Контрольная работа по "Статистике". 422

Содержание

 

 

Введение

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений. Теперь уже не требуется проводить вручную трудоемкие расчеты, строить таблицы и графики — всю эту черновую работу выполняет компьютер. Человеку же остается исследовательская, творческая работа: постановка задачи, выбор методов прогнозирования оценка качества полученных моделей, интерпретация результатов. Для этого необходимо иметь определенную подготовку в области статистических методов обработки данных и прогнозирования.

 

Виды и формы связей между явлениями

Экономические данные представляют собой  количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием  множества факторов, не все из которых  доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обуславливать случайность данных, которые они определяют. Стохастическая (вероятностная) природа экономических данных обуславливает необходимость применения соответствующих статистических методов для их обработки и анализа.

Статистические распределения  характеризуются наличием более  или менее значительной вариации в величине признака у отдельных  единиц совокупности. Естественно, возникает  вопрос о том, какие же причины формируют уровень признака в данной совокупности и каков конкретный вклад каждой из них. Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции.

Изучение действительности показывает, что вариация каждого изучаемого признака находится в тесной связи и взаимодействии с вариацией других признаков, характеризующих исследуемую совокупность единиц.

При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обусловливающих изменение  других признаков. Признаки этой первой группы в дальнейшем будем называть признаками-факторами (факторными признаками); а признаки, которые являются результатом влияния этих факторов, будем называть результативными. Например, при изучении зависимости между производительностью труда рабочих и энерговооруженностью их труда уровень производительности труда является результативным признаком, а энерговооруженность труда рабочих - факторным признаком.

 

 

Рассматривая зависимости между  признаками, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости:

• функциональные;
• корреляционные.

 

Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов.

В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

При сравнении функциональных и  корреляционных зависимостей следует  иметь в виду, что при наличии  функциональной зависимости между  признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака. В отличие от жесткости функциональной связи корреляционные связи характеризуются множеством причин и следствий и устанавливаются лишь их тенденции.

По направлению выделяют связь:

• прямую;
• обратную.

При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака.

По аналитическому выражению связи  бывают:

• прямолинейные;
• криволинейные.

Прямолинейные связи выражают уравнением прямой, криволинейные связи выражают уравнением параболы или гиперболы.

Еще одна важная характеристика связей - с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то её принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные - множественной.

 

Понятие стохастической связи и  задачи корреляционного анализа

На практике далеко не все экономические  явления и процессы могут изучаться  с помощью этой методики, так как  в большинстве случаев их нельзя свести к функциональным зависимостям, когда величине факторного показателя соответствует единственная величина результативного показателя.

Чаще в экономических исследованиях  встречаются стохастические зависимости, которые отличаются приблизительностью, неопределенностью. Они проявляются только в среднем по значительному количеству объектов (наблюдений). Здесь каждой величине факторного показателя (аргумента) может соответствовать несколько значений результативного показателя (функции). Например, увеличение фондовооруженности труда рабочих дает разный прирост производительности труда на разных предприятиях даже при очень выравненных прочих условиях. Это объясняется тем, что все факторы, от которых зависит производительность труда, действуют в комплексе, взаимосвязано. В зависимости от того, насколько оптимально сочетаются разные факторы, будет неодинаковой степень воздействия каждого из них на величину результативного показателя.

Взаимосвязь между исследуемыми факторами  и результативным показателем проявится, если взять для исследования большое количество наблюдений (объектов) и сравнить их значения. Тогда в соответствии с законом больших чисел влияние других факторов на результативный показатель сглаживается, нейтрализуется. Это дает возможность установить связь, соотношения между изучаемыми явлениями. Значит, корреляционная (стохастическая) связь - это неполная, вероятностная зависимость между показателями, которая проявляется только в массе наблюдений. Отличают парную и множественную корреляцию.

 

Парная корреляция - это связь между двумя показателями, один из которых является факторным, а другой - результативным. Множественная корреляция возникает от взаимодействия нескольких факторов с результативным показателем.

Для исследования стохастических соотношений используются следующие способы экономического анализа: сравнение параллельных и динамических рядов, аналитические группировки, графики. Однако они позволяют выявить только общий характер и направление связи. Основная же задача факторного анализа - определить степень влияния каждого фактора на уровень результативного показателя. Для этой цели применяются способы корреляционного, дисперсионного, компонентного, современного многомерного факторного анализа и т.д.

Наиболее широкое применение в экономических исследованиях нашли приемы корреляционного анализа, которые позволяют количественно выразить взаимосвязь между показателями.

 

Необходимые условия  применения корреляционного анализа

 

1. наличие достаточно большого  количества наблюдений о величине исследуемых факторных и результативных показателей (в динамике или за текущий год по совокупности однородных объектов);

2. исследуемые факторы должны  иметь количественное измерение  и отражение в тех или иных  источниках информации.

 

Применение корреляционного анализа позволяет решить следующие задачи:

1) определить изменение результативного  показателя под воздействием  одного или нескольких факторов (в абсолютном измерении), то есть  определить, на сколько единиц  изменяется величина результативного показателя при изменении факторного на единицу;

 

2) установить относительную степень  зависимости результативного показателя  от каждого фактора.

 

Исследование корреляционных соотношений имеет огромное значение. Это проявляется в том, что значительно углубляется факторный анализ, устанавливаются место и роль каждого фактора в формировании уровня исследуемых показателей, углубляются знания об изучаемых явлениях, определяются закономерности их развития.

 

Способы парной корреляции для изучения стохастических зависимостей

 

Одной из основных задач корреляционного  анализа является определение влияния  факторов на величину результативного  показателя (в абсолютном измерении). Для решения этой задачи подбирается  соответствующий тип математического  уравнения, которое наилучшим образом отражает характер изучаемой связи (прямолинейной, криволинейной и т.д.). Это играет важную роль в корреляционном анализе, потому что от правильного выбора уравнения регрессии зависит ход решения задачи и результаты расчетов.

Наиболее простым уравнением, которое характеризует прямолинейную зависимость между двумя показателями, является уравнение прямой:

Yх=a+bx, где

х - факторный показатель; у - результативный показатель;

а и b - параметры уравнения регрессии, которые требуется отыскать.

 

Это уравнение описывает такую связь между двумя признаками, при которой с изменением факторного показателя на определенную величину наблюдается равномерное возрастание или убывание значений результативного показателя. В качестве примера для иллюстрации корреляционного анализа прямолинейной зависимости использоваем сведения об изменении урожайности картофеля (Y) в зависимости от качества пахотной земли (х)( см. табл. 1)

Значения коэффициентов а и b находим из системы уравнений, полученных по способу наименьших квадратов. В данном случае система уравнений имеет следующий вид:

где n - количество наблюдений (в нашем примере - 10)

 

Таблица 1

Зависимость урожайности  картофеля от качества земли

Номер поля	Качество земли, балл	Урожайность, ц/га
1	32	19,5
2	33	19,0
3	35	20,5
4	37	21,0
5	38	20,8
6	39	21,4
7	40	23,0
8	41	23,3
9	42	24,0
10	44	24,5

 

Значения    рассчитываются на основе фактических исходных данных табл. 1.

Таблица 2

Расчет производных  величин для определения параметров уравнения связи и коэффициента корреляции

 

n	x	y	xy	x2	y2	Yx
1	32	19,5	624	1024	380,25	21,66
2	33	19	627	1089	361	21,67
3	35	20,5	717,5	1225	420,25	21,68
4	37	21	777	1369	441	21,69
5	38	20,8	790,4	1444	432,64	21,70
6	39	21,4	834,6	1521	457,96	21,70
7	40	23	920	1600	529	21,71
8	41	23,3	955,3	1681	542,89	21,72
9	42	24	1008	1764	576	21,73
10	44	24,5	1078	1936	600,25	21,74
ИТОГО:	381	217,0	8331,8	14653,0	4741,24	217,0

 

Подставив полученные значения в систему уравнений, получим:

10a + 381b = 217

381a + 14 653b = 8 331,8

Умножив все члены первого уравнения  на 38,1(381/10), получим следующую систему уравнений:

381a + 3 810b = 8267,7

381 + 14 653b = 8331,8

Отнимем от второго уравнения первое. Отсюда 10843 b=64,1; b=0,006,

Таким образом, уравнение связи, которое  описывает зависимость урожайности  от качества почвы, будет иметь вид:

Коэффициент а - постоянная величина результативного показателя, которая не связана с изменением данного фактора. Параметр b показывает среднее изменение результативного показателя с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением качества почвы на один балл урожайность картофеля повышается в среднем на 0,006 ц/га.

Подставив в уравнение регрессии  соответствующие значения х, можно  определить выравненные (теоретические) значения результативного показателя (Y) для каждого поля. Например, чтобы  рассчитать урожайность картофеля  для первого поля, где качество почвы оценивается 32 баллами, необходимо это значение подставить в уравнение связи:

 ц/га

 

Полученная величина показывает, какой  была бы урожайность при качестве почвы 32 балла, если бы данное поле использовало свои производственные возможности в такой степени, как в среднем все поля района. Аналогичные расчеты сделаны для каждого поля. Данные приведены в последней графе табл. 2. Сравнение фактического уровня урожайности с расчетным позволяет оценить результаты работы отдельных предприятий.

 

По такому же принципу решается уравнение  связи при криволинейной зависимости  между изучаемыми явлениями. Если при  увеличении одного показателя значения другого возрастают до определенного  уровня, а потом начинают снижаться (например, зависимость производительности труда рабочих от их возраста), то для записи такой зависимости лучше всего подходит парабола второго порядка:

Y_x=a+bx+cx².

При более сложном характере  зависимости между изучаемыми явлениями  используются более сложные параболы (третьего, четвертого порядка и т.д.), а также квадратические, степенные, показательные и другие функции.

Таким образом, используя тот или  иной тип математического уравнения, можно определить степень зависимости  между изучаемыми явлениями, т.е. узнать, на сколько единиц в абсолютном измерении изменяется величина результативного показателя с изменением факторного на единицу. Однако регрессионный анализ не дает ответа на вопрос: тесная это связь или нет, решающее воздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя или второстепенное?

Для измерения тесноты связи  между факторными и результативными  показателями определяется коэффициент корреляции.

В случае прямолинейной формы связи  между изучаемыми показателями коэффициент  корреляции рассчитывается по следующей формуле:

Подставив значения в данную формулу, получаем:

 

Коэффициент корреляции может принимать  значения от 0 до ±1. Чем ближе его  величина к 1, тем более тесная связь  между изучаемыми явлениями, и наоборот. В данном случае величина коэффициента корреляции является существенной (r= 0,96). Это позволяет сделать вывод о том, что плодородие почвы — один из основных факторов, от которого в данном районе зависит уровень урожайности картофеля.

Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, получим коэффициент детерминации (d = 0,922). Он показывает, что урожайность картофеля на 92,2% зависит от качества почвы, а на долю других факторов приходится 7,8% прироста урожайности.

 

Методика множественного корреляционного анализа

Экономические явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий  зависят от большого количества факторов. Как правило, каждый фактор в отдельности  не определяет изучаемое явление  во всей полноте. Только комплекс факторов в их взаимосвязи может дать более или менее полное представление о характере изучаемого явления.

Многофакторный корреляционный анализ состоит из нескольких этапов. На первом, этапе определяются факторы, которые  оказывают воздействие на изучаемый  показатель, и отбираются наиболее существенные для корреляционного анализа. На втором этапе собирается и оценивается исходная информация, необходимая для корреляционного анализа. На третьем этапе изучается характер и моделируется связь между факторами и результативным показателем, то есть подбирается и обосновывается математическое уравнение, которое наиболее точно выражает сущность исследуемой зависимости. На четвертом этапе проводится расчет основных показателей связи корреляционного анализа. На пятом этапе дается статистическая оценка результатов корреляционного анализа и практическое их применение.

Отбор факторов для корреляционного  анализа является очень важным моментом в экономическом анализе. От того, насколько правильно он сделан, зависит  точность выводов по итогам анализа. Главная роль при отборе факторов принадлежит теории, а также практическому опыту анализа. При этом необходимо придерживаться следующих правил:

1. При отборе факторов в первую  очередь следует учитывать причинно-следственные  связи между показателями, так как только они раскрывают сущность изучаемых явлений. Анализ же таких факторов, которые находятся только в математических соотношениях с результативным показателем, не имеет практического смысла.

 

2. При создании многофакторной  корреляционной модели необходимо отбирать самые значимые факторы, которые оказывают решающее воздействие на результативный показатель, так как охватить все условия и обстоятельства практически невозможно. Факторы, которые имеют критерий надежности по Стьюденту меньше табличного, не рекомендуется принимать в расчет.

3. Все факторы должны быть  количественно измеримы, т.е. иметь  единицу измерения, и информация  о них должна содержаться в  учете и отчетности.

4. В корреляционную модель линейного  типа не рекомендуется включать  факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер.

5. Не рекомендуется включать  в корреляционную модель взаимосвязанные  факторы. Если парный коэффициент  корреляции между двумя факторами  больше 0,85, то по правилам корреляционного анализа один из них необходимо исключить, иначе это приведет к искажению результатов анализа.

6. Нежелательно включать в корреляционную  модель факторы, связь которых  с результативным показателем  носит функциональный характер.

 

Большую помощь при отборе факторов для корреляционной. модели оказывают аналитические группировки, способ сопоставления параллельных и динамических рядов, линейные графики. Благодаря им можно определить наличие, направление и форму зависимости между изучаемыми показателями. Отбор факторов можно производить также в процессе решения задачи корреляционного анализа на основе оценки их значимости по критерию Стьюдента, о котором будет сказано ниже.

Исходя из перечисленных выше требований и используя названные способы  отбора факторов, для многофакторной корреляционной модели уровня рентабельности (Y) подобраны следующие факторы, которые оказывают наиболее существенное влияние на ее уровень:

 

x1 - материалоотдача, руб.;

x2 - фондоотдача, коп.;

x3 - производительность труда (среднегодовая выработка продукции на одного работника), млн руб.;

x4 - продолжительность оборота оборотных средств предприятия, дни;

x5 - удельный вес продукции высшей категории качества, %.

 

Поскольку корреляционная связь с  достаточной выразительностью и  полнотой проявляется только в массе наблюдений, объем выборки данных должен быть достаточно большим, так как только в массе наблюдений сглаживается влияние других факторов. Чем большая совокупность объектов исследуется, тем точнее результаты анализа.

Учитывая это требование, влияние перечисленных факторов на уровень рентабельности исследуется на примере 40 предприятий.

Следующим этапом анализа является сбор и статистическая оценка исходной информации, которая будет использоваться в корреляционном анализе. Собранная исходная информация должна быть проверена на достоверность, однородность и соответствие закону нормального распределения.

В первую очередь необходимо убедиться в достоверности информации, насколько она соответствует объективной действительности. Использование недостоверной, неточной информации приведет к неправильным результатам анализа и выводам.

Одно из условий корреляционного  анализа - однородность исследуемой информации относительно распределения ее около среднего уровня. Если в совокупности имеются группы объектов, которые значительно отличаются от среднего уровня, то это говорит о неоднородности исходной информации.

 

Критерием однородности информации служит среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, которые рассчитываются по каждому факторному и результативному показателю.

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение индивидуальных значений от среднеарифметического. Оно  определяется по формуле:

 

Коэффициент вариации характеризует  относительную меру отклонения отдельных значений от среднеарифметической. Он рассчитывается по формуле:

Чем больше коэффициент вариации, тем относительно больший разброс  и меньшая выравненность изучаемых  объектов. Изменчивость вариационного  ряда принято считать незначительной, если вариация не превышает 10 %, средней - если составляет 10-20 %, значительной - если она больше 20 %, но не превышает 33 %. Если же вариация выше 33 %, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения нетипичных наблюдений, которые обычно бывают в первых и последних ранжированных рядах выборки.

В таблице 3 самая высокая вариация по х₅ (V = 22,98), но она не превышает 33 %. Значит, исходная информация является однородной и ее можно использовать для дальнейших расчетов.

На основании самого высокого показателя вариации можно определить необходимый  объем выборки данных для корреляционного  анализа по следующей формуле:

, где

где n - необходимый объем выборки данных;

V - вариация, %;

t - показатель надежности связи, который при уровне вероятности Р = 0,05 равен 1,96;

m - показатель точности расчетов (для экономических расчетов допускается ошибка 5-8 %).

Значит, принятый в расчет объем  выборки (40 предприятий) является достаточным  для проведения корреляционного анализа.

 

Таблица 3

Показатели статистической характеристики исходной информации

 

Переменная	Средне арифметическое  значение	Средне квадратическое  значение	Вариация, %	Асиметрия	Эксцесс	Ошибка
						Асимет рии	Эксцесса
Y	27,15	2,85	10,5	0,20	-1,16	0,37	0,73
x 1	2,77	0,28	10,08	0,36	-0,81	0,37	0,73
x 2	92,77	8,70	9,39	0,24	-0,69	0,37	0,73
x 3	8,46	0,59	7,00	0,10	-0,52	0,37	0,73
x 4	17,77	2,76	15,55	0,72	-0,08	0,37	0,73
x 5	31,68	7,28	22,98	0,63	-0,13	0,37	0,73

 

Следующее требование к исходной информации - соответствие ее закону нормального распределения. Согласно этому закону, основная масса исследуемых сведений по каждому показателю должна быть сгруппирована около ее среднего значения, а объекты с очень маленькими значениями или с очень большими должны встречаться как можно реже. График нормального распределения информации имеет следующий вид:

Рис. 1. График нормального распределения  информации

Показатель асимметрии (A) и его  ошибка (m_a) рассчитываются по следующим формулам: