Контрольная работа по "Статистике". 142

 

Контрольная работа ВАРИАНТ № 6

 

Содержание

 

 

 

Задача 1

Исследование  возрастной структуры работников коммерческих предприятий дало следующие результаты:

18 24 20 26 28 25

22 19 25 25 19 21

23 27 24 26 23 20

26 24 24 22 28 28

25 27 21 24 27 29

 

1. Систематизируйте  исходную информацию в виде групповой таблицы, образовав 4 группы с равными интервалами
2. Построенный в п.1 вариационный ряд изобразите на графике в виде гистограммы распределения и сделайте выводы о характере распределения работников по возрастным группам.

Решение

Размер интервала d находится по формуле:

                                               

                                            (1)

Xmax, Xmin – соответственно значения максимального и минимального признака;

n – количество интервалов.

d = (29 - 18) / 4 = 2,75 года.

Для отграничения групп в случае закрытых интервалов нижние границы последующих интервалов следует увеличить на 0,1 пункт по сравнению с верхними границами предыдущих интервалов.

Определим границы групп  для нашей задачи. Нижняя граница  первой группы равна минимальному значению факторного признака (количеству лет) в совокупности 18 лет (Xmin).

Верхняя граница первой группы будет равна (Xmin + d = 18 + 2,75 = 20,75 лет); второй группы соответственно – 23,5 лет (20,75 + 2,75); третьей – 26,25 лет (23,5+2,75); четвертой – 29 лет (26,25+2,75).

Нижняя граница  второй группы будет равна 20,85 лет (20,75+0,1); третьей группы – 23,6 лет (23,5+0,1); четвертой группы – 26,35 лет (26,25+0,31).

Отграничим  каждую группу работников по возрасту, обозначив нижнюю границу каждого следующего интервала числом, на 0,1 большим верхней границы предшествующего интервала (табл. 1).

Таблица 1

Группы работников по возрасту

Группы работников по возрасту, лет.	Шифр группы
18-20,75	А
20,85-23,5	Б
23,6-26,25	В
26,35-29	Г

 

В соответствии с шифрами перенесем сведения о каждом предприятии по группам в разработочную таблицу 2, где отведем графы: номер группы, группы предприятий по числу рабочих, номер предприятия по порядку из таблицы с данными, объем произведенной продукции за год, объем основных средств.

В разработочную  таблицу сначала вписывают данные первой графы с шифром А. В нее войдут группы предприятий с числом рабочих от 43 чел. до 78,5 чел. Затем введем итоговую строку, в которой в графе «Номер по порядку» подсчитывают число предприятий первой группы. Остальные группы предприятий по числу рабочих в разработочной таблице формируют аналогично первой, подводя итоги по каждой из них.

 

Таблица 2

Разработочная таблица

Шифр группы	Группы рабочих  по возрасту	Номер работника п/п из данных	Возраст, лет
1	2	3	4
А	18 – 20,75	1	18
		3	20
		8	19
		11	19
		18	20
Итого по группе А	-	5	96
Б	20,85 – 23,5	7	22
		12	21
		13	23
		17	23
		22	22
		27	21
Итого по группе Б	-	6	132
В	23,6-26,25	2	24
		4	26
		6	25
		9	25
		10	25
		15	24
		16	26
		19	26
		20	24
		21	24
		25	25
		28	24
Итого по группе В	-	12	298
Г	26,35-29	5	28
		14	27
		23	28
		24	28
		26	27
		29	27
		30	29
Итого по группе Г	-	7	194
Всего	-	30	720

 

 Итоговые  данные по каждой группе из  таблицы 2 переносим в конечную таблицу 3, графа 3 и 4.

Таблица 3

Группировка рабочих по возрасту

Шифр группы	Группы рабочих по возрасту, лет	Количество работников	Возраст работников, лет
			всего	Средний возраст  на 1 работника
1	2	3	4	5=4/3
А	18-20,75	5	96	19,2
Б	20,85-23,5	6	132	22,0
В	23,6-26,25	12	298	24,8
Г	26,35-29	7	194	27,7
-	Итого	30	720	24,0

Выводы: общее число рабочих составило 30 чел.  При этом средний возраст работника был равен 24 года. Колебался он в пределах от 18 лет до 29 лет. С ростом численности рабочих до 12 чел. в группе средний возраст повышался, в последней группе численность работников снизилась до 7 чел., а средний возраст повысился до 27,7 лет.

На рисунке 1 представим гистограмму распределения  работников по возрасту.

Рис. 1. Гистограмма  распределения работников по возрасту

 

Задача 2

 

Используя исходные данные задачи 1,  определите:

1. Средний возраст работников:

А) на основе  индивидуальных данных;

Б) на основе построенного вариационного ряда распределения.

2. Моду и медиану.

Сделайте выводы по результатам расчетов и объясните причину несовпадения вычисленных в п.2а и 2б значений средних величин.

Решение

На основе индивидуальных данных можно определить средний  возраст работников с помощью  средней арифметической простой, так  как некоторые значения возраста встречаются по одному разу:

                                                    

,                                                 (2)

где x_i – осредняемый признак;

n – количество признаков.

= 24 года.

На основе построенного вариационного ряда можно вычислить средний возраст по формуле средней арифметической взвешенной:

                                                  

,                                                  (3)

где f_i – вес, количество осредняемого признака.

Рассчитаем  на основе рассчитанных средних по группам:

                  

 

 

               

= 22,7 года.

Расхождение между  полученными показателями получились из-за округления в расчетах средних величин по группам.

Мода ( ) – это значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой:

                      

                          (4)

где - нижняя граница модального интервала (модальный – это интервал, имеющий наибольшую частоту; в нашем случае – это интервал 23,6-26,25 лет, так как у него наибольшая частота (количество работников), равное 12);

h – ширина модального интервала (в нашем случае – 2,75 лет);

- частота модального интервала (в нашем случае – 12);

- частота интервала, предшествующего  модальному (в нашем случае – 6);

- частота интервала, следующего  за модальным (в нашем случае  – 7).

 года.

Медианой ( ) называется варианта, которая делит ранжированный ряд на 2 равные части, находится по формуле:

                                       

,                                  (5)

где - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

- ширина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота i-го интервала, I = 1,2, …, K;

- частота медианного интервала.

Для определения  медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот (в нашем случае – 30/2 = 15 работников):

Таблица 4

Интервал	Накопленная частота
18-20,75	5
20,85-23,5	6+5=11
23,6-26,25	12+11=23

 

Таким образом, медианным является интервал с границами 23,6-26,25 лет. Тогда медиана равна:

23,6 + 2,75*(1/2*(30-6)/12) = 26,35 лет.

Вывод: На основе полученных данных можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является возраст работников в размере 25,1 года. В то же время более половины работников имеет возраст свыше 26,35 лет при средней его величине 24 года.

 

 

 

 

 

Задача 3

 

В результате 3-процентного  выборочного обследования лиц, совершивших разбои в регионе, получены следующие данные о возрасте преступников:

Возраст преступников, лет	До 18	18-23	23-28	28-33	Итого
Число совершенных  преступлений	11	54	42	23	130

Определите:

1. С вероятностью 0,997 пределы среднего возраста преступников
2. С вероятностью 0,954 пределы доли преступлений, совершенных в возрасте до 18 лет.

Примечание. При  проведении  выборочного обследования использовался механический способ отбора.

Решение

Чтобы найти средний возраст  преступников, воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной (формула 3). Для расчета по этой формуле нужно найти середины интервалов сложением верхней и нижней границы и делением на 2. В случае 1 интервала нижняя граница будет равна разнице между верхней границей и размера последующего интервала (5):

- 1 интервал: ((18-5)+18)/2 = 15,5 лет;

- 2 интервал: (18+23)/2 = 20,5 лет;

- 3 интервал: (23+28)/2 = 25,5 лет;

- 4 интервал: (28+33)/2 = 30,5 лет.

Средний возраст преступников:

(15,5*11+20,5*54+25,5*42+30,5*23)/130 = 23,5 года.

Определим с  вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки  и границы, в которых находится доля преступлений, совершенных в возрасте до 18 лет, состоящих из 11 человек. При заданной вероятности коэффициент доверия t = 2. Из условия определим удельный вес таких преступлений в общем количестве (частость W):

W = m / n = 11 / 130 = 0,08, или 8%.

Зная численность  выборки (n = 130 единиц) и численность генеральной совокупности (N = 130*100/3 = 4333 единиц, исходя из того, что это 3%-ная выборка), коэффициент доверия t = 2 (при вероятности Р=0,954), вычислим предельную ошибку выборки для доли преступлений с возрастом до 18 лет ( ) по формуле:

                                      

.                                  (6)

или 4,7%.

Определим пределы  удельного веса преступлений в возрасте до 18 лет:

                                              

.                                       (7)

8 – 4,7 ≤ 8 ≤ 8 + 4,7

3,3% ≤ 8% ≤ 12,7%

Зная численность  выборки (n = 130 единиц) и численность генеральной совокупности (N = 130*100/3 = 4333 человека, исходя из того, что это 3%-ная выборка), коэффициент доверия t = 3 (при вероятности Р=0,997), вычислим предельную ошибку для среднего возраста преступников по формуле:

                                                        

                                      (8)

По данным таблицы 5 произведем расчет дисперсии ( ).

 

Таблица 5

Данные для  расчета дисперсии среднего возраста преступников

(средний возраст 23,5 года)

Средний возраст  по группам, лет ( )	Кол-во преступлений( )
1	2	4	5	6
15,5	11	15,5-23,5=-8	64	704
20,5	54	20,5-23,5=-3	9	486
25,5	42	25,5-23,5=2	4	168
30,5	23	30,5-23,5=7	49	1127
Итого	130	-	-	2485

 

Находится общая дисперсия ( ) по формуле:

                                      ;                                         (9)

                                        σ  = 2485 / 130 = 19,115.

=3* года.

Вычислим пределы  среднего возраста преступников:

                                           

.                                         (10)

23,5 – 1,1 ≤ 23,5 ≤ 23,5 + 1,1

22,4 ≤ 23,5 ≤ 24,6

Ответ: с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно гарантировать, что доля преступлений до 18 лет в количестве 11 единиц будет находиться в пределах от 3,3% до 12,7%. С вероятностью 0,997 (т.е. в 997 случаях из 1000) можно утверждать, что средний возраст преступников колеблется от 22,4 года до 24,6 года.

 

 

Задача 4

 

Имеется следующие  данные о производстве бытовых холодильников  одним из заводов России в 1993-1997 гг.:

Год	1993	1994	1995	1996	1997
Произведено холодильни-ков, тыс. шт	54,5	52,1	48,4	55,2	73,6

Определите:

1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (на цепной и базисной основе)
2. Средние: абсолютный прирост, темп роста и прироста.

Постройте соответствующий  график и сделайте выводы.

Решение

Для анализа  динамики используют абсолютное отклонение (абсолютный прирост), темпы роста и темпы прироста. Все эти показатели вычисляются двумя способами – цепным и базисным. При цепном способе каждый показатель сравнивается с показателем предыдущего периода, при базисном способе каждый показатель сравнивается с показателем самого первого периода. Абсолютное отклонение определяется вычитанием из величины отчетного периода величины прошлого периода. Темп роста определяется делением величины отчетного периода на величину прошлого периода и умножением на 100. Темп прироста определяется вычитанием из темпа роста 100%.

Все произведенные  расчеты оформим в виде таблицы 6.

 

Таблица 6

Динамика производства бытовых холодильников одним из заводов России в 1993-1997 гг.

Годы	Произведено холодильни-ков, тыс. шт	Абсолютный прирост, тыс.шт.		Темпы роста, %		Темпы прироста, %
		Цепной способ	Базисный способ	Цепной способ	Базисный способ	Цепной способ	Базисный способ
1	2	3	4	5	6	7=гр.5-100	8=гр.6-100
1993	54,5	-	-	-	100,0	-	-
1994	52,1	52,1-54,5= =-2,4	52,1-54,5= =-2,4	52,1/54,5*100=95,6	52,1/54,5*100=95,6	-4,4	-4,4
1995	48,4	48,4-52,1= =-3,1	48,4-54,5= =-6,1	48,4/52,1*100 =92,9	48,4/54,5*100=88,8	-7,1	-11,2
1996	55,2	55,2-48,4= =6,8	55,2-54,5= =0,7	55,2/48,4*100=114,0	55,2/54,5*100 =101,3	14,0	1,3
1997	73,6	73,6-55,2= =18,4	73,6-54,5= =19,1	73,6/55,2*100 =133,3	73,6/54,5*100 =135,0	33,3	35,0

Средний абсолютный прирост (∆ср) находится по формуле:

                                            ∆ср = ∑∆ц.с. /  m,                                          (11)

где ∑∆ц.с. – сумма абсолютных приростов, рассчитанных по цепному способу;

m – количество абсолютных приростов.

Найдем средний  абсолютный прирост производства бытовых холодильников:

(-2,4-3,1+6,8+18,4)/4 = 4,9 тыс.шт.

Среднегодовой темп роста (Тр.ср) находится по формуле:

                               Тр.ср =             Пn/П1     *100,                                 (12)

где n – количество периодов;

Пn, П1 – соответственно показатели последнего и первого периодов.

 

Средний темп прироста определяется как разница между  темпом роста и 100%.

Найдем средний  темп роста:

     

107,8%.

Найдем средний  темп прироста:

107,8 – 100 = 7,8%.

Интенсивность развития производства холодильников представим на рисунке  2.

Рис. 2. Интенсивность производства холодильников в России

Как видно из рисунка 2, в 1995 году было снижение производства холодильников, а затем постепенно произошел рост показателя вплоть до 1997 года.

Вывод: произведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы о динамике производства холодильников в России. За 5 рассматриваемых лет производство холодильников в России возросло на 35%, или 19,1 тыс.шт. В 1994 году по сравнению с 1993 годом наблюдалось снижение производства на 2,4 тыс.шт., или 4,4%. В 1995 году по сравнению с 1994 годом также было снижение в размере 3,1 тыс.шт., или 3,1%. Самый большой прирост цепной был в 1997 году по сравнению с 1996 годом в размере 33,3%, или 18,4 тыс.шт.

В среднем за год производство холодильников  возрастало на 4,9 тыс.шт., или на 7,8%.

Задача 5

 

Используя данные  задачи 4, произведите анализ основной тенденции:

1. Исходные  и выравненные уровни ряда динамики  нанесите на график
2. Используя полученную модель, спрогнозируйте возможный объем производства бытовых холодильников в 1998 г.

Сделайте выводы.

Решение

Аналитическое выравнивание – метод выявление тенденции, когда уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: yt = f(t). Уравнение, которым выражается зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления.

Построим уравнение  тренда методом аналитического выравнивания. Для этого исходные данные представим в виде таблицы 7.

Получаем уравнение типа: yt  = a0 + a1*t.

Для расчета  параметров a0 и a1 решается следующая система нормальных уравнений:

na0 + a1∑t = ∑y

                                         a0∑t  +  a1∑t   = ∑yt,                               (13)

где n – число показателей ряда динамики (в нашем случае их 6);

t – условное обозначение фактора времени порядковыми номерами;

y – фактические значения показателей (в нашем случае – производство холодильников).

Таблица 7

Расчет уравнения  тренда для динамики

производства  холодильников в России за 1993-1997 годы

Годы	Производство  холодильников, тыс.шт.(y)	t	t	yt	yt
А	1	2	3	4	5
1993	54,5	1	1	54,5	48,5
1994	52,1	2	4	104,2	52,63
1995	48,4	3	9	145,2	56,76
1996	55,2	4	16	220,8	60,89
1997	73,6	5	25	368	65,02
ИТОГО	283,8	15	55	892,7	283,8

 

В качестве расчетных  параметров добавим в таблицу 4 графы 3 и 4. В графе 3 значения t возводим в квадрат, в графе 4 находим произведение yt. В систему нормальных уравнений подставляем данные итоговой строки, в которой предварительно произведем суммирование:

5a0 + 15a1 = 283,8           *3

15a0 + 55a1 = 892,7

Умножим каждый член первого уравнения на 3, а  затем вычтем из второго уравнения первое:

15a0 + 55a1 = 892,7          

15a0 + 45a1 = 851,4.

0a0 + 10a1 = 41,3.

Отсюда a1 = 4,13.