Контрольная работа по «Статистике». 51

Вариант №4

Задача 1. 52 наблюдения за жирностью молока дали такие результаты (%):

3,86  4,06  3,67  3,97  3,76  3,61  3,96  4,04  3,84  3,94  3,89  3,98  3,57  3,87  4,07  3,99  3,69  3,76  3,71  3,94  3,82  3,91  4,16  3,76  4,00  4,08  3,46  3,88  4,01  3,93  3,71  3,81  4,02  4,17  3,72  4,09  3,78  4,02  3,73  3,52  3,89  3,92  4,18  4,26  4,03  4,14  3,72  4,33  3,82  4,03  3,82  3,91.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами, построить гистограмму, найти среднее значение, дисперсию, коэффициент вариации и размах вариации.

Решение

При большом числе наблюдений (n ≥ 20) выборка перестает быть удобной формой записи – она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Поэтому первичные данные (выборка) нуждаются в обработке, которая всегда начинается с их группировки.

Построение интервального вариационного ряда распределения включает следующие этапы:

1. Определение среди имеющихся  наблюдений (табл. 4.2) минимального хmin и максимального хmax значений признака. В данном примере это будут хmin = 17,9 и хmax = 53,6.

2. Определение размаха варьирования  признака R = хmax – х min = 35,7.

3. Определение длины интервала по формуле Стерджеса   , где n – объем выборки.

В данном примере h = 35,7/8=4,45=4,5 (ссм).

4. Определение граничных значений  интервалов (аi – bi). За нижнюю границу первого интервала рекомендуется брать величину, равную а1 = хmin – h/2.

Верхняя граница первого интервала b1 = a1 + h. Тогда, если bi – верхняя граница i-го интервала (причем аi+1= bi), то b 2 = a2 + h, b3 = a3 + h и т.д. Построение интервалов продолжается до тех пор, пока начало следующего по порядку интервала не будет равно или больше хmax.

В примере граничные значения составляют: 
     а1 = 17,9 – 0,5∙4,5 = 15,7;                                 b1 = 20,2;  

a2 = 20,2;  b2 = 24,7 и т.д.

Границы последовательных интервалов запишем в первой графе табл.

5.      Сгруппируем результаты наблюдений.

Ответ

Число интервалов обычно берут равным от 7 до 15 в зависимости от числа наблюдений и точности измерений с таким расчетом, чтобы интервалы были достаточно наполнены частотами. Однако приближенно число интервалов можно оценить исходя только из объема выборки с помощью таблицы. Если получают интервалы с нулевыми частотами, то нужно увеличить ширину интервалов (особенно в середине интервального ряда). 
 
Выбор числа интервалов группировки

Для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения ( ) и характера рассеивания (S2 и S) вариационные ряды изображаются графически.

Для изображения как дискретных, так и интервальных рядов применяются полигоны и кумулята, для изображения только интервальных рядов – гистограмма. Для построения этих графиков запишем вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот (частостей) Wi = ni / n, накопленных относительных частот WHi и найдем отношение Wi / h, заполнив табл.

       Таблица 
Статистический ряд распределения

 
     Для построения гистограммы относительных частот (частостей) по оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wiданного i–го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi / h; в нашем примереh=4,5.

Следовательно, площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Для построения кумуляты дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат – относительные накопленные частоты WHi . Полученные точки соединяют отрезками прямых. Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают верхние границы группировки.

С кумулянтой сопоставляется график интегральной функции распределения F(x).

В нашем примере коэффициенты асимметрии и эксцесса не намного отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии оказался положительным ( A˜s = 0,6), что свидетельствует о правосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс также оказался положительным ( -E˜k= 0,82). Это говорит о том, что кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной имеет более крутую вершину.

Задача 2. Получены следующие данные о распределении рабочих на предприятиях по времени, затраченному на выработку детали:

Постройте кумулятивный ряд, начертите кумулянту, найдите моду и медиану.

Решение

Мода - это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем -значение модальной величины признака по формуле:

(1)

где:

- значение моды

- нижняя граница модального интервала

- величина интервала

- частота модального интервала

- частота интервала, предшествующего  модальному

- частота интервала, следующего  за модальным

Ответ

Как видно из представленной таблицы наибольшей частотой является 8, этой частоте соответствует модальное значение признака. Следовательно модой в данном примере будет 11, что свидетельствует о том, что наибольшее количество времени потрачено 11 рабочими. Порядковый номер медианы будет равен 2,5, следовательно медианна будет равна 2,75. 

Найдем медианный интервал по накопленной частоте. Нужная накопленная частота определяется путем суммирования частот f до тех пор, пока очередная накопленная частота впервые не превысит половину совокупности n +1/2 или n/2.

Для нечетного ряда (25+1)/2= 13→S= 18 →18-20- медианный интервал.

Задача 3. Для данных, приведенных в таблице, определите абсолютные приросты, коэффициенты роста, коэффициенты прироста, среднее значение одного процента прироста:

Решение

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемых явлений. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя или уровень ряда.

При изучении явлений во времени исследователь часто сталкивается с необходимостью описать интенсивность изменения и рассчитать средние показатели динамики. Эта проблема решается путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут: 

Абсолютный прирост - характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени.

Темпы роста (коэффициент роста) – показатель интенсивности изменения уровня ряда. Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы), или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы). В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень либо для каждого последующего предшествующий ему. В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором о цепных.

Ответ

 
Среднегодовой коэффициент или темп роста:

Тр=4√0,982*1,002*0,954*1,013= 0,987*100%=98,7%

Среднегодовой абсолютный прирост: 

А=(-85+14-223+64)/4= -230/4= -57,5

Задача 4. Для данных, приведенных в таблице, выполнить следующее:

1. Провести простое сглаживание  динамического ряда и выбрать  соответствующую кривую, описывающую тренд.

2. Оценить параметры тренда.

Решение

Если рассматриваемое явление носит линейный характер, то применяется простая скользящая средняя. Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют  длину интервала сглаживания  g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g).

2. Разбивают весь период наблюдений  на участки, при этом интервал  сглаживания как бы скользит  по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения  ряда, стоящие в центре каждого  участка, на соответствующие средние  значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Ответ

Простые скользящие средние — относительно грубый статистический прием выявления тенденции. В ряде случаев сглаживание с помощью простой скользящей средней оказывается настолько сильным, что тенденция развития проявляется лишь в самом общем виде, а отдельные важные для экономического анализа детали исчезают, так как в результате сглаживания могут исчезнуть относительно мелкие волны или изгибы в тренде. Кроме того, часто после сглаживания мелкие волны меняют свой знак, т. е. вместо выпуклого участка на кривой получают вогнутый, и наоборот.

Более тонкий прием, базирующийся на той же самой идее, что и простые скользящие средние, заключается в применении взвешенных скользящих средних. Если при применении простой скользящей средней все уровни ряда признаются равноценными, то при исчислении взвешенной средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния, измеряемого от данного уровня до середины интервала сглаживания.

Система весов определяется исходя из следующих соображений. Предполагается, что поведение временного ряда на интервале сглаживания m=2p+1 «хорошо» описывается полиномом степени p от времени i:

. (2.3)

Параметры этого полинома определяют исходя из условия, согласно которому сумма квадратов отклонений фактических уровней от расчетных, должна быть минимальной (другими словами используют МНК). Для удобства расчетов ось времени смещают так, чтобы средний момент времени в интервале сглаживания стал равным нулю, т.е. i= -p, -(p-1), …,0, …,p-1,p. Приписываемое сглаженному ряду  t, вычисленное по полиному значение, берут для момента времени i=0, т.о. оно будет равно a0. В результате мы находим одно значение для сглаженного ряда. Продвинув интервал сглаживания на один шаг вперед по исходному ряду, мы получим еще одно значение сглаженного ряда и т.д. С учетом обычных при сглаживании потерь значений на концах ряда, получаем, что сглаженный ряд будет содержать n-2p значений (исходный ряд содержит n значений).

Нахождении параметра а0 полинома проиллюстрируем на примере полинома второй степени. По методу МНК мы должны минимизировать сумму квадратов отклонений:

Для этого мы дифференцируем эту сумму по каждому из параметров полинома и приравниваем эти производные нулю. Таким образом, получаем следующую систему нормальных уравнений:

Далее

Поскольку

то

Умножив второе уравнение на -34/10 и сложив его с третьим уравнением, получим:

Отсюда

Рассчитанные таким способом веса обладают двумя основными свойствами:

1) сумма  весов равна единице;

2) веса  симметричны относительно середины  интервала сглаживания.

Задача 5. Известны следующие данные о продаже двух товаров:

Вычислите индивидуальные и общие индексы цен, физического объема товарооборота и стоимости реализованных товаров.

Решение

Обозначим цену за единицу каждого периода в отчетном периоде буквой р1, в базисном периоде – р0, количество проданных товаров в отчетном периоде – q1, в базисном – q0, общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода – р1q1, то же в базисном по ценам базисного периода – р0q0, общий индекс товарооборота – Ipq.

Общее изменение товарооборота стоимости проданных товаров можно определить, сопоставив общую стоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода с общей стоимостью проданных товаров в базисном периоде по ценам базисного периода: Ipq=25045/21470=1,167 или 116,7%. Таким образом, товарооборот (общая выручка от продажи товаров) увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 16,7%. В нашем примере в отчетном периоде за реализованные товары было получено 25045 руб., а в базисном – 21470 руб. Следовательно, в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот увеличился в абсолютном выражении на 25045 – 21470=3575 руб.

Придерживаясь принятых обозначений, можно записать формулу общего индекса товарооборота:

Аналогично индексу товарооборота рассчитываются индексы продукции, потребления и т.д.

Приведенная формула индекса товарооборота называется агрегатной. Агрегатными называются индексы, числители и знаменатели которых представляют собой суммы, произведения или суммы произведений уровня изучаемого явления. Агрегатная форма индекса является основной, наиболее распространенной формой экономических индексов; она показывает относительное изменение изучаемого экономического явления и абсолютные размеры этого изменения.

Веса агрегатных индексов цен и физического объема продукции. Агрегатная формула индекса товарооборота показывает, что его величина зависит от двух явлений, от двух переменных величин: физического объема товарооборота, т.е. количества проданных товаров, и цены за каждую единицу реализованных товаров. Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности, следует влияние одной из них исключить, т.е. принять условно в качестве постоянной, неизменной величины на уровне отчетного или базисного периода. Какой же период принять в качестве постоянной величины? В связи с этим возникает вопрос о базисных и отчетных весах агрегатного индекса. Рассмотрим этот вопрос на примере индекса цен и индекса физического объема товарооборота.

Агрегатный индекс цен. Общее изменение цен можно определить, считая постоянной, неизменной величиной количество проданных товаров за отчетный или базисный период. Если для получения индекса цен принять в качестве весов данные о количестве проданного товара за отчетный период, то, придерживаясь принятых выше обозначений, можно записать формулу агрегатного индекса цен:

Если же принять в качестве весов данные о количестве проданных товаров в базисном периоде, то формула агрегатного индекса цен будет иметь следующий вид:

Получены две формулы агрегатных индексов цен: с отчетными и базисными весами. Эти индексы не идентичны. Чтобы убедиться в этом, вычислим индексы цен с отчетными и базисными весами, используя данные таблицы.

Агрегатный индекс цен с отчетными весами равен

=25045/27200=0,921 или 92,1%

Агрегатный индекс цен с базисными весами равен:

=19465/21470=0,907 или 90,7%.

Таким образом, величины индекса зависит от индексируемых показателей, т.е. от величин, изменения которых мы хотим определить (в данном случае цен), и от сомножителей, которые берутся в качестве весов (в нашем примере – количества проданных товаров), так как в зависимости от того, какие данные взяты в качестве весов – данные базисного или отчетного периода, получают два разных индекса.

Первый индекс характеризует изменение цен отчетного периода по сравнению с базисным по продукции, реализованной в отчетном периоде, и фактическую экономию от снижения цен. Экономическое содержание второго индекса совершенно другое. Он показывает, насколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, но по той продукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию, которую модно было бы получить от снижения цен, т.е. условную экономию. Агрегатный индекс цен с отчетными весами Ip=92.1% означает, что цены на указанные товары в отчетном периоде снизились по сравнению с базисным на 7,9% (базисный период принимается за 100%), а абсолютная фактическая экономия от снижения цен составила Sp1q1-Sp0q1=25045-27200=-2155 руб.