Контрольная работа по "Статистике". 272

Задание 1

По данным таблицы 1.1, путем прибавления  к исходным данным трехзначной цифры 309, соответствующей трем последним цифрам зачетной книжки, рассчитать уровни каждого ряда.

Таблица 1.1

Исходные данные

Месяц	Выпуск продукции, тыс.руб.	Численность рабочих (на конец месяца), чел.	Фонд заработной платы, тыс.руб.
Январь	678000	10960	225000
Февраль	678900	11100	237200
Март	679000	11100	237000
Апрель	679200	11600	238000
Май	679600	11650	240200
Июнь	679100	11600	240000
Июль	685300	11820	241400
Август	685900	12000	243500
Сентябрь	685200	11900	242000
Октябрь	686100	12500	244300
Ноябрь	684300	12520	245700
Декабрь	699200	12750	246300

 

 

Решение

Данные ряды динамики являются интервальными. Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень ряда рассчитывается по формуле простой средней арифметической:

где n - число уровней ряда.

Тогда средние уровни ряда составят:

• выпуск продукции – тыс.руб.
• численность рабочих – чел.
• фонд заработной платы – тыс.руб.

Таблица 1.2

Данные по варианту

Месяц	Выпуск продукции, тыс.руб.	Численность рабочих (на конец меся ца), чел.	Фонд заработной платы, тыс.руб.
Январь	678309	11269	225309
Февраль	679209	11409	237509
Март	679309	11409	237309
Апрель	679509	11909	238309
Май	679909	11959	240509
Июнь	679409	11909	240309
Июль	685609	12129	241709
Август	686209	12309	243809
Сентябрь	685509	12209	242309
Октябрь	686409	12809	244609
Ноябрь	684609	12829	246009
Декабрь	699509	13059	246609
Сумма	8203508	145208	2884308

 

 

 

Задание 2

Методом укрупнения интервалов исходные данные привести к квартальным уровням  и составить таблицу 2.1. Проанализировать тенденцию.

Таблица 2.1

Квартальные уровни

Квартал	Первый	Второй	Третий	Четвёртый
Выпуск продукции, тыс.руб.
Численность, чел.
Фонд заработной платы, тыс.руб.

 

Решение

Укрупнение интервалов к квартальным уровням будем проводить по формуле простой средней арифметической:

где n - число месяцев в квартале.

Таблица 2.2

Квартальные уровни

Квартал	Первый	Второй	Третий	Четвёртый
Выпуск продукции, тыс.руб.	678942	679609	685776	690176
Численность, чел.	11362	11926	12216	12899
Фонд заработной платы, тыс.руб.	233376	239709	242609	245742

 

По рассчитанным данным видно, что  наблюдается тенденция роста  всех рядов (выпуск продукции, численность  рабочих, фонд заработной платы).

 

 

Задание 3

По данным таблицы 2.1 определить все  виды возможных относительных величин. Составить соответствующие таблицы. Проанализировать тенденцию их изменения.

 

 

Решение

Индекс динамики показывает изменение явления во времени и представляет собой отношение значений изучаемого явления в отчетный период времени к базисному.

Производительность труда рассчитывается как отношение выпуска продукции к численности работающих, которая показывает сколько продукции приходится на одного работающего.

Отношение выпуска продукции к фонду заработной платы показывает эффективность использования заработной платы.

Средняя заработная плата рассчитывается как отношение фонда заработной платы к численности работающих.

Таблица 3.1

Анализ производительности труда

Квартал	Выпуск продукции, тыс.руб.	Численность, чел.	Производительность труда, тыс. руб./чел.	Динамика к первому кварталу
Первый	678942	11362	59,75	-
Второй	679609	11926	56,99	0,954
Третий	685776	12216	56,14	0,940
Четвёртый	690176	12899	53,51	0,895

 

Таблица 3.2

Анализ эффективность использования заработной платы

Квартал	Выпуск продукции, тыс.руб.	Фонд заработной платы, тыс.руб.	Эффективность использования заработной платы	Динамика к первому кварталу
Первый	678942	233376	2,91	-
Второй	679609	239709	2,84	0,975
Третий	685776	242609	2,83	0,972
Четвёртый	690176	245742	2,81	0,965

Таблица 3.3

Анализ средней заработной платы

Квартал	Численность, чел.	Фонд заработной платы, тыс.руб.	Средняя заработная плата. тыс.руб.	Динамика к первому кварталу
Первый	11362,3	233376	20,54	-
Второй	11925,7	239709	20,10	0,979
Третий	12215,7	242609	19,86	0,967
Четвёртый	12899	245742	19,05	0,928

 

Расчеты показывают, что выпуск продукции  на одного работающего постоянно  снижается. В четвертом квартале производительность труда по сравнению  с первым кварталом снизилась  на 10,5%.

Эффективность использования заработной платы в течение года так же снижалась и в четвертом квартале производительность труда по сравнению с первым кварталом уменьшилась на 3,5%.

Как видно из таблицы 3.3, средняя  заработная плата уменьшалась и  к четвертому кварталу изменение  средней заработной платы составила – 7,2%.

 

 

 

Задание 4

Рассчитать средние показатели для первого и второго ряда динамики.

 

 

Решение

Медиана (Ме) - это величина, которая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда.

Для ранжированного ряда с четным числом индивидуальных величин медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин.

То  есть для нахождения медианы сначала  необходимо определить ее порядковый номер (ее положение в ранжированном  ряду) по формуле

где n - число единиц в совокупности.

Модой (Мо) называют значение признака, которое встречается наиболее часто у единиц совокупности. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой.

Исходные ряды являются ранжированными, следовательно, мода будет равна:

Численность – 11409 чел.

Для ряда Выпуск продукции вычислить  значение моды невозможно, так как  нет повторяющихся значений.

Положение медианы для рядов равна:

Тогда медиана будет равна:

• выпуск продукции – (тыс. руб.)
• численность – (чел.)

 

 

Задание 5

По показателю выпущенной продукции (данные таблицы 1.1) рассчитать и проанализировать все показатели вариации.

 

Решение

Рассчитаем показатели вариации. Размах вариации определяется по формуле:

(тыс. руб.)

Среднее абсолютное (линейное) отклонение определяется по формуле:

,

где: х – индивидуальное значение признака;

- среднее из значений признака;

n – численность совокупности.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

Дисперсия определяется по формуле:

Коэффициент осциляции 

Линейный коэффициент вариации определяется по формуле:

Коэффициент вариации определяется по формуле:

Для определения коэффициентов  вариации проведем дополнительные вычисления в таблице.

Таблица 4

Расчет показателей 

Месяц	Выпуск продукции, тыс.руб.
Январь	678000	5316,7	28266944,44
Февраль	678900	4416,7	19506944,44
Март	679000	4316,7	18633611,11
Апрель	679200	4116,7	16946944,44
Май	679600	3716,7	13813611,11
Июнь	679100	4216,7	17780277,78
Июль	685300	1983,3	3933611,111
Август	685900	2583,3	6673611,111
Сентябрь	685200	1883,3	3546944,444
Октябрь	686100	2783,3	7746944,444
Ноябрь	684300	983,3	966944,4444
Декабрь	699200	15883,3	252280277,8
Среднее	683317
Сумма		52200,0	390096666,7

 

Произведем расчеты  показателей вариации.

Так как между средним линейным и средним квадратическим отклонениями существует примерное отклонение , то можно утверждать, что фактическое отклонение признака близко к нормальному.

По коэффициенту вариации можно сказать, что данная совокупность однородна, доля усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины составляет 0,64%, а относительная колеблемость крайних значений признака вокруг средней равна 3,103%.

 

 

Задание 6

По показателю численности рабочих  (данные таблицы 1.1) определить темпы роста, абсолютные приросты, темпы прироста, абсолютную величину 1% прироста.

Вычислить также средние показатели динамики. Сделать выводы.

 

 

Решение

Формулы для определения абсолютных приростов:

• базисные – ;
• цепные –

Формулы для определения темпов роста:

• базисные – ;
• цепные – .

Формулы для определения темпов прироста:

• базисные – ;
• цепные – .

Абсолютное содержание 1% прироста будем определять по формуле:

Расчеты представлены в таблице 6.1

Таблица 6.1

Месяц	Численность рабочих (на конец месяца), чел.	Абсолютные темпы роста, тыс. т..		Темпы роста, %		Темпы прироста, %		Абсолют-ное содержа-ние 1% прироста, тыс. т.
		базисные	цепные	базисные	цепные	базисные	цепные
Январь	11269	-	-	-	-	-	-	-
Февраль	11409	140	140	101,24	101,24	1,24	1,24	112,69
Март	11409	140	0	101,24	100,00	1,24	0,00	0
Апрель	11909	640	500	105,68	104,38	5,68	4,38	114,09
Май	11959	690	50	106,12	100,42	6,12	0,42	119,09
Июнь	11909	640	-50	105,68	99,58	5,68	-0,42	119,59
Июль	12129	860	220	107,63	101,85	7,63	1,85	119,09
Август	12309	1040	180	109,23	101,48	9,23	1,48	121,29
Сентябрь	12209	940	-100	108,34	99,19	8,34	-0,81	123,09
Октябрь	12809	1540	600	113,67	104,91	13,67	4,91	122,09
Ноябрь	12829	1560	20	113,84	100,16	13,84	0,16	128,09
Декабрь	13059	1790	230	115,88	101,79	15,88	1,79	128,29

 

Средний абсолютный прирост будем  определять по формуле:

Средний абсолютный прирост равен:

(чел.);

Средний темп роста будем определять по формуле:

Темпы роста берутся в коэффициентах.

Средний темп роста будет равен:

;

Средний темп прироста будем определять по формуле:

Средний темп прироста равен:

1,080 – 1 = 0,08

Расчеты показывают, что численность  рабочих по сравнению с январем  месяцем постоянно увеличивается, однако в июне и сентябре происходит снижение численности по сравнению с маем и августом на 0,42% и 0,81%соответственно.

В среднем каждый месяц абсолютный прирост численности работающих составил 162 чел. или 108%.

 

 

Задание 7

Изучить методы сглаживания рядов  динамики скользящей средней и аналитического выравнивания. По показателю фонда заработной платы (данные таблицы 1.1)  выполнить подробные вспомогательные и основные расчеты.  Теоретически обосновать расчеты и полученные результаты.

 

 

Решение

Метод сглаживания по скользящей трехчленной  средней заключается в том, что для каждого уровня определяют трехзвенную скользящую среднюю по формуле:

Воспользовавшись данной формулой, рассчитаем показатели сглаженного  ряда динамики (табл.7.2)

При сглаживании методом наименьших квадратов используется представление уровней ряда в виде функции от времени.

Если представить, что зависимость  между показателем времени и  численности населения в регионе  линейная, то функция имеет вид:

Методом наименьших квадратов  получим следующие оценки параметров:

,

В рядах динамики техника расчета  параметров может быть упрощена. Для  этого показателю времени придают  такие значения, чтобы их сумма  была равна нулю. В этом случае параметры определяются следующим образом:

,

Произведем расчеты коэффициентов  уравнения и на их основании построим аналитическую линию сглаживания  параметров.

Все расчеты представлены в таблице  7.1.

Таблица 7.1.

Аналитическое сглаживание ряда динамики  по методу наименьших квадратов.

t(месяцы)	х (фонд заработной платы), тыс.руб.	t2	xt
-6	225309	36	-1351854
-5	237509	25	-1187545
-4	237309	16	-949236
-3	238309	9	-714927
-2	240509	4	-481018
-1	240309	1	-240309
1	241709	1	241709
2	243809	4	487618
3	242309	9	726927
4	244609	16	978436
5	246009	25	1230045
6	246609	36	1479654
Сумма	2884308	182	219500

 

Для расчета сглаженной численности  нами были определены коэффициенты аналитического уравнения:

,

Расчеты линии сглаживания  производился по уравнению:

Таблица 11.

Сглаживание ряда динамики

Месяц	Фонд заработной платы, тыс.руб.	трехзвенной скользящей средней	аналитическое выравнивание
Январь	225309		233122,74
Февраль	237509	233375,67	234328,78
Март	237309	237709,00	235534,82
Апрель	238309	238709,00	236740,87
Май	240509	239709,00	237946,91
Июнь	240309	240842,33	239152,96
Июль	241709	241942,33	241565,04
Август	243809	242609,00	242771,09
Сентябрь	242309	243575,67	243977,13
Октябрь	244609	244309,00	245183,18
Ноябрь	246009	245742,33	246389,22
Декабрь	246609		247595,26

 

Сглаживание ряда динамики позволяет установить тенденцию развития явления. Произведенное нами сглаживание фонда заработной платы позволяет сделать вывод о том, что выравнивание ряда динамики подтверждает сделанные ранее выводы о росте фонда заработной платы на протяжении исследуемого периода.

 

 

Задание 8

Индексным методом определить влияние  на изменение фонда заработной платы  в декабре по сравнению с январем средней заработной платы на одного рабочего и их численности.

 

 

Решение

Индекс переменного состава  будем находить по формуле:

Тогда

Индекс постоянного состава  – это индекс, исчисленный с весами, зафиксированными на уровне одного периода и показывающий изменение только индексируемой величины.

Индекс цен постоянного состава  будем определять по формуле:

Отсюда

Индекс структурных сдвигов – это индекс, характеризующий влияние изменения структуры изучаемого явления на динамику среднего уровня этого явления.

Индекс структурных сдвигов  будем определять по формуле:

Тогда

В связи с тем что индексы переменного и постоянного состава равны, то можно сказать что на фонд заработной платы оказало одинаковое влияние изменение численности рабочих и средней заработной платы.

 

 

Задание 9

С помощью корреляционно-регрессионного анализа  изучить связь между первым и вторым признаками. Для этого:

а) построить эмпирическую линию  регрессии:

б) оценить тесноту связи между  признаками;

в) найти уравнение связи, график которого представить в той же системе координат, что и эмпирическая линия регрессии.

г) сделать выводы

 

 

Решение

Построим эмпирическую линию регрессии отношения выпуска продукции (у) к числу работающих (х).

Рисунок 9.1. Эмпирическая линия регрессии

 

Для оценки тесноты связи между признаками используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции будем определять по формуле:

Для определения коэффициента корреляции проведем дополнительные расчеты.

Таблица 9.2

Расчетная таблица для  определения коэффициента корреляции

Месяц	Численность рабочих (на конец месяца), чел. (х)	Выпуск продукции, тыс.руб. (у)	X²	X Y	Y²
Январь	11269	678309	126990361	7643864121	460103099481
Февраль	11409	679209	130165281	7749095481	461324865681
Март	11409	679309	130165281	7750236381	461460717481
Апрель	11909	679509	141824281	8092272681	461732481081
Май	11959	679909	143017681	8131031731	462276248281
Июнь	11909	679409	141824281	8091081781	461596589281
Июль	12129	685609	147112641	8315751561	470059700881
Август	12309	686209	151511481	8446546581	470882791681
Сентябрь	12209	685509	149059681	8369379381	469922589081
Октябрь	12809	686409	164070481	8792212881	471157315281
Ноябрь	12829	684609	164583241	8782848861	468689482881
Декабрь	13059	699509	170537481	9134888031	489312841081
Сумма	145208	8203508	1760862172	99299209472	5608518722172
Среднее	12100,67	683625,67	146738514,33	8274934122,67	467376560181

Так как значение коэффициента корреляции положительно и составляет 0,82 то можно утверждать, что связь между численностью рабочих и выпуском продукции прямая и сильная. То есть с увеличением численности рабочих происходит увеличение выпуска продукции.

Определение коэффициентов  уравнения проведем при помощи методов  наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости имеет вид:

Проведем предварительные  расчеты в таблице.

Таблица 9.1

Расчет сумм для определения  параметров парного линейного уравнения  регрессии

Месяц	Численность рабочих (на конец месяца), чел. (х)	Выпуск продукции, тыс.руб. (у)	X²	X Y
Январь	11269	678309	126990361	7643864121
Февраль	11409	679209	130165281	7749095481
Март	11409	679309	130165281	7750236381
Апрель	11909	679509	141824281	8092272681
Май	11959	679909	143017681	8131031731
Июнь	11909	679409	141824281	8091081781
Июль	12129	685609	147112641	8315751561
Август	12309	686209	151511481	8446546581
Сентябрь	12209	685509	149059681	8369379381
Октябрь	12809	686409	164070481	8792212881
Ноябрь	12829	684609	164583241	8782848861
Декабрь	13059	699509	170537481	9134888031
Сумма	145208	8203508	1760862172	99299209472