёт об идеально плоском механизме, или, точнее, о его плоской схеме, поскольку за счёт неточностей изготовления плоский механизм в какой-то мере является пространственным.

    По  формулам (1.2), (1.3) проводят структурный анализ имеющихся механизмов и синтез структурных схем новых механизмов.

1.2.2 Пассивные связи и лишние степени свободы

Пассивной связью можно назвать дополнительное звено, которое не накладывает ограничений на движение механизма. Обычно она вводится для увеличения жёсткости механизма или перевода механизма через особые положения, в которых наблюдается неопределенность движения звеньев.

    В так называемом “механизме параллельных кривошипов” (рис. 1.2, а) звено 3 может  изменить направление вращения при неизменном направлении вращения ведущего звена 1, когда механизм приходит в горизонтальное положение. Для того чтобы этого избежать, в состав механизма включают дополнительное звено 4.