Амплитудные фазовые и переходные характеристики линейной RLC цепи

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«САРАТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

 

 

 

Кафедра радиотехники  и электродинамики

 

 

 

 

АМПЛИТУДНЫЕ ФАЗОВЫЕ  И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ RLC цепи

 

 

курсовая  работа

 

 

 

студента 2 курса физического факультета

 

Пальнова Александра Александровича

 

 

 

 

 

Научный руководитель
д. ф.-м. н., профессор		И.Н. Салий
Зав. кафедрой
д. ф.-м. н., профессор		И.Н. Салий

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. Введение……………………………………………………………………3
2. Теоретическая часть………………………………………………….…….4
1. Методы исследования частотных характеристик………………...5
2. Методы исследования временных характеристик……………….10
3. Практическая часть. Результаты расчета………………………………..10
4. Заключение………………………………………………………………..14
5. Литература………………………………………………………………...15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

      Современный этап модернизации цифровых технологий характеризуется   значительными изменениями в передаче, обработке и использовании информации, которые оказывают влияние на все стороны жизни общества. Под их влиянием происходят коренные преобразования целого ряда научных направлений, обусловленные переходом от описательных методов исследования к точным количественным методам на основе весьма сложных моделей, с той или иной степенью полноты и достоверности представляющих соответствующие процессы и явления. Все это стало возможным благодаря успехам в создании новых методов и средств формирования и обработки информации, выдвигающих в свою очередь новые научные и технические проблемы, решение которых приводит к следующему качественно новому этапу научно-технического прогресса.

                 В настоящее время доминируют  цифровые методы обработки информации, реализуемые цифровыми процессорами, к которым предъявляются всевозрастающие  требования по быстродействию, объемам памяти, надежности, энергопотреблению и т.п. Наряду с совершенствованием технологий все более значительную роль играют согласование и оптимизации архитектуры вычислительных устройств и систем с реализуемыми в них алгоритмами. В этих условиях от исследователей и инженеров, работающих в области создания систем формирования и обработки информации различного назначения и использования их в различных областях науки и техники, требуется широта представлений, глубокое понимание и знание основных закономерностей, присущих процессам и системам формирования и обработки информации, одним из краеугольных камней в фундаменте которых является теория преобразования сигналов и систем их обработки. 
            В связи с этим интересно рассмотреть вопрос амплитудных фазовых и переходных характеристик линейной RLC цепи и рассчитать коэффициент перехода в этих цепях, оценить результаты расчетов.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Переходными процессами в электрических цепях называются процессы, возникающие при переходе от одного установившегося режима к другому в результате скачкообразного изменения воздействия (его величины, формы, частоты и фазы) или параметров элементов цепей.

Такое изменение  параметров источников и элементов  цепей называется коммутацией.

Теоретически  коммутация считается мгновенной. При  наличии в цепях реактивных элементов  переход от одного установившегося  режима к другому никогда не происходит мгновенно. Это объясняется тем, что переход к новому установившемуся режиму связан с нарастанием или убыванием электрической и магнитной энергий в реактивных элементах. При мгновенном изменении энергии мощность

бесконечно  велика, что может быть только при бесконечно больших токах и напряжениях цепи.

Несколько примеров хорошо известных  переходных процессов явятся своего рода интуитивным введением в  сущность предмета исследования.

Радиоприёмник с подогревными электронными лампами начинает действовать надлежащим образом примерно через полминуты с момента его включения. Промежуток времени, в течение которого ' происходит нагрев катодов, является переходным промежутком. Говорят, что тепловые и электрические характеристики приёмника находятся в переходном (неустановившемся, устанавливающемся, нестационарном) состоянии в течение этого промежутка времени. Таким образом, переходный промежуток является тем промежутком, в течение которого происходит переход от одного установившегося состояния (соответствующего холодным катодам) к другому установившемуся состоянию (соответствующему нагретым катодам).

Другим хорошо известным примером переходного состояния служит состояние электрического двигателя во время его пуска. В механическом отношении происходит переход его ротора из установившегося состояния покоя в установившееся состояние равномерного вращения. Этот процесс сопровождается переходом двигателя из состояния механического покоя в состояние механических колебаний (вибраций). Одновременно изменяется и электрическое состояние двигателя, так как его противоэлектродвижущая сила возрастает от нуля до установившегося рабочего значения.

Задачи, подлежащие решению, математически  формулируются в виде систем линейных интегро-дифференцпальных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащих функции, принадлежащие к классу функции с ограниченной вариацией, с произвольными заданными начальными или граничными условиями. Существуют четыре различных метода решения задач такого рода. Наиболее широко известен метод, излагаемый в элементарных курсах, посвященных интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Назовём его классическим методом. Тремя другими методами являются операторный метод Коши-Хевисайда, метод преобразования Фурье и, наконец, метод преобразования Лапласа.

Ни один из этих методов не был разработан исчерпывающе с точки зрения области и условий применения, а также с точки зрения практической простоты и ясности.

Преобразование Лапласа представляет собой одно из функциональных преобразований. Оно служит для преобразования определённого класса функций вещественной переменной в функций комплексной переменной, «аналитические на полуплоскости или в определённой прямоугольной области комплексной плоскости». Объяснение последнего выражения будет дано ниже. Обычно преобразуемая функция (оригинал) и её изображение совершенно различны по виду.

Прямое преобразование Лапласа (^-преобразование) записывается уравнением

 

в котором по определению  ,   а

являются вещественными переменными

Это интегральное преобразование служит для определения преобразованной  функции («изображения») F(s), соответствующей Заданной функции («оригиналу») f(t).

 

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЧАСТОТНЫХ  ХАРАКТЕРИСТИК

 

         При частотном методе анализа электрическая цепь задается своими частотными характеристиками, которые в большинстве практических случаев могут быть просто измерены или рассчитаны. При этом необходимо определить реакцию на произвольное (негармоническое) воздействие. Поскольку частотные характеристики являются характеристиками установившегося режима гармонических колебаний, то целесообразно произвольное воздействие представить в виде совокупности гармонических и реакцию линейной цепи искать как совокупность реакций, вызванных каждым гармоническим воздействием в отдельности. Таким образом, частотный метод анализа включает в себя задачу частотного или спектрального представления воздействия в виде суммы гармонических составляющих с определенными амплитудами, начальными фазами и частотами, а также задачу определения реакций цепи на каждую гармоническую составляющую воздействия и их суммирование.

        В основе метода лежит использование  «передаточной функции» цепи, часто  называемой также коэффициентом передачи цепи. В случае четырехполюстника коэффициент передачи обычно определяется как отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжений

                                                                                                    (1)

        Эта безразмерная, в общем случае  комплексная, функция является  важнейшей характеристикой четырехполюстника в стационарном режиме при синусоидальном возбуждении четырехполюстника. Коэффициент передачи удобно представлять в форме

                                                                                               (2)

        Модуль иногда называют амплитудно-частотной характеристикой или просто амплитудной характеристикой четырехполюстника. Аргумент коэффициента передачи называют фазо-частотной характеристикой или просто фазовой характеристикой четырехполюстника.

         Если на входе линейного четырехполюстника действует сигнал в виде э.д.с. произвольной формы, то в соответствии со спектральным методом нужно определить спектральную плотность входного сигнала . Эта операция легко осуществляется с помощью выражения

                                                                                           (3)

Умножение  на определяет спектральную плотность сигнала на выходе четырехполюстника. Наконец, применение к произведению обратного преобразования Фурье выражение

                                                                                        (4)

позволяет определить выходной сигнал функции времени.

            Таким образом, если входной  сигнал записан в виде интеграла  Фурье

                                                                                      (5)

то выходной сигнал может быть представлен  в аналогичной форме:

                                                                          (6)

            Сравнение выражения (6) с (5) показывает, что сигнал на входе линейной цепи может быть получен суммированием спектра входного сигнала с весом . Иным словами, передаточная функция цепи является весовой функцией, определяющей относительный вклад различных составляющих спектра в сигнал .

           Вычисление интегралов вида (6) значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного. Переход от действительной переменной к комплексному переменному позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции . Заменив в выражениях (5)-(6) на , получим

                                                                                         (7)

                                                                             (8)

             При новой переменной функции  определяется выражением, получаемым при замене на в выражении (3):

                                                                                               (9)

             Это соотношение, преобразующее действительную функцию действительного переменного t в комплексную (в общем случае) функцию комплексного переменного p, называется преобразованием Лапласа. иногда называют преобразованной по Лапласу функцией или изображением функции Исходную функцию называют оригиналом.

            Соотношение (7) по аналогии с выражением (4) иногда называют обратным преобразованием Лапласа.

             Сравнивая выражения (8) и (7), приходим к выводу, что переход от к p означает изменение пути интегрирования. В выражении (6) – по прямой, лежащей на плоскости и проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии c от последней (рис. 1).

 

Рис.1

               Величина постоянной с определяется характером подынтегральной функции : пусть интегрирования должен проходить правее особых точек (полюсов) это функции.

             Добавлением к прямой ,  дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования. Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло величины интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом: при положительных значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменного p, а при отрицательных t – в правой.

             Тогда в первом случае, т.е.  при проведении дуги в левой  полуплоскости (рис. 2, а), контур интегрирования  охватывает 

 

Рис. 2

все полюсы подынтегральной функции (лежащие  левее прямой  ,  ) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (8) определяется как

                                     (10)

где  - сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.

            При проведении дуги в правой  полуплоскости, т.е. при t<0 (рис. 2, б), полюсы функции оказываются вне контура интегрирования, и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

             Таким образом, в зависимости  от способа замыкания контура  интегрирования, получим:

             при t>0 (контур по рис 2, а)

                                      (11)

             при  t<0 (контур по рис. 2,б)

                                             (12)

              Важное свойство контурных интегралов: величина интеграла не зависит  от формы замкнутого контура,  по которому производится интегрирование, если только особые точки подынтегральной  функции остаются внутри контура.  На основании этого свойства  контур, образованный добавлением  дуги АВС бесконечно большого радиуса R (рис.2, а) к прямой ,  , можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой  ,  , остаются внутри контура.

                Итак, вычисление интеграла (8) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции.

                Представим подынтегральную функцию  выражения (8) в виде

                                                                                                           (13)

Тогда вычет  функции , имеющей в точке простой полюс (первой кратности), определяется формулой

                                                                                                        (14)

Если функция имеет в точке полюс кратности m (где m – целое положительное число), то

                                                             (15)

                 Методика применения контурных  интегралов для представления  различных функций, играющих большую  роль в теории переходных процессов,  будет в дальнейшем пояснена  на примерах.

                Для составления выражения (8) не обязательно всегда начинать с интеграла Фурье. Если известно интегро-дифференциальное уравнение исследуемой системы, выражение для  может быть получено путем алгебраизации уравнения с помощью преобразования Лапласа.

                Пусть, например, имеется уравнение

                                                                                      

                 Искомой функции соответствует пока неизвестное изображение . Для алгебраизации приведенного уравнения нужно найти изображение для производной и интеграла функции .

                  Рассмотрим сначала производную .

Применяя  формулу (9) и интегрируя по частям, получаем

 

Учитывая, что  и  , можем написать

 

Где - значение функции при t=0.

                Подобным же образом для можно получить

 

Где постоянная С соответствует значению интеграла у моменту t=0, т.е.

 

                Алгебраизация интегро-дифференциальных уравнений особенно упрощается при «нулевых» начальных условиях, т.е. при рассмотрении процессов, связанных с подключением в момент t=0 электродвижущих сил к «пустой» цепи (когда все токи через индуктивности и напряжения на емкостях равны нулю). В этом случае

                                                                                          (16) 

                                                                                 (17)

Очевидно, что производной i(t) к-ого порядка соответствует изображение .

В результате применения преобразования (9) ко всем членам исходного интегро-дифференциального уравнения последнее может быть приведено к виду

                                                                                      (18)

где  - изображение для искомой функции i(t);

     – изображение для внешней силы e(t), действующей на рассматриваемую систему, а

        - функция от p, определяемая параметрами цепи (операторное сопротивление).

             Таким образом, изображение искомое функции i(t)определяется в явной форме

 

 

 

 

 

 

МЕТОДЫ  ИССЛЕДОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

 

             При сложных цепях значительно более удобными оказываются методы исследования временных характеристик, основанные на спектральном представлении сигнала. К этим методам относится метод интеграла Фурье и тесно с ним связанный операторный метод (преобразования Лапласа).

             Преобразованной по Лапласу функцией f(t) вещественной переменной времени t называют новую функцию F(s) от комплексной переменной s, причем

                                                                                               (19)

Это выражение  называют интегралом Лапласа. Комплексную  переменную

                                                                                                                (20)

Называют  комплексной частотой, или для  краткости просто частотой. Часто s применяют букву p.

                Чтобы интеграл (1) сходится, нужно, чтобы f(t) возрастала при a<s не быстрее, чем

                                                                                                                   (21)

                Экспоненциальная функция времени – достаточно общая функция, с помощью которой можно представить напряжение, воздействующее на электрическую цепь, например постоянное или синусоидальное.

                 Применим преобразование Лапласа  к экспоненциальной функции (21). Подставляя в интеграл Лапласа (21) экспоненциальную функцию (21), находим

                                                             (22)

                  В частном случае a=0, что соответствует включению в момент t=0 единичного скачка напряжения.

                  Единичный скачок напряжения  можно обозначить 

                                                                                          (23)

                Для единичного скачка

                                                                                                                      (24)

Исходная (преобразуемая) функция f(t) называется оригиналом, а преобразованная функция F(s) - изображением.

  

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА.

Расчет модуля K (коэффициент передачи) и фазы Ф RLC – цепи. Принятые обозначения:

Q – добротность контура;

 , где W – текущая частота, - резонансная частота (= )

Последняя литера в имени функции указывает  на элемент, который является «выходным». В данном случае рассматривается KRL_C(x) (коэффициент передачи) и ФLC_R(x) (фаза) RLC - цепи , выходным  элементом которых  является  сопротивление (рис. 3)

 

 

 

          Q=10;  

 

         

 

 

 

 

 

 

 

Если добротность Q=5, то коэффициент передачи и фаза будут выглядеть следующим образом:

 

                                                        

 

 

 

 

А для добротности Q=20, коэффициент передачи будет выглядеть так:

 

 

 

 

 

Переходная  характеристика цепи, связывающая входное  и выходное напряжения, определяется значениями коэффициента передачи по напряжению.

Рассчитаем  переходную характеристику RLC – цепи с выходным элементом C.

 

Замена 

;

 

Умножаем  на

  – изображение для выходного напряжения.

 

         

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

.

; 

, где - текущее безразмерное время, t – текущее время, T – период колебаний.

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

           В ходе работы удалось познакомиться с методами исследования частотных характеристик и методами исследования временных характеристик, выявить, что при сложных цепях значительно более удобным оказывается метод, основанный на спектральном представлении сигнала, т.е. метод временных характеристик. А также удалось рассчитать коэффициент передачи и переходную характеристику  RLC – цепи.

           Все зависимости - на одном  графике для удобства сравнения  и анализа.(рис. 7 а,б)

 

 

 

 

где  KRL1_C(x) и ФRL1_C (x) – коэффициент передачи и фаза при добротности Q=10;

       KRL2_C(x) и ФRL2_C(x) – коэффициент передачи и фаза при добротности Q=5;

       KRL3_C(x) и ФRL3_C(x) – коэффициент передачи и фаза при добротности Q=20.

     

Из полученных в ходе исследований графических  изображений результатов можно заметить, что при увеличении добротности полоса пропускания сужается и изображение   при увеличении добротности так же сужается. Таким образом, амплитудные фазовые и переходные характеристики удобны и незаменимы для расчета сложных RLC цепей нежели классические методы дифференциальных уравнений, используемые только для подсчета простейших схем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Гарднер М.Ф., Бэрнс Д.Л. Переходные процессы в линейных системах. – М.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1949.
2. Гоноровский И.С.Радиотехнические цепи и сигналы. – М.: Советское радио, 1967
3. Демирчан К.С., Неймар Л.Р. Теоретические основы электротехники. – Санкт-Петербург: Питер, 2003
4. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. – М.: Радио и связь, 1990
5. Сиберт У.М. Цепи. Сигналы. Системы. – М.: Мир, 1988
6. ru.wikipedia.org