Задачи по экономико-математическому моделированию

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 
«СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ»

ИНСТИТУТ  ПЕРЕПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

Информатики и математики

(кафедра)

Экономико-математические методы в  управления

  (дисциплина) 
 

Письменное  контрольное задание   
для студентов и слушателей дистанционного обучения 
 
 
 

Новосибирск   2011 

Задание 1. По данным об объеме строительно-монтажных работ, выполненных собственными силами, и численности работающих в 10 строительных компаниях одного из городов РФ, определить зависимость между этими признаками с помощью коэффициента Кендела (15 баллов) 

№ строительной компании	Объем работ, тыс.руб.	Численность работающих, чел.
1	3998	66
2	2821	71
3	4121	73
4	3583	59
5	3646	52
6	3008	50
7	3973	61
8	2973	70
9	2911	38
10	3114	54

Вычислим  коэффициент ранговой корреляции Кендэла. Для  этого определим сначала  ранги элементов этой выборки:

R1(i)	9	1	10	6	7	4	8	3	2	5
R2(i)	7	9	10	5	3	2	6	8	1	4

Коэффициент  τ  вычисляется  по  одной  из эквивалентных  формул:

Вычисления  для  коэффициента  τ осуществим в соответствии с УМК. 

При проведения  вычисления Q = 13, таким образом применяя выше указанную формулу τ = 0,43 

Значимость  коэффициента  ранговой  корреляции  Кендэла  при n ≥10   проверяется при помощи  статистики:

При проведении вычисления получается 1,7310 коэффициент  корреляции  Кендэла  является значимым. 
 
 

     Задание 2. Рейтинг девяти банков был оценен тремя экспертами. С помощью коэффициента ранговой корреляции  Спирмена  найти пары экспертов, оценки которых наиболее близко соответствуют друг другу. Оценить значимость различий в оценке рейтинга банков экспертами. Данные о рейтингах приведены в следующей таблице.(20 баллов)

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена называется величина   

 ранги i  наблюдения по первому  и второму признакам соответственно. Если при определении рангов  некоторые наблюдения неразличимы,  то они получают одинаковые  ранги.  Ранговый коэффициент  корреляции обладает всеми свойствами  парного коэффициента корреляции. 

Либо  используется аналогичная формула  ранги, установленные  двумя  экспертами;  n — число  факторов  или объектов. 

Определим разности рангов, их квадраты и суммы:

Оценки  Эксперта 1 - R₁

Оценки  Эксперта 2 - R₂ 

 получаем 0,72.

Оценки  Эксперта 1 - R₁

Оценки  Эксперта 3- R₂ 

 получаем 0,77. 
 

Оценки  Эксперта 2 - R₁

Оценки  Эксперта 3 - R₂

 получаем 0,62.

Согласно  коэффициента ранговой корреляции Спирмена наиболее согласованными являются оценки экспертов 1 и 3. 

Для оценки значимости различий используют используем статистику t-Стьюдента с  ν = n − 2  степенями свободы:

t₁= 2,5413

t₂= 2,9560

t₃= 1,9356 
 
 

Задание 3 Для временного ряда Затраты на рекламу выбрать наилучший вид тренда и построить прогноз на два шага вперед. Данные представлены в следующей таблице

Проверить значимость построенного тренда. Проверить модель на  автокорреляцию. (25 баллов)

Линия тренда построена  с помощью MS Excel.

После вычисления линейного тренда нужно выяснить, насколько он значим. Это делается с помощью анализа коэффициента корреляции. Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Иначе говоря, при анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка величины г намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном, выраженном тренде тут уже становится трудно.

Для проверки значимости тренда используется  распределение Стьюдента

По формуле 

Проведя вычисления, получим r = 0,7447

t = 4,0228

Значимость  построенного тренда определена с использование  распределения Стьюдента и равна t = 4,0228. 

Автокорреляция  — это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Для расчета  автокорреляции используется следующая  формула.

в ряде случаев используется упрощенная формула

где у — средний уровень ряда. Средняя хронологическая для моментного временного

ряда  с разноотстоящими во времени  уровнями вычисляется  по формуле:  
 

Здесь n — число уровней ряда, a t₁ — период времени, отделяющий i-й уровень ряда от (i+l)-гo уровня. 

Задание 4. Таблица голосования пяти избирателей при выборе трех кандидатов по десятибалльной шкале представлена ниже. Выберите наилучшего кандидата  с помощью медианного метода и метода средних оценок. Проверьте согласованность экспертов (15 баллов). 
 

     Сначала применим метод средних арифметических рангов. Для этого, прежде всего подсчитаем сумму рангов, присвоенных проектам. Затем эту сумму разделим на число экспертов, в результате будет рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии — упорядочение) исходя из принципа: чем меньше средний ранг, чем лучше проект.

     Наименьший  средний ранг, равный 4,2 у кандидата В, Кандидаты А и С имеют одинаковые суммы (равные 4,6), значит, с точки зрения экспертов, они равноценны (при  рассматриваемом  способе  сведения  вместе  мнений экспертов), а потому они стоят на 2 и 3 местах и получают средний балл (2 + 3) : 2 = 2,5.

     Следует использовать метод медиан. Что это  значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из Кандидатов, например Кандидату А 2,1,6,9,5. и затем их надо расположить в порядке  неубывания. Получим последовательность: 1,2,5,6,9, На центральном месте — 3 — стоит 5, следовательно, медиана равна 5. медианы Кандидатов В и С равны 4 и 5  соответственно.

     Таким образом, лучшим кандидатом,  по мнению экспертов методом средних арифметических рангов и методом медиан можно признать кандидата В.

     Рассмотрим  согласованность экспертов. Согласованность  вычислим по слдующей  формуле:

       где  n — число  объектов;  m — число экспертов; Si — отклонение суммы рангов i-го объекта от средней их суммы для всех объектов.

Величины Si здесь  получены как отклонения суммы рангов от  средней,  равной 22,3

При проведении вычисления W= 0,0534, что свидетельствует о слабой согласованности мнений экспертов.

Слабая согласованность  обычно является следствием следующих  причин:

     - в  рассматриваемой  группе  экспертов  действительно   отсутствует общность мнений;

     - внутри  группы  существуют  коалиции  с  высокой  согласованностью  мнений,  однако  обобщенные  мнения  коалиций противоположны.