Контрольная работа по "Статистике". 465

 

МИНЕСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное агентство по образованию 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования 
 

Российский  государственный торгово-экономический  университет

Тульский  филиал 

(ТФ ГОУ  РГТЭУ) 
 

Контрольная работа по статистике 

Вариант № 46 
 
 
 
 

Выполнила: 

Заочного отделения

Специальности «Коммерция (торговое дело)» 

Проверил: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ТУЛА 

2010 г. 
 
 
 

I. Задание на контрольную работу: 

Задание 1.

     На  основании исходных данных, выданных преподавателем, необходимо:

1. Построить интервальный ряд распределения, определив величину интервала с помощью формулы Стерджесса.
2. Определить показатели центра распределения.
3. Вычислить показатели вариации.
4. Рассчитать показатели формы распределения.
5. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному закону распределения с помощью критерия согласия Пирсона (или Романовского)

 

     Задание 2.

     Считая  первые 4 значения первой строки исходных данных уровнями интервального временного ряда, определить показатели динамики. При расчете базисных показателей в качестве базы сравнения принять первый уровень ряда. 

     Задание 3.

     Считая  исходные данные 10%-ой простой случайной  бесповторной выборкой определить:

1. Пределы, в которых будет находиться генеральное среднее значение признака для всей совокупности с доверительной вероятностью 0.954.  
2. Пределы в которых будет находиться генеральная доля единиц совокупности, обладающих значением признака большим или равным нижней границе 5-го интервала, с доверительной вероятностью 0.997.
3. Объем выборки, обеспечивающий получение среднего значения признака с предельной ошибкой не превышающей (σ/5), и вероятностью 0.954.

 

     II. Решение:

Исходные  данные:

 

     Задание 1.

1. Построение интервального вариационного ряда распределения

      Ряд распределения – упорядоченное расположение единиц (элементов) изучаемой совокупности по группам в соответствии с  выбранным группировочным признаком.

      Ряд распределения представляет собой  таблицу, которая состоит из двух основных колонок. В первой указываются  значения, которые принимает признак  в изучаемой совокупности, а во второй – количество, того или иного значения, т.е. частота. Для признака, имеющего непрерывное изменение, строится интервальный ряд распределения. При его построении отдельные значения признака указываются в первой колонке в виде интервалов «от - до».

     Для построения интервального ряда вначале  определяем размер интервала:

,

где x_max – максимальное значение признака в совокупности;

x_min - минимальное значение признака в совокупности;

m – число интервалов

Количество  интервалов определим с помощью  формулы Стерджесса:

,

где n – объем совокупности (количество исходных значений). В нашем случае n=50.

      Количество  интервалов обязательно должно быть целым числом. Поскольку формула Стерджесса дает лишь приблизительную оценку количества интервалов, то можно принять либо m=6, либо m=7. Для удобства дальнейших вычислений примем  m=7. Тогда размер интервала будет равен:

.

      Определяем  границы интервалов. Нижняя граница  первого интервала равна минимальному значению признака в совокупности, т.е. в нашем случае равна 7. Верхняя граница первого интервала равна нижней границе плюс размер интервала, т.е. 7+3=10. Нижняя граница второго интервала равна верхней границе первого, т.е. 10. Верхняя граница второго интервала равна нижней границе второго интервала плюс размер интервала, т.е. 10+3=13 и т.д. В итоге получаем границы для семи интервалов. Заносим границы интервалов в таблицу (табл. 1, колонка 2).

      Далее подсчитываем количество значений признака из заданной совокупности, попавших в тот или иной интервал и заносим это число в колонку «Частота». Если значение попадает на границу между k-ым и (k+1)-ым интервалами, то его относят в (k+1)-ый интервал. Сумма всех частот обязательно должна совпадать с объемом совокупности (в нашем случае со значением 50).

      Вычисляем частости, т.е. частоты, выраженные в процентах к общему объему совокупности:

;

;

;

и т. д.

                                                         Таблица 1.

Интервальный  ряд распределения

        

     Накопленная частота показывает сколько единиц изучаемой совокупности имеет значение признака не более чем некоторое заданное. Она вычисляется по формуле:

 

;

;

 и т. д.

      Последнее значение накопленной частоты должно быть равно объему совокупности.

      Плотность распределения показывает сколько единиц совокупности приходятся на единицу длины интервала:

.

 и т.д. 

      Строим  графические изображения ряда распределения. 

      Рис. 1. Структурная диаграмма 
 

 
 
 
 
 

Рис.2. Полигон  распределения

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис 2.Гистограмма распределения

  

Рис 4. Кумулятивная кривая

 

2. Определение показателей центра распределения

 

      К показателям центра распределения  относятся: средняя арифметическая, мода и медиана.

       

      Средняя арифметическая

где x_i –середина i-го интервала.

 

      Мода – значение признака наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности.

      Для нахождения моды по интервальному ряду распределения в начале определяем модальный интервал, т.е. интервал с максимальной частотой. В нашем случае таким интервалом будет интервал от 9 до 12 (4-й интервал). Далее величину моды вычисляем по формуле  

,

где – нижняя граница модального интервала;

     - размер  модального интервала;

     - частота  модального интервала;

     - частота  интервала, предществующего модальному;

     - частота  интервала, следующего за модальным. 

      Медиана – значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

      Для нахождения медианы по интервальному  ряду распределения в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 6 до 9 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

      Далее величина медианы вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

     - размер  медианного интервала;

     - частота  медианного интервала;

     - накопленная  частота интервала, предществующего  медианному. 

       

3. Определение показателей вариации

 

     Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

     Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации.   

     Абсолютные  показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

 

Дисперсия

 

Среднее квадратическое отклонение

 

      Относительные показатели вариации: 

      Коэффициент осцилляции

 

      Относительное линейное отклонение

 

      Коэффициент вариации

 

4. Определение показателей формы распределения

 

      Показатель  асимметрии

 

      Если  As < 0, то асимметрия левосторонняя.

      Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

       

      Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

      Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное. 

5. Проверка  соответствия эмпирического  распределения нормальному  закону

 

      Теоретические частоты для нормального распределения  вычисляются по формуле

                                                         Таблица 2

Вычисление  теоретических частот

 

      По  результатам вычислений строим график (рис. 5). 
 

Рис. 5. Эмпирическое и теоретическое распределения 

       Для проверки соответствия эмпирического  и теоретического будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

      Применение  критерия Пирсона требует выполнения следующих условий:

      1)  число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

      2) теоретические частоты в интервалах  должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для первого, второго и последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов – первого и второго, последнего и предпоследнего. Таким образом из 7 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 4.

 

                                                         Таблица 3

Расчет  критерия Пирсона

 

      Применение  критерия согласия Пирсона требует использования специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

      m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =4);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=4-2-1=1;

 

       

     Задание 2. 

      Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

      Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4. 

                                                         Таблица 4

Временной ряд

       

      Для анализа временных рядов используются специальные показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1. 

      1. Абсолютные приросты

      а) базисные

;

;

;

      б) цепные

;

;

. 

      2. Коэффициенты роста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные

;

;

.

      3. Темпы роста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные 

;

;

. 

      4. Темпы прироста

      а) базисные

;

;

; 

      б) цепные

;

;

. 

      5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

. 

      6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k – число уровней ряда динамики. 

      7. Средний абсолютный  прирост

. 

      8. Средний коэффициент роста