Контрольная работа по "Статистике ". 4

Контрольная работа  по статистике

 тема «Ряды распределения»

 

В результате статистического наблюдения были получены следующие данные о прибыли 100 торговых предприятий за год (млн. руб.)

5,2 9,2 6,7 18,0 10,7 12,0 14,2 12,1 20,8 21,0

20,7 18,5 17,4 12,4 21,3 18,4 22,1 10,7 45,3 16,9 

17,7 20,0 13,9 24,5 23,1 18,2 9,0  27,3 17,7 19,7

18,2 16,2 7,0  28,0 16,8 8,0  23,2 13,3 11,3 14,2

10,8 24,5 19,6 11,7 16,0 16,5 15,5 13,5 15,3 15,5

15,4 26,0 26,6 25,0 25,4 26,8 34,4 26,4 26,6 26,9

26,2 26,5 26,9 26,2 25,1 27,1 10,0 8,0  11,7 4,7

12,8 24,2 19,1 10,3 3,8  22,8 10,5 13,3 14,6 11,7

10,3 14,5 16,1 18,1 23,0 9,1  14,0 13,4 9,9  9,1

12,3 11,5 10,1 13,1 21,0 19,1  5,1 9,8 6,7  85,2

Указанные предприятия имеют соответственно следующие площади производственных помещений (кв. м):

1000 1200 1100 1800 1070 1200 1420 1210 2080    2100

2070 1850    1740 1240 2130 1840    2210 1070 4530 1690 

1770 2000 1390 2450 2310 1820 900  2730 1770 1970

1820    1620 700  2800 1680 800  2320 1330 1130 1420

1080 2450 1960 1170 1600 1650 1550 1350 1530 1550

1540 2600 2660 2500 2540 2680 3440 2640 2660 2690

2620 2650 2690 2620 2510 2710 1000 800  1170 470

1200 2420 1910 1030 3800  2280 1050 1330 1460 1170

1030 1450 1610 1810 2300 910  1400 1340 990  910

1230 1150 1010 1310 2100 1910  1200 900 800  1000

Провести  группировку с равными интервалами. При необходимости перегруппировать с неравными интервалами. Записать полученный интервальный ряд распределения и соответственный ему дискретный ряд. Построить гистограмму, кумуляту интервального ряда  и полигон соответствующего дискретного ряда.

 

Построим  упорядоченный ряд по площади  производственных помещений (см. в Excel).

Максимальное  значение признака составляет 4570, минимальное  – 470, таким образом, размах вариации R = 4570 – 470 = 4100.

 

Число интервалов определим по формуле n = [1+3.22*lg N] = [1+3.22*2] = 7

Величина  интервала R/n = 4100 / 7 = 585.7

 

Построим  данные интервалы и определим  число признаков в каждом из них.

 

Площадь, кв. м	Число предприятий
470 - 1055,7	17
1055,7 - 1641,4	34
1641,4 - 2227,1	23
2227,1 - 2812,8	23
2812,8 - 3398,5	0
3398,5 - 3984,2	2
3984,2 - 4570	1

 

 

Гистограмма распределения производственных площадей (по х – площадь, по у – число  предприятий)

 

 

Кумулята  интервального ряда:

 

 

Полигон частот:

 

 

 

 

 

 

По  гистограмме найти приближенное значение моды, по кумуляте найти приближенное значение медианы.

 

Мода соответствует  интервалу 1055,7 – 1641,4, медиана – тому же интервалу. 

Вычислить моду, медиану по формулам. 

Мода = 1055,7 + 585,7 * (34-23) / ((34-23)+(34-17)) = 1262,7

 

 

Медиана = 1055,7 + 585,7*(0,5 – 0,17) / 0,34 = 1624,17

Сформулировать  выводы.

 

Наибольшую  частоту имеет значение производственной площади, равное 1262,7 кв. м, а среднее  значение производственной площади у данной совокупности предприятий находится на уровне 1624,17 кв. м

Найти среднее значение, размах, среднее  линейное отклонение, дисперсию и  среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделать выводы.

 

Средняя арифметическая:

Её значений равно 1743,7 кв. м

Среднее линейное отклонение:

Его значение составляет 587,746.

Дисперсия:

Её значение составляет 513571,31.

Среднеквадратическое  отклонение:

Его значение равно 716,639.

Расчеты проведены в Excel

 

Разбить статистическую. совокупность на две группы. В первую группу отнести все предприятия, площади производственных площадей которых  меньше 1500 кв. м, во вторую группу – все  остальные предприятия. Вычислить среднюю из внутригрупповых дисперсий   и  межгрупповую дисперсию. Вычисления проверить по правилу сложения дисперсий. Вычислить эмпирическое корреляционное отношение. Сформулировать выводы.

 

Разобьем совокупность на 2 группы:

Производственная площадь, кв. м	Число предприятий	Средняя площадь
470-1500	44	1115,681818
1500-4530	56	2237,142857

 

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Её значение составляет 203680,224.

Расчеты проведены в Excel

 

 

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней.

 

Межгрупповая дисперсия  рассчитывается по формуле:

Её значение составляет 309891,86.

Расчеты проведены в Excel

 

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

 

Проверим полученные значения по правилу сложения дисперсий: 203680,224 + 309891,86 = 513571,31. Полученное значение совпадает со значением общей  дисперсии, полученной ранее.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между изучаемым и группировочным признаками. Она равна корню отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии.

ЭКО = √309891,86 / 513571,31 = 0,6034

Наблюдается заметная связь между показателями, что  означает, что вариация производственных площадей обусловлена не только внутригрупповыми отличиями.

Тема. Выборочный метод.

1. При контрольной проверке качества  поставляемой в торговлю партии  сыра была образована малая  выборка и получены следующие  данные о процентном содержании  поваренной соли в пробах: 4,5; 4,2; 3,9; 4,3; 3,7; 3,9; 4,6; 4,4; 4,0; 3,8.  С вероятностью 0.99 установить границы, в которых находится средний процент содержания поваренной соли во всей партии колбасы.

n = 10, среднее значение = 4,13

Найдем  дисперсию: σ² = ((4,5-4,13)² + … + (3,8-4,13)²) / 10 = 0,0881

Определим выборочную среднюю: μ_x = √(0,0881)²/10 = 0.02786

Для вероятности 0,99 и числа признаков 10 значение коэффициента Стьюдента составит 3,25.

Найдем  предельную ошибку выборки: ∆x = 3,25*0,02786 = 0,0905

 

Таким образом, границы, в которых находится  средний процент содержания соли, равны 

(4,13 – 0,0905; 4,13 + 0,0905) = (4,04; 4,22)

 

3. С лесного массива, насчитывающего 20000  деревьев, с помощью выборочного  метода были получены следующие  данные о количестве деловой  древесины в одном дереве:

Кол-во деловой древесины в одном дереве м3	Число деревьев	Середина интервала
0,4–0,6	9	0,5
0,6–0,8	65	0,7
0,8–1,0	121	0,9
1,0–1,2	174	1,1
1,2–1,4	99	1,3
1,4–1,6	6	1,5
Итого	474	-

Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее количество древесины.

 

Найдем  средневзвешенное количество деловой  древесины:

Хср. = 1,029536

Найдем  дисперсию:

Дисперсия равна 0,044402.

Определим выборочную среднюю: μ_x = √(0,044402)²/10 = 0.014

Для вероятности 0,95 и числа признаков 474 значение коэффициента Стьюдента  составит 1,9647.

Найдем  предельную ошибку выборки: ∆x = 1,9647*0,014 = 0,0276

Таким образом, границы, в которых находится  среднее количество древесины, равны 

(1,03–0,0276; 1,03+0,0276) = (1,0024; 1,0576)

 

 

 

3. При обследовании семейных бюджетов  населения города была организована 10%-ная пропорциональная выборка типическая выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице.

Группа населения по семейному положению	Объем  выборки	Удельный вес расходов  на оплату жилья, %
Одинокие	40	9,6
Семейные	124	6,85

Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен удельный вес расходов на оплату жилья населением города.

 

Найдем  средневзвешенный удельный вес расходов на оплату жилья:

Хср. = (40*9,6+124*6,85) / (40+124) = 7,52%

Найдем  выборочную дисперсию:

s² = ((7,52-9,6)²*40 + (7,52-6,85)²*124) / 164 = 1,39463

 

 

4. Для контроля всхожести партия  семян была разбита на 25 равных  по величине серий. На основе случайного бесповторного отбора было проверено на всхожесть 5 серий и установлен процент всхожести равный 65. Межсерийная дисперсия составила 9,04.

Найти границы, в которых с вероятностью 0,96 заключен всхожести семян всей партии.

 

В данном примере  числом признаков выступает число  серий.

Доля отбора = 5 / 25 = 0,2

Процент всхожести 65% выступает как среднее значение, а значение межсерийной дисперсии выступает аналогом выборочной дисперсии для обычного отбора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остальные расчеты  производим аналогично предыдущей задаче:

 

 

5. В коммерческом банке 180 компьютеров, в том числе типа I – 37, типа II – 57, типа III – 70, типа IV – 16. Необходимо составить типическую выборку. Определить, какое количество компьютеров необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала пяти. Известно, что дисперсия такой типической выборки равна 805.

 

Доля групп компьютеров: I – 37/180 = 0.205; II – 57/180 = 0.317; III – 70/180 = 0.389; IV – 0.089

Для бесповторного отбора расчет необходимого отбора компьютеров при заданной дисперсии 805, вероятности 0,683 и предельной ошибке, равной 5, проводится по следующей формуле:

 

Округлив полученное значение в  большую сторону, получим, что необходимо отобрать 28 компьютеров.

Составим типическую выборку пропорционально  доле компьютеров в генеральной  совокупности (доли округляем согласно правилу округления):

I – 28*0,205 = 5,74 ≈ 6

II – 28*0,317 = 8,876 ≈ 9

III – 28*0,389 = 10,892 ≈ 11

IV – 28*0,089 = 2,492 ≈ 2

 

Таким образом, необходимо отобрать 6 ед. 1-й группы, 9 ед. 2-й группы, 11 ед. 3-й группы, и 2 ед. 4-й группы.

 

 

Тема Изучение связи между явлениями.

1. Имеются   данные о связи между средней  взвешенной ценой и объемом  продаж облигаций на ММВБ 23.02.98 г.:

№ серии	Средняя взвешенная цена Х  ( руб.)	Объем продаж Y (млн. руб)
22041	84,42	79,5
22042	82,46	79,7
22043	80,9	71,4
22044	63,42	42,9
22045	76,9	76,3
22046	75,5	74,9
22047	74,84	10,7
22048	73,03	75,1
22049	73,41	75,5
22050	71,34	84,3
Итого

Выявить всеми известными методами наличие  и направление связи между  Х и У. Вычислить линейный коэффициент корреляции.

Связь между показателями рассчитывается с помощью коэффициента корреляции:

Расчет  см. в Excel

Коэффициент корреляции равен 0,3648.

Данное  значение говорит о заметной связи  между признаками, положительно направленной, т.е. увеличение Х приводит и к  увеличению Y.

Построить линейную, полулогарифмическую и экспоненциальную регрессии и найти лучшую регрессию. По лучшей модели вычислить индекс  корреляции. Сформулировать выводы.

 

 

Модель  линейной регрессии имеет вид: Y = a + bx

Параметры для данной модели найдем с помощью  функции ЛИНЕЙН Ms Excel.

Модель  полулогарифмической регрессии  имеет вид: Y = a + b ln x

Эту модель приводим к линейному виду заменой z = ln x, и также рассчитываем параметры с помощью функции ЛИНЕЙН.

Модель  экспоненциальной регрессии имеет  вид: Y = a*b^x

Данную  модель линеаризуем, взяв натуральный  логарифм

ln Y = ln a + x ln b

и также рассчитаем параметры с  помощью функции ЛИНЕЙН.

 

Расчет  см. в Excel. Коэффициент детерминации выделен оранжевым цветом.

Коэффициент корреляции равен корню из коэффициента детерминации.

 

Получены  следующие параметры:

для линейной функции – a = –36.3, b = 1.366

Уравнение имеет вид: Y = –36.3 + 1.366*x

Коэффициент корреляции r = √0.133 = 0.3647

для полулогарифмической функции – a = –372.8, b = 101.7526

Уравнение имеет вид: Y = –372.8 + 101.7526 * ln X

Коэффициент корреляции r = √0.135 = 0.3674

 

 

для экспоненциальной функции – ln a = –3.9478, ln b = 1.859 àa = 0.0193, b = 6.4173

Уравнение имеет вид: Y = 0.0193 * 6.4173^x

Коэффициент корреляции r = √0.05847 = 0.2418

 

 

2. По данным задачи 1 вычислите коэффициенты Спирмэна. Сформулировать выводы.

 

Для получения  данного коэффициента необходимо проранжировать значения признаков в порядке возрастания.

Значение  рангового коэффициента корреляции находим по формуле:

где Di – разность между рангами, m – число признаков.

р = 0,(27)

По таблице  критических значений для данного  коэффициента получим значение р_крит. = 0,564

Рассчитанное  значение меньше, следовательно, данный коэффициент незначим.

Поэтому гипотезу о наличии корреляционной зависимости  между признаками принять нельзя.

 

3. Зависимость сокращения рабочих от места работы исследовались в  ходе социологического опроса респондентов. Результаты опроса:

	Рабочие
Мнения респондентов	Госпредприятия	Кооперативы	Итого
Очень вероятно	45	48
Исключено	44	49
итого

Вычислить коэффициенты ассоциации и контингенции. Сформулировать выводы.

 

	Рабочие
Мнения респондентов	Госпредприятия	Кооперативы	Итого
Очень вероятно	45 (a)	48 (b)	93
Исключено	44 (c)	49 (d)	93
итого	89	97

Коэффициент ассоциации можно расcчитать по формуле

К_ас = (45*49 – 48*44) / (45*49 + 48*44) = 93 / 4185 = 0,0222

Коэффициент контингенции рассчитывается по формуле

К_кон = (45*49 – 48*44) / √(93*97*89*93) = 93 / 8641 = 0,01076

Если К_А≥0.5 и К_К ≥0.3 , то связь считается подтвержденной.

Полученные  нами значения не позволяют считать, что между признаками имеется  связь.

4. Распределение основных категорий потенциальных мигрантов по уровню образования характеризуется следующими данными

Образование	Основные категории
	Руково-дители	Специали-сты	Служащие	Рабочие	Итого
Высшее Неполное высшее Среднее специальное Среднее общее Неполное среднее	50  10 36 4 0	48  12 44 4 1	12 3 51 33 1	7 5 39 45 10
Итого

Вычислить коэффициенты взаимной сопряженности. Сформулировать выводы.

 

Образование	Основные категории
	Руково-дители	Специали-сты	Служащие	Рабочие	Итого
Высшее Неполное высшее Среднее специальное Среднее общее Неполное среднее	50  10 36 4 0	48  12 44 4 1	12 3 51 33 1	7 5 39 45 10	117 30 170 86 12
Итого	90	109	100	106	415

 

Коэффициент взаимной сопряженности вычисляется  по формуле:

Расчет проведен в excel с разделенным расчетом каждого из элементов выражения

Члены числителя формулы
2500	2304	144	49
100	144	9	25
1296	1936	2601	1521
16	16	1089	2025
0	1	1	100
Члены знаменателя формулы
10530	12753	11700	12402	117
2700	3270	3000	3180	30
15300	18530	17000	18020	170
7740	9374	8600	9116	86
1080	1308	1200	1272	12
90	109	100	106
Отношения				Итого
0,2374169	0,1806634	0,012308	0,003951	1,385619
0,037037	0,0440367	0,003	0,007862
0,0847059	0,1044792	0,153	0,084406
0,0020672	0,0017068	0,126628	0,222137
0	0,0007645	0,000833	0,078616

 

 

Отсюда χ² = 415*(1,385619 – 1) = 160,032

С = √(160,032 / (415+160,032)) = 0,5275

 

Для подтверждения  связи значение коэффициента должно быть не меньше 0,5. В данном случае связь подтверждается.

 

5. По следующим  данным о зависимости X, Y, Z определите коэффициент конкордации

X	5	2	4	7	3	2	5	7
Y	10	9	10	10	6	7	5	3
Z	1	2	6	6	4	6	7	8

Сформулировать  выводы.

 

Коэффициент рассчитывается по формуле:

R_j – сумма значений по j-строке, R^--  - среднее значение по R_j

m – число строк, n – число столбцов.

 

Расчет проведен в Excel

m = 3, n = 8

 

W = 12 * 350 / (9 * (512-8)) = 0.926

 

Полученное  значение свидетельствует о высокой  согласованности оценок.

 

Тема. Ряды динамики.

1. Товарные запасы в торговой сети региона составили:

 

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07
Запасы Млн. руб.	5	9	6	12	14	15	16

 

Определить  базисные и цепные абсолютные приросты, темпы роста и прироста, и средние  показатели данного ряда динамики. Сформулировать выводы.

 

 

За  полгода товарные запасы возросли, средний темп прироста в месяц составил 18,08%, а средний абсолютный прирост 1,83 млн. руб. в месяц.

 

Построить трендовые модели равномерного развития, равноускоренного или равнозамедленного  развития и определить наилучшую  модель. По наилучшей модели сделать  прогноз на 1.08.

 

Равномерное развитие — развитие с постоянным абсолютным приростом уровней временного ряда. Основная тенденция развития описывается линейным типом тренда: y = a+bx, где a — постоянная составляющая, b — коэффициент, характеризующий скорость (темп) развития изучаемого процесса и направление его развития (при b>0 уровни динамики равномерно возрастают, при b<0 — равномерно снижаются).

 

Равноускоренное (равнозамедленное) развитие — развитие при постоянном увеличении (замедлении) темпа прироста уровней временного ряда. Основная тенденция развития описывается полиномом второй степени: y = a + b₁x₁ + b₂x₂², где b₂ — коэффициент, характеризующий постоянное изменение скорости (темпа) развития (при b₂>0 происходит ускорение развития, при b₂<0 — замедление развития).

 

Построим  данные модели средствами MS Excel.

 

 

 

 

 

Линейная  аппроксимация выглядит следующим  образом:

 

Модель  равномерного развития имеет вид: Y = 1.9107x + 3,3857

 

Полиноминальная модель равнозамедленного развития выглядит следующим образом:

 

Она имеет  вид: Y = –0.0298x² + 2.1488x + 3.0286

Excel строит полином, который имеет наибольшее приближение к анализируемым параметрам, отсюда можно сделать вывод, что модель равноускоренного развития хуже описывает данную тенденцию.

Из 2х данных уравнений по коэффициенту детерминации R² наилучшей является модель равнозамедленного развития, т.к. она имеет больший коэффициент детерминации.

 

Подставив в уравнение значение 8 (8-й месяц), получим: y = –0.0298*8*8 + 2.1488*8 + 3.0286 = 18.3118

Таким образом, запасы в августе составят 18,3118 млн. руб.

 

2. Применяя метод постоянного среднего значения, построить сезонную волну покупательского спроса на мясные продукты на рынках города (тыс. тонн)

 

Кварталы	1-й  год	2-й  год	3-й  год	4-й  год
I II III IV	24,5 19,9 15,6 13,21	26,23 22,9 16,5 12,6	25,9 20,5 14,6 11,0	27,9 18,6 17,91 14,5

 

Определим поквартальные  средние уровни спроса и суммарный  спрос:

Кварталы	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	Средняя	Сумма
I	24.50	26.23	25.90	27.90	26.13	130.66
II	19.90	22.90	20.50	18.60	20.48	102.38
III	15.60	16.50	14.60	17.91	16.15	80.76
IV	13.21	12.60	11.00	14.50	12.83	64.14