Методика корреляционного анализа

Методика корреляционного анализа

Оглавление

Введение. 1

1. Понятие и виды корреляционной связи. 2

2. Анализ сущности изучаемого явления, проверка однородности первичной информации. 4

3. Установление факта наличия и направление корреляционной зависимости. 5

4. Оценка существенности корреляционной связи. 10

5. Множественная корреляционная зависимость. 12

6. Использование функций Excel при проведении корреляционного анализа. 14

Заключение. 20

Список литературы. 20

 

Введение.

Диалектический подход к  изучению природы и общества требует  рассмотрения явлений в их взаимосвязи  и непрестанном изменении.

Понятие корреляции появилось  в середине XIX в. благодаря работам английских статистиков Ф.Гальтона и К.Пирсона. Термин произошел от латинского “correlation” – соотношение, взаимосвязь.

В естественных науках часто  речь идет о функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной  переменной соответствует вполне определенное значение другой. Функциональная зависимость  может иметь место как между детерминированными (неслучайными) переменными (например зависимость скорости падения в вакууме от времени), так и между случайными величинами (например зависимость стоимости проданных изделий от их числа).

         В экономике в большинстве  случаев между переменными величинами  существуют зависимости, когда  каждому значению одной переменной  соответствует не какое-то определенное, а множество возможных значений  другой переменной. Иначе говоря, каждому значению одной переменной  соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость (связь) получила  название статистической.

        Возникновение  статистической связи обусловливается  тем, что зависимая переменная  подвержена влиянию ряда неконтролируемых  или неучтенных факторов, а также  тем, что измерение значений  переменных неизбежно сопровождается  некоторыми случайными ошибками. Примером статистической связи  является зависимость урожайности  от количества внесенных удобрений,  производительности труда на  предприятии от его энерговооруженности  и т.п. Конечно для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается – увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.

В данной работе мы рассмотрим понятие корреляции и порядок  проведения корреляционного анализа.

1. Понятие и виды корреляционной связи.

 Изучить, насколько изменение одного показателя зависит от изменения другого – одна из важнейших задач статистики. Статистическая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенное среднее значение, т.е. условное математическое ожидание другой, называется корреляционной. Иначе корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость между значениями одной из них и условным математическим ожиданием другой.

Корреляционная зависимость  проявляется лишь на основе массового  наблюдения.

Основными задачами при изучении корреляционных зависимостей являются: 
- выявление наличия (или отсутствие) связи; 
- отыскание формы связи в виде математической формулы, выражающей эту зависимость;

- измерение тесноты такой  зависимости.

В зависимости от направления  связи бывают прямыми (положительными), когда зависимая переменная возрастает с увеличением факторного признака, и обратными (отрицательными), когда  рост факторного признака сопровождается уменьшением функции.

В зависимости от своей  аналитической формы связи бывают линейными (между признаками в среднем  проявляются линейные отношения) и  нелинейными (переменные связаны между  собой нелинейно, например параболической, экспонциальной, гиперболической и другой зависимостью).

Важной является характеристика связей с точки зрения количества взаимодействующих факторов. Если изучается  связь двух признаков, то ее принято  называть парной; если изучается зависимость  между системами признаков (предполагается, что хотя бы в одной из систем число признаков больше двух), связь  принято называть множественной.

В зависимости от полноты  охвата системы взаимосвязанных  признаков корреляционные связи  делятся:

- на полные, учитывающие  связь как непосредственную в  данной паре признаков, так  и опосредованную влиянием прочих  признаков системы;

- частные, т.е. непосредственные  для данной пары признаков;

- ложные.

Для полной связи характерно участие какой-то третьей переменной (одной или нескольких), которая опосредует дополнительную связь между двумя изучаемыми признаками. В случае частной связи изучается взаимодействие признаков с исключенным влиянием «посредников». Ложная связь – это связь, установленная формально и подтвержденная только количественными оценками; она не имеет под собой качественной основы или вообще бессмысленна.

В зависимости от степени (силы, тесноты) различаются связи  слабые и сильные. Это формальная характеристика выражается конкретными  величинами и интерпретируется в  соответствии с общепринятыми критериями связи для конкретных показателей.

2. Анализ сущности изучаемого явления, проверка однородности первичной информации.

В ходе проведения анализа  сущности изучаемого явления необходимо установить результативный показатель (у) и факторы его изменения, характеризуемые  показателями (х1, х2, х3,…).

Важнейшими условиями  правильного применения методов корреляционного анализа являются: достаточное число наблюдений, однородность тех единиц, которые подвергаются изучению, распределение исследуемых признаков-факторов в соответствии с законом нормального распределения.

Для оценки однородности совокупности используется коэффициент вариации по факторным признакам - ν = σ/Х ср * 100,

где σ- среднее квадратическое отклонение признака-фактора;

      Х ср – среднее значение признака фактора.

Совокупность считается  однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Проверка нормальности распределения  исследуемых факторных признаков  может выполняться по правилу  «трех сигм».

При использовании правила  «трех сигм» результаты проверки на нормальность распределения следует  представлять в табличной форме (табл.1).

Таблица 1

Интервалы значений признака-фактора	Число единиц, входящих в  интервал	Уд.вес единиц, входящих в интервал, в общем их числе, %	Уд.вес единиц, входящих в интервал, при нормальном распределении,%
1	2	3	4
			68.36
			95.4
			99.7

 

Сопоставление данных граф 2 и 3 позволяет судить о наличии  или об отсутствии нормальности распределения. На практике часто встречаются случаи отклонения от этих двух предпосылок  – однородности совокупности и нормальности распределения. Однако это не означает, что следует отказаться от применения корреляционного анализа.

Если значения единиц входящих в совокупность не попадают в интервал:

 

То эти значения исключаются  из совокупности и формируется новый массив для последующего анализа.

3. Установление  факта наличия и направление  корреляционной зависимости.

Для установления наличия  корреляционной связи используется ряд специфических методов : параллельное сопоставление рядов результативного и факторного признака, графическое изображение фактических данных с помощью поля корреляции, построение корреляционной таблицы, построение групповой таблицы.

Сопоставление двух параллельных рядов – простейший метод обнаружения  связи. Значения факторного признака располагают  в возрастающем порядке в первом ряду; во втором ряду записывают соответствующие  значения результативного признака (т.е. значения, относящиеся к той  же единице); затем прослеживается направление  изменения результативного признака.

Корреляционное поле –  точечный график, для построения которого по масштабной оси абцисс откладываются значения факторного признака х, а по масштабной оси ординат – значения результативного признака у. Каждой единице изучаемой совокупности на графике соответствует одна точка, положение которой определяется величиной двух признаков, характеризующих эту единицу. По расположению точек судят о наличии связи или ее отсутствии. Если точки разбросаны по всему полю – связи нет.

Визуальный анализ корреляционного  поля позволяет сделать предположение  о форме взаимосвязи двух исследуемых  показателей( рис. 1).

Рис.1. Корреляционное поле

Визуально анализируя корреляционное поле на рисунке 1, можно заметить, что оно как бы вытянуто вдоль какой-либо прямой линии. Такая картина характерна для так называемой линейной корреляционной взаимосвязи между признаками.

Наряду с этим примером из множества других возможных корреляционных полей можно выделить следующие (рис.2-3):

 

Рис. 2. Виды корреляционного  поля

Рис.3. Вид корреляционного  поля.

На рисунке 2-1 тоже просматривается линейная взаимосвязь, но с увеличением значений одного признака, уменьшаются значения другого, и наоборот, т.е. связь обратная или отрицательная. Можно предположить, что на рисунке 3 точки корреляционного поля разбросаны около какой-то кривой линии. В таком случае говорят, что между признаками существует криволинейная корреляционная связь.

В отношении корреляционного  поля, изображенного на рисунке 2-2, нельзя сказать, что точки располагаются вдоль какой-то прямой или кривой линии, оно имеет сферическую форму. В этом случае говорят, что признаки Х и Y не зависят друг от друга.

Кроме этого по корреляционному  полю можно примерно судить о тесноте  корреляционной связи, если эта связь  существует. Здесь говорят: чем меньше точки разбросаны около воображаемой усредненной линии, тем теснее корреляционная связь между рассматриваемыми признаками.

Визуальный анализ корреляционных полей помогает разобраться в  сущности корреляционной взаимосвязи, позволяет высказать предположение  о наличии, направленности и тесноте  связи. Но точно сказать, имеется  связь между признаками или нет, линейная связь или криволинейная, тесная связь (достоверная) или слабая (недостоверная), с помощью этого  метода нельзя. Наиболее точным методом  выявления и оценки линейной взаимосвязи  между признаками является метод  определения различных корреляционных показателей по статистическим данным.

В тех случаях, когда количество единиц, входящих в изучаемую совокупность, относительно велико, возникает необходимость  сведения данных в особую таблицу, которая  называется корреляционной таблицей. Для построения корреляционной таблицы  проводится группировка значений факторного и результативного признака при  одинаковом числе групп. В таблице  факторный признак х располагают в строках, а результативный признак у – в столбцах (графах) таблицы. В клетки, образованные пересечением строк и столбцов таблицы, записываются частоты повторения данного сочетания значений х и у. Если частоты расположены в клетках по диагонали из верхнего угла в правый нижний угол, то можно предполагать о наличии прямой корреляционной зависимости между признаками. Если частоты расположены в клетках по диагонали справа налево, то предполагают наличие обратной связи.

Пример корреляционной таблицы  представлен ниже:

Таблица 2.

Корреляционная таблица

Y	X
	30	35	40	45	50	55	ny
45	4	2					6
55		5	3				8
65			5	45	5		55
75			7	8	2		17
85				4	3	7	14
nx	4	7	15	57	10	7

 

Основным методом выявления  наличия корреляционной связи является метод аналитической группировки  и определения групповых средних. Он заключается в том, что все единицы совокупности разбиваются на группы по величине признака-фактора и для каждой группы определяется средняя величина результативного признака. На основе данных аналитической группировки строится график эмпирической связи, вид которой не только позволяет судить о возможном наличии связи, но и дает некоторое представление о форме корреляционной связи.

Рассмотрим пример аналитической  группировки валового регионального  продукта и коэффициентов рождаемости  по РФ в таблице 3.

Таблица 3.

Аналитическая группировка

Валовый региональный продукт, млн.руб.	Число областей	Сумма коэф-в рожд-ти	Средний коэф-т рождаемости
14-94	22	313,2	14,2
95-175	20	240,8	12,0
176-256	14	162,3	11,6
257-337	7	77,6	11,1
338-418	3	39,8	13,3
419-499	4	46,6	11,7
500-580	0	-	-
581-661	5	63,1	12,6
662-742	0	-	-
743-825	3	36,2	12,1
	78	979,6

По сгруппированным данным строится эмпирическая ломаная:

Рис.4. Эмпирическая линия.

4. Оценка существенности корреляционной связи.

Для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции. Иногда его называют просто коэффициентом корреляции. Если заданы значения переменных Х и У, то он вычисляется по формуле:

 Можно использовать  и другие формулы, но результат  должен быть одинаковым для  всех вариантов расчета.

Линейный коэффициент  корреляции может принимать значения от 0 ± 1 (знак (+) при прямой зависимости, (-) при обратной).

На практике руководствуются  следующими оценками тесноты связи:

при r < 0,3 - связь слабая;

r = 0,3 - 0,7 - средняя;

r > 0,7 - сильная;

r = 0 - связь отсутствует;

r = 1 - связь функциональная.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на достоверность (надежность). Считается, что корреляционная связь является достоверной лишь при достаточном числе наблюдений (не менее 20 - 30). Проверка надежности коэффициента корреляции осуществляется с помощью критерия надежности по формуле:

r

где σ_r. среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции:

,

где n - число наблюдений.

Если t_r ≥ 3, то r считается надежным, а связь доказанной с вероятностью 0,997.

Если t_r < 3, связь нельзя считать достоверной.

Из формулы средней  квадратической ошибки видно, что эта ошибка находится в обратной зависимости от числа наблюдений.

Для всех иных форм связи  теснота ее может быть определена с помощью корреляционного отношения:

 

Где δ - дисперсия выровненных  значений результатного признака ( y ):

 

σ - дисперсия фактических  значений результатного признака ( y ):

 

 

Если δ² =σ² , значит η = 1и вариация y полностью зависит от вариации x .

Если δ² = 0 , значит вариация x никак не влияет на вариацию y и в этом случае η = 0 .

То есть, чем ближе η  к 1, тем связь теснее, а чем  ближе к нулю, тем слабее.

Если связь между признаками определяется методом аналитической  группировки, то корреляционное отношение целесообразно определить соотношением межгрупповой и общей дисперсии, т.е.:

 

 

Где δ -

σ -

5. Множественная корреляционная зависимость.

Изучение множественной  корреляционной зависимости начинается с анализа матрицы парных коэффициентов  корреляции. Это позволяет произвести отбор факторов, включаемых в модель множественной зависимости.

Матрица имеет следующий  вид:

При полном отсутствии корреляции между факторами матрица парных коэффициентов корреляции между  факторами — просто единичная  матрица, ведь все недиагональные элементы в этом случае равны нулю. Напротив, если между факторами имеется полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0. Следовательно, можно сделать вывод, что чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. Чем ближе к 1 этот определитель, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Если известно, что параметры  уравнения множественной регрессии  линейно зависимы, то число объясняющих  переменных в уравнении регрессии  можно уменьшить на единицу. Если действительно использовать подобный прием, то можно повысить эффективность  оценок регрессии. Тогда имевшаяся ранее мультиколлинеарность может быть смягчена. Даже если такая проблема и отсутствовала в исходной модели, то все равно выигрыш в эффективности может привести к улучшению точности оценок. Естественно, такое улучшение точности оценок отражается их стандартными ошибками. Сама линейная зависимость параметров называется также линейным ограничением.

Для измерения тесноты  связи между изменениями величины результативного признака у и изменениями значений факторных признаков определяется коэффициент множественной корреляции, если число факторов-признаков более двух, то совокупный коэффициент корреляции определяется следующим образом:

 

Где ∆ - матрица парных коэффициентов  корреляции;

∆^* - соответствует матрице парных коэффициентов корреляции ∆ без верхних строки и первого столбца.

Величина совокупного  коэффициента корреляции изменяется в  пределах от 0 до 1 и численно не может  быть меньше, чем любой из образующих его парных коэффициентов корреляции. Чем ближе он к единице, тем  меньше роль неучтенных в модели факторов и тем более оснований считать, что параметры регрессионной модели отражают степень эффективности включенных в нее факторов.

6. Использование функций Excel при проведении корреляционного анализа.

В настоящее время можно  использовать для проведения корреляционного  анализа программные средства вычислительной техники. Рассмотрим порядок проведения корреляционного анализа с использованием функций Excel, в том числе пакет «Анализ данных».

Для построения корреляционного  поля в командной строке выбираем меню Вставка/ Диаграмма. В появившемся  диалоговом окне определяем тип диаграммы: Точечная; вид: Точечная диаграмма, позволяющая сравнить пары значений (Рис. 5).

Рис.5. Выбор типа диаграммы

Нажимаем кнопку Далее>. В появившемся диалоговом окне (Рис. 6) указываем диапазон значений, например = Лист1!A2:B26 и указываем расположение данных: в столбцах.

Рис. 6. Вид окна при выборе диапазона и рядов

Нажимаем кнопку Далее>. В следующем диалоговом окне (рис. 7) указываем название диаграммы, наименование осей. Нажимаем кнопку Далее>, и Готово.

Рис.7. Вид окна, шаг 3.

Таким образом, получаем корреляционное поле зависимости y от x. Далее добавим на графике линию тренда, для чего выполним следующие действия:

1. В области диаграммы щелкнуть левой кнопкой мыши по любой точке графика, затем щелкнуть правой кнопкой мыши по этой же точке. Появляется  контекстное меню (рис. 8). 

Рис.8. Вид окна, шаг 4

2. В контекстном меню выбираем команду Добавить линию тренда.

3. В появившемся диалоговом  окне выбираем тип графика  (в нашем примере линейная) и  параметры уравнения, как показано  на рис.9.

Рис.9. Установка параметров линии тренда

Нажимаем ОК. Результат представлен  на рис.10.

 

 

Рис.10.Корреляционное поле зависимости производительности труда от фондовооруженности.

Аналогично строим корреляционное поле зависимости производительности труда от коэффициента сменности  оборудования. (рис. 11).

 

Рис.11. Корреляционное поле зависимости производительности труда

 от коэффициента  сменности оборудования

 

Затем для построения корреляционной матрицы в меню Сервис выбираем  Анализ данных.Необходимо проверить доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно  выбираем Сервис/ Надстройки. Устанавливаем флажок Пакет анализа (Рис.12)

Рис. 12. – Подключение надстройки Пакет анализа

В диалоговом окне Анализ данных выбираем Корреляция  (Рис.13).

 

Рис.13. Диалоговое окно Анализ данных

 

После нажатия ОК в появившемся  диалоговом окне указываем входной  интервал (например А2:D26), группирование (в нашем случае по столбцам) и параметры вывода, как показано на рис.14.

Рис.14. Диалоговое окно Корреляция

 

Результат расчетов представлен  в таблице  4.

Таблица 4.

Корреляционная  матрица

	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3
Столбец 1	1
Столбец 2	0,3395753	1
Столбец 3	-0,1020202	-0,161494	1

 

Полученные значения свидетельствуют, что у отобранных факторов, оказывающих  влияние на результативный показатель, слабая связь друг с другом и с  результативным показателем.

Заключение.

Таким образом, одной из важных задач статистики является задача изучения и измерения связей между явлениями. Экономисту, менеджеру или финансисту в практической деятельности необходимо уметь выявить взаимосвязь между несколькими показателями, определить насколько изменение одного показателя зависит от изменения другого (или нескольких) и сделать правильные выводы. При изучении данной темы следует прежде всего хорошо уяснить, что статистика изучает только корреляционные связи, т.к. именно такого рода связи присущи в основном в социально-экономическом явлении и процессом. В отличие от функциональной зависимости, при которой каждому значению одной переменной строго соответствует одно или несколько определенных значений другой переменной. Зависимость, при которой одному значению переменной (х) может соответствовать (в силу наслоения других причин) множество значений другой переменной (у), называется корреляционной.

При проведении корреляционного  анализа необходимо решить следующие  задачи:

- выявление наличия (или  отсутствие) связи; 
- отыскание формы связи в виде математической формулы, выражающей эту зависимость;

- измерение тесноты такой  зависимости.

Для решения задач используются графические, аналитические методы решения, проводится проверка существенности связи.

Использование функций и  возможностей Excel позволяет значительно облегчить проводимые расчеты, особенно в случае с множественной корреляционной зависимостью.

Список литературы.

1. Т.В. Чернова Экономическая статистика Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001
2. Статистика для студентов вузов/И.Г.Переяслова, Е.Б.Колбачев, О.Г.Переяслова – Ростов н/Д.: Феникс, 2005г.-219с.
3. Харченко Л.П. Статистика: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2008 г.
4. Практикум по общей теории статистики:уч.пособие/ М.Р.Ефимова, О.И.Ганченко – М.: Финансы и статистика, 2007г.
5. Громыко Г.Л. Теория статистики: Практикум, - М.: ИНФРА-М, 2008