Аппроксимация кривых разгона методом площадей

Содержание

 

1. Введение	5
2. Объекты регулирования и их  характеристики	6
2.1. Классификация объектов  регулирования	6
2.2. Свойства объектов	7
3. Методы определения  свойств объекта	9
3.1. Аналитическое описание  объекта	9
3.2. Определение передаточных функций по кривой разгона	15
3.2.1. Снятие кривой  разгона	15
3.2.2. Определение  передаточной функции одноемкостных  объектов	16
3.2.3. Определение  передаточной функции двухемкостного  объекта	17
3.2.4. Определение передаточной функции методом последовательного логарифмирования	18
3.2.5. Определение  передаточной функции объекта  методом площадей	20
4. Выбор регулятора	22
4.1. Выбор типа регулирования	22
4.2. Выбор закона  регулирования	23
4.3. Реализация законов регулирования	24
5. Оптимальная настройка регуляторов	26
5.1. Критерии оптимальной настройки  регулятора	26
5.2. Расчет запаса  устойчивости методом расширенных  амплитудно – частотных характеристик	28
5.2.1. П, И, ПИ - законы регулирования	28
5.2.2. ПИД - закон  регулирования	29
5.2.3. Расчет оптимальной  настройки	29
5.3. Расчет запаса  устойчивости по величине максимума  АЧХ  замкнутой системы	32
5.3.1. АФХ системы  с П - регулятором	34
5.3.2. АФХ системы  с И - регулятором	34
5.3.3. АФХ системы  с ПИ - регулятором	35
5.3.4. АФХ системы с ПИД-регулятором	35
5.3.5. Пример расчета  настройки ПИ - регулятора	36
5.3.6. Расчет настройки  реальных ПИД - регуляторов	38
5.4. Расчет настройки  регуляторов в режиме диалога	39
5.5. Экспериментальный  метод определения настроек регулятора	43
5.6. Расчет параметров  настройки микропроцессорных систем  автоматического регулирования	45
6. Настройка регуляторов,  выполненных на основе микропроцессорных контроллеров	48
7. Влияние запаздывания  в системе на качество регулирования	52
7.1. Устойчивость систем  с запаздыванием	52
7.2. Компенсация чистого  запаздывания	54
8. Микропроцессорные контроллеры  для систем автоматизации	59
8.1. Ремиконты	59
8.2. Ломиконты	68
8.3. Димиконты	72
8.4. Приборы, регулирующие  программируемые микропроцессорные  ПРОТАР	73
8.5. Программируемый  контроллер ПК-И	76
Литература	78

 

 

 

 

 
 

1. Введение

 

Современные системы  автоматического регулирования (САР) обычно используют серийно выпускаемые промышленностью регуляторы. Структурная схема такой системы изображена на рис 1.

          

Рис.1

Здесь О – объект управления;

ПР  – промышленный регулятор;

X(t) – управляющее воздействие;

Y(t) – процесс на выходе объекта;

f(t) – возмущающее воздействие;

E(t) = X(t) - У(t) – отклонение регулируемого процесса от заданного (ошибка регулирования);

μ (t) – регулирующее воздействие на объект.

Промышленные  регуляторы - это универсальные устройства, предназначенные для регулирования самых разнообразных величин и объектов. Их конструкция такова, что к ним могут подключаться различные измерительные преобразователи и исполнительные механизмы. Они состоят из отдельных блоков, выполняющих конкретные операции (усиление, сложение, интегрирование и т.п.). Из этих блоков можно собрать схемы, реализующие практически любые законы регулирования. Современные промышленные регуляторы выполняются на основе микроконтроллеров.

Динамические  свойства САР зависят от характеристик  объекта и регулятора. Все параметры САР можно разделить на три группы:

• заданные параметры, которые нельзя изменить (например, статические и динамические параметры объекта);
• параметры, которые могут быть выбраны конструктором при разработке 
  регулятора, но не могут быть изменены при настройке;
• параметры, которые можно изменить при настройке (настроечные).

При разработке САР на основе промышленного  регулятора возникает задача определения и установки настроечных параметров регулятора по заданным параметрам объекта. Решение этой задачи производится в следующем порядке:

- на основании сведений о регулируемом объекте, характере возмущений, управляющих воздействий и т.п. выбирается достаточно простой типовой закон регулирования;

• производится расчет оптимальной настройки регулятора;
• производится повторный анализ качества работы системы;
• если система не удовлетворяет поставленной задаче, выбирают более 
  сложный закон регулирования;
• если и эта мера не даст удовлетворительные результаты, усложняют структуру САР (вводят дополнительные контуры регулирования, уточняют характер воздействия возмущений и т.д.).

 

 

 

2. Объекты регулирования и их характеристики

 

2.1. Классификация объектов регулирования

 

В зависимости  от количества выходных величин и, соответственно, количества дифференциальных уравнений, которыми описываются процессы в объекте, различают объекты одномерные и многомерные. Например, резервуар для жидкости, (рис.2).

Рис.2

 

Входными  величинами являются приход Fпp и расход Fp жидкости, а выходной величиной - уровень. Это одномерный объект. Он описывается одним уравнением статики L = f(Fпp, Fp) и одним уравнением динамики L = f(Fпp, Fp, t).

Другой  пример - аппарат для выпаривания  однокомпонентной жидкости при непрерывном отборе паровой фазы (рис.3)

Рис.3

Тепловой  поток аппарата равен разности притока тепла q₁ и потерь q₂. Он определяет расход пара F, т.е. изменение скорости нагрева изменяет лишь скорость образования пара. Давление же в системе Р определяется температурой процесса испарения Т. Этот объект описывается двумя уравнениями статики F = f(q₁, q₂), Т = f(P) и двумя уравнениями динамики F = f(q₁, q₂, t), Т = f(P, t).

Взаимосвязь переменных в объекте показывается на схемах динамических каналов (например, рис. 4, б).

В общем случае в многомерных объектах может  проявляться взаимозависимость выходных величин. Изменения в таких объектах входных величин приводит к одновременному изменению нескольких выходных. Например, экзотермический реактор идеального перемешивания (рис.4). Реактор имеет пять входных величин - концентрация Qн и температура Тн реагентов на входе в реактор, расход реагентов F, тепло, отдаваемое из реактора системой охлаждения и определяемое расходом хладагента Fc и его температурой Тс. Выходными величинами являются концентрация продуктов реакции и температура в реакторе Т.

Рис.4

 

Для стабилизации температуры Т  в реакторе изменяется расход хладагента Fc, а для обеспечения постоянства продуктов реакции Q - расход F реагентов. При этом изменение расхода Fc вызывает также изменение состава продуктов реакции Q, а колебание расхода исходных реагентов F приводит к изменению температуры в реакторе. Кроме этого, выходные величины (Q, T) зависят от концентрации Qн и Тн входного продукта, а также температуры хладагента Тс. Выходные величины такого реактора находят из уравнений динамики Q = f₁(F, Fc, Qн, Tн, Tc, t), Т = f₂(Fс, F, Qн, Тн, t).

 

2.2. Свойства объектов

 

Поведение САР, ее качественные характеристики во многом определяются динамическими свойствами объекта. О внутренних динамических свойствах объекта можно судить по закону изменения выходной при заданном изменении входной величины. Наиболее распространенной формой изменения входной величины при подобных исследованиях является скачкообразная форма. График изменения выходной величины объекта в результате скачкообразного входного воздействия называется переходной характеристикой. По виду характеристики различают объекты с самовыравниванием (рис.5, а) и без самовыравнивания (рис. 5, б).

Рис.5

 

Самовыравнивание  объекта характеризует его устойчивость. Самовыравнивание - свойство объекта самостоятельно устанавливаться в равновесное состояние после изменения входного воздействия. Количественно эта характеристика определяется степенью самовыравнивания ρ, под которым понимается отношение изменения входной величины X и изменения выходной величины по достижении объектом равновесного состояния Y.

 

(1)

 

Чем больше ρ, тем меньше отклонение выходной величины от первоначального значения.

Объекты автоматического  регулирования способны накапливать  энергию или вещество. Количество энергии или материи, которое надо подвести к объекту или отвести от него, чтобы изменить величину регулируемого параметра на единицу измерения, называется коэффициентом емкости.

 

(2)

 

Объекты регулирования могут быть одноемкостными и многоемкостными. Примеры одноемкостных объектов: резервуары и аппараты с регулируемым уровнем жидкости, аппараты с регулируемой температурой путем смешения двух жидкостей или пара и жидкости, участки трубопроводов с регулируемым давлением или расходом и т.п.

К многоемкостным относятся нагревательные печи, различные теплообменные аппараты и т.п.

Коэффициент емкости С объекта тесно связан с постоянной времени Т. Чем больше С, тем больше Т.

Все физические объекты имеют массу, а, значит, инерцию. Поэтому изменение выходного параметра начинается не одновременно с приложением воздействия, а спустя некоторое время. Это время характеризует запаздывание процесса в объекте. Запаздывание - важное свойство объектов, значительно влияющее на их динамические характеристики.

 

 

 

3. Методы определения свойств объекта

 

Динамические  свойства объекта полностью описываются  системой дифференциальных уравнений. Математический аппарат преобразования Лапласа связывает систему дифференциальных уравнений с другими способами описания динамики объекта - переходной функцией и частотной характеристикой. Причем, переходную функцию и частотную характеристику можно снять экспериментально. Таким образом, возможны два метода определения свойств объекта - аналитический, через систему дифференциальных уравнений и экспериментальный, путем снятия переходных функций и частотных характеристик.

 

3.1. Аналитическое описание объекта

 

Процесс составления системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта, сводится к следующему. Находят уравнение материального или энергетического баланса объекта, выявляя кинетические закономерности, гидродинамические условия и т.д. Далее, от абсолютных значений входных и выходных величин переходят к приращениям в безразмерном виде. Полученные уравнения приводят к каноническому виду.

Рассмотрим  несколько примеров.

 

Пример 1.[11] Составить математическое описание смесителя постоянного объема V, обеспечивающего идеальное перемешивание жидкости (рис.6).

Рис.6

 

В смеситель подаются жидкости, расходы и концентрация которых соответственно равны F₁, Q₁ и F₂, Q₂. Выходной величиной смесителя является состав жидкости Q, а входные переменные величины F₁ и F₂, a также концентрация Q₁. Причем, Q₁ > Q > Q₂.

Для нахождения уравнений динамики смесителя  составим полный материальный баланс за промежуток времени dt.

 

.	(3)
,	(4)

 

где F - расход жидкости на выходе из смесителя.

Или,

(5)

Данное  уравнение нелинейное, т.к. три его  слагаемых представляют собой произведение переменных величин. Линеаризуем его, заменив каждую переменную на сумму базисного значения и приращения. Получим:

 

(6)

 

Уравнение смесителя при равновесии имеет  вид:

 

(7)

 

Вычтем  почленно из (6) (7), одновременно учитывая, что F₁₀ + F₂₀ = F₀ и найдем уравнение смесителя в приращениях.

 

(8)

Подставляя относительные  величины

 

.

Получим:

(9)

 

Разделив  все на F₀Q₀ , получим:

 

,

(10)

где  - постоянная времен и объекта,

- коэффициенты усиления по  каналам,

Используя прямое преобразование Лапласа, запишем  уравнение в операторной форме:

 

(11)

 

Передаточные  функции по каналам:

 

 

Уравнению (3) соответствует структурная схема:

 

Рис.7

 

Пример 2.[18] Составить дифференциальное уравнение системы, образованной двумя баками (рис.8), приняв в качестве входной величины изменение расхода жидкости на притоке Q₁, а выходной - изменение уровня h₂ во втором по ходу жидкости баке.

Рис.8

 

Площади поперечного  сечения баков S₁ и S₂.

Допустим,  что при  малых отклонениях  от исходного состояния равновесия расход Q₂ между баками пропорционален разности уровней h₁ и h₂, а расход О₃ не зависит от уровня h₂. Из условия материального баланса для баков получим:

(12)

 

Учитывая, что  получим

(13)

Продифференцируем по времени второе уравнение, учитывая, что Q₃ = const

 

(14)

 

Определив из (13)

 

и подставив  в (14), получим:

 

или

 

.

(15)

 

Пример  З. Теплообменник смешения (рис. 9).

Рис.9

 

В теплообменнике регулируется температура паров  продукта изменением количества холодной жидкости, подаваемой в теплообменник.

Обозначим:

Qs – количество тепла, поступающего в теплообменник с парами, ккал/мин;

Qx – количество тепла, поступающего в теплообменник с холодной жидкостью, ккал/мин;

Qa – количество тепла, уходящего из теплообменника с парами, ккал/мин;

Θ –  температура паров на выходе из теплообменника в °С;

Gп – весовое количество паров, проходящих через теплообменник в кг/мин;

G – весовое количество паров, содержащихся в теплообменнике в кг.

В стационарном состоянии приток и расход тепла  равны и температура остается постоянной. В случае изменения какого - либо количества тепла или одновременно всех количеств температура будет изменяться

 

,

(16)

 

где А - тепловая емкость объекта в  ккал /°С.

Положим, количество паров Gп, поступающих в теплообменник, и их температура остаются постоянными, т.е. Qs = 0, изменяется лишь количество тепла Qx, поступающего в теплообменник с холодной жидкостью. Тогда

 

.

(17)

 

Количество  тепла, уходящего из теплообменника с парами, пропорционально количеству и их температуре, т.е.

 

,

где С – удельная теплоемкость в ккал/кг∙°С,

      ΔΘ – отклонение температуры.

Тогда

.

(18)

 

Умножим и разделим члены левой  части уравнения на заданное значение температуры Θн, и все уравнение разделим на номинальное значение теплоты qхн.

,

(19)

или

где  – постоянная времени, в минутах,

 – степень самовыравнивания,

 

Пример 4. Резервуар для газа.

В аппарат V м подается газ под давлением Рн (Па) (рис.10). Из аппарата газ выходит в количестве Fp (кг/с) под давлением Р (Па). На линиях притока и расхода устанавливают вентили, площади переходных сечений которых равны Апр и Ар, м². Выходной величиной аппарата являются изменения давления Р, а входными переменными - изменение площадей А1, А2, и давления Рн.

Рис.10

Передаточные    функции    по    каналам    Z→Y,    Xпр→Y,    Xp→Y получаются в виде:

 

(20)

 

где 

R – газовая постоянная,

Тг – абсолютная температура газа.

 

Пример 5. Теплообменник.

Жидкий  продукт нагревается насыщенным паром (расход - Fп, кг/с) до температуры Тж, °С. Расход продукта через теплообменник равен Fж, его температура на входе Т'ж, удельная теплоемкость Сж, Дж/(кг∙град). Выходной величиной теплообменника является изменение Тж, входные величины - изменение расхода пара Fп, расход жидкого продукта Рж, и его температура Тж. (рис. 11).

Рис.11

 

Передаточные  функции теплообменника находятся  в виде:

по  каналу X →Y

 

.

(21)

 

по  каналу X₁ → Y

.

(22)

по  каналу Z → Y

(23)

где

Wж – масса жидкости в теплообменнике, кг,

Wcт – масса теплопроводящих стенок, кг,

А –  суммарная поверхность стенок, м ²,

Сст – теплоемкость стенок.

Выходная величина теплообменника в операторной форме

 

(24)

 

Уравнения динамики объектов химических производств  могут быть составлены с достаточной точностью лишь для сравнительно ограниченного числа входных и выходных величин. С усложнением взаимосвязи входных и выходных величин и при большом числе возмущений трудность математического описания объектов значительно возрастает. Это приводит к необходимости принятия ряда допущений, что снижает адекватность получаемого описания реальному объекту.

В инженерной практике свойства промышленных объектов (химические реакторы, ректификационные колонны, абсорберы и т.п.) обычно выявляют экспериментальным путем. Методы экспериментального определения динамических характеристик достаточно достоверны и доступны для эксплуатационных работников промышленных предприятий.

 

3.2. Определение передаточных функций  по кривой разгона

 

3.2.1. Снятие кривой разгона

 

Разгонная характеристика (кривая разгона) представляет собой график изменения регулируемой величины во времени в результате скачкообразного возмущения, приложенного к объекту. Наибольший практический интерес представляет исследование динамических свойств при возмущениях со стороны регулирующего воздействия.

Снимают кривую разгона следующим образом.

Объект  приводят в равновесное состояние, при котором все входные и выходные величины постоянны. Затем быстрым перемещением регулирующего органа (клапана, заслонки, регулятора мощности и т.д.) вносят скачкообразное возмущение. После этого записывают периодически результаты измерения выходной величины до тех пор, пока выходная величина не примет нового установившегося значения или пока не установится постоянная скорость ее изменения. По точкам отсчета строят кривую в координатах: выходная величина - время, которая и является кривой разгона. Для снятия кривой разгона удобно использовать самопишущие регистрирующие приборы с ленточной картограммой.

Различные возможные виды кривых разгона изображены на рис.12.

Рис.12

 

а) - без точки перегиба и с ненулевой начальной скоростью;

б) - с точкой перегиба и нулевой начальной скоростью;

в) - с чистым запаздыванием;

г) - для объектов без самовыравнивания.

Аналитическое выражение для кривой разгона  соответствует переходной функции, которая определяется известным преобразованием Лапласа

 

(25)

 

где W(p) - передаточная функция объекта.

Вид кривой разгона, таким образом, полностью  определяется видом передаточной функции объекта. И наоборот, если имеется экспериментально снятая кривая разгона, по ней можно определить выражение для передаточной функции.

В настоящее  время используют следующие методы определения функции по кривой разгона:

• метод площадей;
• метод дополнительных членов;
• метод последовательного логарифмирования;
• аппроксимация дифференциальными уравнениями;
• аппроксимация суммой элементарных звеньев;
• графический метод.

 

3.2.2. Определение передаточной функции  одноемкостных объектов

 

Одноемкостные объекты описываются дифференциальным уравнением первого порядка:

(26)

 

Передаточная  функция такого объекта:

 

(27)

 

В этом случае передаточная функция полностью  определена, если известны коэффициент усиления К и постоянная времени Т. Решение уравнения (26) представляет собой экспоненту и имеет вид:

 

(28)

 

Таким образом, если экспериментально полученная кривая разгона хорошо аппроксимируется экспонентой, то непосредственно по этой кривой можно получить параметры k и Т (рис.13).

Рис.13

 

Для описания астатического объекта  достаточно знать время запаздывания и установившуюся скорость изменения выходной величины К (рис.12г). Передаточная функция объекта без самовыравнивания

 

(29)

 

3.2.3. Определение передаточной функции двухемкостного объекта

 

Для кривой разгона (рис. 12б) объект относится  к многоемкостным и описывается дифференциальным уравнениям высшего порядка. В первом приближении можно попытаться описать данную кривую дифференциальным уравнением второго порядка

 

(30)

 

Здесь задача сводится к определению постоянных времени T₁ и Т₂. Решением уравнения будет

(31)

 

Для определения значений T₁ и Т₂ проводят касательную к кривой разгона в точке перегиба А (рис.14).

Рис.14

Величина под касательной ВС равна сумме постоянных времени

 

Величину Т₂ можно определить из выражения:

 

(32)