Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов

 

 

 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ТвГТУ)

 

Факультет (институт): управления и социальных коммуникаций

Специальность (направление): экономика

Кафедра: Бухгалтерский учет, анализ и аудит

 

 

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

 

По дисциплине: эконометрика

 

На тему: «Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов»

 

 

 

Выполнила:.

 

Группа ЭК-1101

 

Проверила:.

 

 

 

 

Тверь, 2013 г

 

 

Содержание:

Введение…………………………………………………………………………...3

1. Аналитическая часть

1.1. Основы исследования временных рядов…………………………………....5

1.2. Регрессионный анализ динамических моделей временных рядов…….….9

1.3. Прогнозирование на  основе динамических моделей временных рядов...14

2. Проектная часть

2.1. Информационное обеспечение задачи анализа и прогнозирования временных рядов………………………………………………………………..19

2.2. Методическое обеспечение задачи анализа  и  прогнозирования  временных рядов………………………………………………………………..20

2.3. Пример эконометрического анализа и прогнозирования в авторегрессионной модели временных рядов……………………………….23

Заключение……………………………………………………………………….31

Список использованных источников…………………………………………...33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений.

Под прогнозированием понимают предсказание будущего с помощью научных методов. Процессом прогнозирования называется специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса. Чаще всего явления описываются временными рядами, то есть последовательностью значений некоторых величин, полученных в определенные моменты времени.

Данная курсовая работа основана на построении эконометрической модели временного ряда, а так же анализе и прогнозировании авторегрессионной модели этого ряда с помощью h – статистики Дарбина.

Целью курсовой работы является исследование авторегрессионной модели временного ряда, и проверка гипотезы о наличии автокорреляции в модели регрессии с помощью h – критерия Дарбина.

В соответствии с поставленной целью будут решаться следующие задачи:

- определить основы исследования временных рядов;

- раскрыть сущность регрессионного анализа динамических моделей временных рядов;

- ознакомиться с прогнозированием на основе динамических моделей временных рядов;

- рассмотреть информационное  и методическое обеспечение задачи  анализа и прогнозирования временного  ряда;

- привести пример исследования  анализа и прогнозирования в  авторегрессионно модели временного  ряда.

Информационной базой послужила учебно-методическая литература на тему: «Анализ и прогнозирование в авторегрессионной модели временных рядов».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Аналитическая  часть

1.1. Основы исследования временных рядов

Под временным рядом понимается ряд наблюдений за значениями некоторого показателя (признака), упорядоченный в хронологической последовательности, т.е. в порядке возрастания переменной t- временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда [8, 78c].

Как и каждый анализ - анализ временных рядов предполагает решение конкретных задач, таких как: измеряет абсолютную и относительную скорость роста либо снижения уровня за отдельные промежутки времени; дает обобщающие характеристики уровня и скорости его изменения за тот или иной период; выявляет и численно характеризует основные тенденции развития явлений на отдельных этапах; выявляет факторы, обусловливающие изменение изучаемого явления во времени; делает прогнозы развития явления в будущем (экстраполяция и интерполяция).

Временные ряды различаются по следующим признакам [7,192c.]:

- моментные и интервальные. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, временные ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных временных рядов могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени.

- комплексные и изолированные. Временной ряд, изолированный в том случае, если уровень ряда представлен одним показателем; если уровень ряда представлен системой обобщающих показателей – комплексный.

- полные и неполные. Полный временной ряд имеют в том случае, если расстояние между датами в моментном ряду или интервалы в интервальном ряду одинаковы. Неполный ряд будет в противном случае.

- временные ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом временные ряды абсолютных величин являются исходными, а ряды относительных и средних величин - как производные. Временные ряды абсолютных величин более полно характеризуют развитие процесса или явления. Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности; изменение показателей интенсивности отдельных явлений.

Как показано Боксом и Дженкинсом, модели временных рядов могут иметь различные формы и представлять различные стохастические процессы. При моделировании изменений уровня процесса можно выделить два широких класса имеющих практическую ценность: модели скользящего среднего и авторегрессионные модели. Эти два класса линейно зависят от предшествующих данных.

В основу авторегрессионых моделей заложено предположение о том, что значение процесса Z(t) линейно зависит от некоторого количества предыдущих значений того же процесса Z(t-1),…,Z(t-p).

В области анализа временных рядов модель авторегрессии (autoregressive, AR) и модель скользящего среднего (moving average, MA) является одной из наиболее используемых.

Согласно работе, модель авторегрессии является исключительно полезной для описания некоторых встречающихся на практике временных рядов. В этой модели текущее значение процесса выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений процесса и импульса, который называется «белым шумом»[6,34c.],

                                                                                             .             (1.1)

Формула (1.1) описывает процесс авторегреcсии порядка p, который в литературе часто обозначается AR(p), здесь C — вещественная константа, φ1,..,φp — коэффициенты, εt — ошибка модели. Для определения φi и C используют метод наименьших квадратов или метод максимального правдоподобия.

 Другой тип модели  имеет большое значение в описании  временных рядов и часто используется  совместно с авторегрессией называется моделью скользящего среднего порядка q и описывается уравнением [6, 34c.]:

                                                                               .                          (1.2)

В литературе процесс (1.2) часто обозначается MA(q); здесь q — порядок скользящего среднего, εt — ошибка прогнозирования. Модель скользящего среднего является по сути дела фильтром низких частот. Нужно отметить, что существуют простые, взвешенные, кумулятивные, экспоненциальные модели скользящего среднего.

 Для достижения большей гибкости в подгонке модели часто целесообразно объединить в одной модели авторегрессию и скользящее среднее. Общая модель обозначается ARMA(p,q) соединяет в себе фильтр в виде скользящего среднего порядка q и авторегрессию фильтрованных значений процесса порядка p.

 Если в качестве  входных данных используются  не сами значения временного  ряда, а их разность d-того порядка (на практике d необходимо определять, однако в большинстве случаев d ≤ 2), то модель носит название  авторгерессии проинтегрированного скользящего среднего. В литературе данную модель называют ARIMA(p,d,q) (autoregression integrated moving average).

 Развитием модели ARIMA(p,d,q) является модель ARIMAX(p,d,q), которая описывается уравнением [6,34c.]:

                                                                 .                                        (1.3)

Здесь α1,...,αS — коэффициенты внешних факторов X1(t),…,XS(t). В данной модели чаще всего процесс Z(t) является результатом модели MA(q), то есть отфильтрованными значениями исходного процесса. Далее для прогнозирования Z(t) используется модель авторегрессии, в которой введены дополнительные регрессоры внешних факторов X1(t),…,XS(t).

Авторегрессионная модель с условной гетероскедастичностью (autoregressive conditional heteroskedasticity, GARCH) была разработана в 1986 году Тимом Петером Борреслевом и является моделью остатков для модели AR(p). На первом этапе для исходного временного ряда определяется модель AR(p) (1.1). Далее предполагается, что ошибка модели (1.1) εt имеет две составляющие:

                      .                                                                                    (1.4)

где σt — зависимое от времени стандартное отклонение; ςt — случайная величина, имеющая нормальное распределение, среднее значение, равное 0, и стандартное отклонение, равное 1. При этом зависимое от времени стандартное отклонение описывается уравнением [6,35c.]:

                                                                                                .         (1.5)

Здесь β0,...,βq и γ0,..., γp — коэффициенты. Уравнение (1.5) называется моделью GARCH(p,q) и имеет два параметра: p характеризует порядок авторегрессии квадратов остатков; q — количество предшествующих оценок остатков.

Наиболее частое применение данная модель получила в финансовом секторе, где с помощью нее моделируется волатильность. На сегодняшний день существует ряд модификаций модели под названиями NGARCH, IGARCH, EGARCH, GARCH-M и другие.

Авторегрессионнная модель с распределенным лагом (autoregressive distributed lag models, ARDLM) недостаточно подробно описана в литературе. Основное внимание данной модели уделяется в книгах по эконометрике.

 Часто при моделировании  процессов на изучаемую переменную  влияют не только текущие значения  процесса, но и его лаги, то есть значения временного ряда, предшествующие изучаемому моменту времени. Модель авторегрессии распределенного лага описывается уравнением [6,35c.]:

                                                                                         .                  (1.6)

Здесь φ0,..., φp — коэффициенты, l — величина лага. Модель (1.6) называется ARDLM(p,l) и чаще всего применяется для моделирования экономических процессов.

Итак, авторегрессионные модели достаточно часто применяются в статистике, так как они наиболее точно позволяют объяснить фактические и, возможно, предсказать будущие значения временного ряда.

1.2. Регрессионный анализ динамических моделей временных рядов

Теперь рассмотрим авторегрессионные модели с позиции эконометрики. Так, динамические модели – это регрессионные модели, в которых при изучении зависимостей между показателями либо при анализе их развития во времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также сам фактор времени. Классификация динамических моделей представлена на рис.1 [ 9,108c.].

 

 

 

                                               Рис.1.  

Модели с распределенными лагами – регрессионные модели, включающие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных [9,108c.]:

· модель с конечным числом лагов [6,37c.]:

 

· модель с бесконечным числом лагов [6,37c.]:

Принятые в моделях обозначения: β0- краткосрочный мультипликатор, характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной Х в тот же самый момент времени;       -     долгосрочный мультипликатор, характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной Х в каждом из рассматриваемых временных периодов;    h<k     промежуточный мультипликатор.

Модель с конечным числом лагов оценивается МНК с использованием приема сведения к уравнению множественной регрессии:

Модель с бесконечным числом лагов оценивается с использованием специальных методов: метод последовательного увеличения количества лагов, преобразование Койка (метод геометрической прогрессии), полиномиально распределенные лаги Алмон.

- Метод последовательного увеличения количества лагов [9,187c.]: уравнение регрессии оценивается с последовательным увеличением лагов до завершения процедуры по одному из правил: 1) при добавлении нового лага какой-либо коэффициент регрессии меняет знак, тогда в уравнении регрессии оставляют переменные, коэффициенты при которых знак не поменяли; 2) при добавлении нового лага какой-либо коэффициент регрессии становится статистически незначимым, тогда в уравнении регрессии оставляют переменные, коэффициенты при которых остаются статистически значимыми.

- Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии):

предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:             - характеризует скорость убывания коэффициентов с увеличением лага (с удалением от момента анализа);

далее уравнение регрессии преобразуется [6, 36c.]:

Из преобразованного уравнения вычитается такое же, но умноженное на и вычисленное для предыдущего периода времени (t-1):

Получается уравнение:

 

где    - скользящая средняя.

Так, с помощью преобразования Койка уравнение с бесконечным числом лагов (с убывающими по степенному закону коэффициентами)

 преобразовано в авторегрессионное уравнение , для которого требуется оценить лишь три коэффициента: λ, α, β0. При этом снимается проблема мультиколлинеарности, но возможно возникновение проблемы автокорреляции.

- Полиномиально распределенные лаги Алмон:

предполагается, что ≪веса≫ коэффициентов βi при лаговых значениях могут аппроксимироваться полиномами определенной степени от величины лага i [6,37c.]:

Определяется количество лагов k (подбором, начиная с ≪разумного≫ максимального, постепенно уменьшая);

Далее подбирается степень полинома m:

причем степень полинома, как правило, должна быть, по крайней мере, на единицу больше количества точек ≪экстремума≫ (точек, разделяющих интервалы возрастания и убывания) в зависимости

уравнение регрессии преобразуется: или

преобразованное уравнение сводится к уравнению множественной регрессии: в результате

Обычным МНК определяются значения параметров α, а0,…,аm, коэффициенты βi определяются из соотношения:

Модели авторегрессии – регрессионные модели, которые содержат в качестве факторов лаговые значения самой зависимой переменной имеют следующий вид: Результат оценки авторегрессионных моделей обычным МНК: удовлетворительный (в редких случаях), неудовлетворительный (смещенные и несостоятельные оценки) в силу автокорреляции остатков, корреляция между объясняющей переменной yt-1 и случайным членом [1,311c.].

Методами оценки авторегрессионных уравнений являются [9,199c.]:

- метод инструментальных переменных. Позволяет сгладить корреляцию между объясняющей переменной и случайным членом: основная идея этого метода состоит в том, чтобы переменную yt-1, коррелирующую с отклонением, заменить так называемой инструментальной переменной, близкую по-своим свойствам, но не коррелирующую с отклонением. Подбор

инструментальной переменной не всегда является простой задачей и во многом зависит от практической ситуации. В частности, в качестве инструментальной переменной можно предложить оценку ŷt-1 , которая получается в результате регрессии переменной Y на независимые переменные X, входящие в первоначальную авторегрессионную модель. Такая замена, однако, может привести к появлению мультиколлинеарности.

- методы обнаружения и устранения автокорреляции остатков. Для обнаружения автокорреляции в авторегрессионных моделях используется h-статистика Дарбина, для устранения автокорреляции остатков применяются авторегрессионные преобразования p-порядка AR(p), преобразования методом скользящей средней, авторегрессионные преобразования со скользящей средней ARMA, преобразования ARIMA (преобразование ARMA в сочетании с переходом от объемных величин к приростным). Детальное описание указанных литературе.

Итак, особенности оценки динамических моделей в эконометрике:

- практическая трудность (невозможность) оценки параметров моделей авторегрессии, а весьма часто и моделей с распределенным лагом с помощью обычного МНК, в связи с нарушением условий применимости МНК;

- необходимость решения проблемы выбора оптимальной величины лага и определения структуры лага;

- взаимосвязь между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии, в результате в некоторых случаях необходимо переходить от одного типа моделей к другому.

Итак, в эконометрике целесообразно использовать лаговые и авторегрессионные модели, так как они адаптированы к любому типу рынка, независимо от длительности периода. Чаще всего такие модели оцениваются с помощью обычного МНК. Однако в некоторых случаях применение классического МНК дает неудовлетворительные результаты. В этом случае оценки коэффициентов, полученные при прямом применении МНК, являются смещенными и несостоятельными. В таком случае, следует перейти к другим методам оценки моделей.

1.3. Прогнозирование на основе динамических моделей временных рядов

Предсказание – оценивание будущего значения зависимой переменной       по эмпирическому уравнению регрессии, если будущее значение объясняющей переменной        известно [15,425c.].

Прогноз – оценивание будущего значения зависимой переменной         по эмпирическому уравнению регрессии, если будущее значение объясняющей переменной       точно неизвестно [15, 425c.].

Долгосрочное прогнозирование как анализ долговременной динамики показателя с целью выделение общего направления его изменения - тренда. При этом считается возможным пренебречь краткосрочными колебаниями значений исследуемого показателя относительно этого тренда. Тренд обычно строится методами регрессионного анализа.

Краткосрочное прогнозирование как анализ кратковременной динамики показателя с учетом факторов, вызывающих отклонения значений исследуемой величины от тренда. Для предсказания краткосрочных колебаний проводится более детальный регрессионный анализ с целью выявления большого числа показателей, определяющих поведение исследуемой величины. Кроме этого, проводят более детальное исследование связей текущих значений исследуемых показателей с их прошлыми значениями или с прошлыми значениями других факторов.

При анализе динамических моделей обычно на базе статистических методов пытаются определить вероятную ошибку предсказаний:

В случае парной регрессии, стандартная ошибка предсказания определяется по формуле [6,41c.]:

в случае множественной регрессии: стандартная ошибка предсказания определяется по формуле [6,41c.]:

стандартные ошибки предсказания могут быть рассчитаны с помощью добавления в модель фиктивных переменных по методу Салкевера. Пусть имеется возможность получения статистических данных за р моментов на прогнозном периоде. Тогда строится такая же регрессия для совокупного набора данных выборки и прогнозного периода, но с добавлением фиктивных переменных Dt+1, Dt+2, ..., Dt+P. При этом Dt+i=1 только для момента наблюдения (t + i), для всех других моментов Dt+i = 0. Доказано, что оценки коэффициентов и их стандартные ошибки для всех количественных переменных Xj в точности совпадают со значениями, полученными по регрессии, построенной только по данным выборки. Коэффициент при фиктивной переменной Dt+i будет равен ошибке предсказания в момент (t + i), а стандартная ошибка коэффициента равна

стандартной ошибке предсказания.

Существуют тесты на устойчивость регрессионной модели. Они предназначены для оценки того, насколько модель, полученная по выборке, будет соответствовать поведению исследуемой величины на прогнозном (послевыборочном) периоде. При этом либо оцениваются прогнозные качества модели, либо определяется, происходят ли изменения параметров в периоде прогноза. Одним из таких тестов является тест Чоу.(Боролич 295)

 

 

Суть теста:

Пусть для совокупного набора данных выборки и прогнозного периода построены два уравнения регрессии. Первое - с теми же объясняющими переменными, что и в первоначальном (построенном по выборке) уравнении. Второе - с добавлением фиктивных переменных по методу Салкевера.

Пусть суммы квадратов отклонений точек наблюдений от этих уравнений регрессии равны S, Sd соответственно. Тогда разность (S - Sd) может рассматриваться как улучшение качества уравнения при добавлении р новых (фиктивных) объясняющих переменных.

Для анализа, насколько существенно улучшение качества уравнения, можно воспользоваться соответствующей F-статистикой [6, 25c.]:

где Т - объем первоначальной выборки, m – количество объясняющих переменных в первоначальном уравнении регрессии. Формально (Т-m-1) определено как количество (Т+р) наблюдений в объединенной совокупности за вычетом числа (m+р+1) оцениваемых параметров в уравнении с фиктивными переменными. Фактически в силу специфики метода Салкевера вместо Sd можно использовать совпадающую с ней сумму ST квадратов отклонений для первоначального уравнения регрессии, построенного по выборке объема Т.

В случае стабильности модели (при незначительном улучшении качества) F-статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы v1 = p и v2=T-m-1, сравнивается критическим значением распределения Фишера при выбранном уровне значимости: если     , то гипотеза о стабильности модели отклоняется.

При достаточно большом прогнозном периоде можно воспользоваться схемой проверки гипотезы о совпадении уравнений регрессии для отдельных групп наблюдений, при этом рассчитываются три уравнения регрессии: для периода выборки, для периода прогноза и для объединенного периода.

Основные критерии качества прогноза:

- относительная ошибка прогноза определяется как отношение ошибки предсказания      - к действительному значению переменной, выраженное в процентах [6,26c.]:

где вместо абсолютных значений исследуемой величины используют приросты этих значений: прогнозируемый    и реальный   за рассматриваемый период.

- стандартная среднеквадратическая ошибка (при необходимости анализа точности прогнозов на несколько периодов времени) [6,25c.]:

где k - количество прогнозных периодов. Данный показатель обладает существенным достоинством. Все его значения лежат в интервале от нуля до единицы (0 ≤ U ≤ 1). При абсолютно точных прогнозах U=0. Таким образом, близость значения U к нулю является признаком достаточно качественного прогноза.

Однако в любом случае следует иметь в виду, что прогнозирование (особенно макроэкономическое) является одной из сложнейших задач экономического анализа. По крайней мере, нахождение возможных решений является задачей, требующей индивидуального подхода. Удачное использование какой-либо модели для прогноза на некоторый период не является гарантией аналогичного результата для другого периода.

Итак, особенность экономического прогноза заключается в том, что он предсказывает зависимость переменных от основных прогнозных значений, что является одной из центральных задач эконометрического моделирования. Здесь применяются точечный и интервальный прогнозы: первый дает точечную оценку, а второй интервальную оценку полученных значений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Проектная часть

2.1. Информационное обеспечение задачи анализа и прогнозирования временных рядов

Информационное обеспечение задачи анализа и прогнозирования в авторегрессионной модели временного ряда состоит в исследовании модели авторегрессии, параметризации и оценке качества преобразованной модели авторегрессии, а так же в проверке гипотезы о наличии/отсутствии автокорреляции в модели регрессии.

Входной информацией являются статистические сведения, число наблюдений n=32, о параметре х, и параметре у. В данном примере параметр х – это данные о стоимости реальных инвестиций, параметр у – данные о стоимости сооружений.

Требования к статистическим данным, которые являются объектом информационного обеспечения задачи анализа и прогнозирования в авторегрессионной модели временного ряда:

1) данные должны быть максимально полными;

2) данные должны быть абсолютно достоверными и точными;

3) данные должны соответствовать принципу единообразия, сопоставимости;

4) данные должны соответствовать принципу своевременности.

Промежуточная информация эконометрического исследования включает в себя  следующие сведения:

1) значения коэффициента детерминации;

2) коэффициенты для оценки качества модели полиномиальных лагов;

3) значения остатков модели  временного ряда;

4) значение DW, для проверки наличия/отсутствия автокорреляции;

Результативная информация эконометрического исследования содержит следующие сведения: 

1) данные коэффициентов  регрессии;

2) значение коэффициента детерминации;