Анализ и расчет процесса формирования стальной цилиндрической отливки в песчаной форме

Московский  Авиационный институт

(Государственный  технический университет)

Кафедра 901 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  предмету: «Физико–химические основы ТКМ».

Тема: «Анализ и расчет процесса формирования стальной цилиндрической отливки в песчаной форме». 
 
 
 
 

Выполнила: Ст. гр. 09-304

Мансурова С.Т._______

Проверил: Проф. каф. 901

Тазетдинов  Р.Г._______ 
 
 
 
 
 

Москва 2010

Содержание.

Введение – стр. 3

Глава 1. Теории кристаллизации отливки – стр. 4

 1.1. Методы определения скорости затвердевания отливки – стр. 4

    1.1.1. Метод Й. Стефана – стр. 4

    1.1.2. Метод А.С. Лейбензона – стр. 6

    1.1.3. Метод А.И. Вейника – стр. 8

 1.2. Математические модели затвердевания  отливок в песчаных формах – стр. 11

    1.2.1. Тепловое взаимодействие отливки и формы – стр. 11

    1.2.2. Математическая модель затвердевания отливки – стр. 13

 1.3. Затвердевание и охлаждение отливки  в песчаной форме – стр. 14

    1.3.1. Упрощенные математические допущения  – стр. 14

    1.3.2. Математическая модель затвердевания  расплава эвтектического состава – стр. 17

    1.3.3. Охлаждение затвердевшей твердой отливки в форме – стр. 19

Глава 2. Расчет процесса формирования отливки –  стр. 19

2.1. Модель Г.Ф. Баландина – стр. 19

2.2. Расчетная схема – стр. 20

2.3. Кинетика затвердевания отливки – стр. 21

2.4. Объемная  скорость затвердевания – стр. 22

2.5. Расчет процесса  формирования отливки – стр. 22

Анализ полученных результатов – стр. 26

Выводы –  стр. 26

Список литературы – стр. 27 
 
 
 
 

Введение.

    Литье в песчаные формы в настоящее  время является универсальным и  самым распространенным способом изготовления отливок из стали и других сплавов.

    Сущность  процесса заключается в изготовлении отливок свободной заливкой расплавленного металла в разовую разъемную  и толстостенную литейную форму, изготовленную из формовочной смеси, полость которой имеет конфигурацию заготовки детали. После затвердевания и охлаждения металла в форме получают отливку-заготовку детали.

    Отличительными  особенностями способа являются малые теплопроводность, теплоемкость и плотность песчаной формы, что  позволяет получать отливки с малой толщиной стенки.

    Достоверный и простой расчет продолжительности  затвердевания и охлаждения отливок  имеет важное значение для проектирования и эксплуатации литейных цехов, литейных конвейеров и автоматических линий.

    Длительность  остывания отливок после их затвердевания определяется протяженностью охладительной ветви конвейеров автоматических линий формовки, заливки и выбивки. Знание продолжительности охлаждения отливок в форме позволяет планировать оборот опок и загрузку кессонов в цехах крупного литья. Наконец, умение определять время остывания дает возможность выбить отливку из формы при той наибольшей температуре, при которой опасность образования в отливке остаточных напряжений уже миновала. 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Теории кристаллизации отливки.

1.1. Методы определения скорости затвердевания отливки. 

    Процесс формирования отливки сопровождается движением расплава в незатвердевшей части ее тела. Математически описать конфигурацию фасонной отливки сложно. Поэтому в некоторых случаях такую отливку можно представить в тепловом смысле как плоскую, в виде бесконечной плиты, для исследования процесса формирования.

    Скорость затвердевания отливки пытались найти способом аналитического решения задач затвердевания отливок, пользуясь методами математической физики и теории теплопроводности. Существует несколько моделей затвердевания отливки в форме. 

1. Метод Й. Стефана.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1. Схема температурных полей в затвердевшей при Т_кр плоской отливке.

    На  рисунке 1 изображена схема температурных полей при Т_кр для случая, когда затвердевающая отливка плоская: Т₁ (х, t) в расплаве и Т₂ (х, t) в твердой корке для момента времени, к которому она приобрела указанную на схеме толщину.

    С течением времени толщина корки  увеличивается, при условии, что температурное поле Т₁ (х, t) обладает свойством, согласно которому на фронте затвердевания при х = k₂(t)

Lρ₂ U ≤ λ

,

где k₂ (t) – координата фронта затвердевания, k₂ (t) = l₀ – ξ(t), l₀ – половина толщины стенки отливки.

    Если  U = – приведенная скорость затвердевания расплава, то Lρ₂ U – скорость выделения теплоты кристаллизации в результате роста толщины корки  от единицы площади поверхности охлаждения расплава в форме.

    Т.к. теплота кристаллизации через корку  должна отводиться в форму, то плотность теплового потока от фронта в корку должна быть равной или больше скорости выделения теплоты кристаллизации при росте корки со скоростью U. Так же скорость выделения теплоты кристаллизации равна плотности теплового потока от фронта в корку, если расплав перед фронтом не перегрет выше Т_кр.

    В общем случае расплав перед фронтом  затвердевания перегрет, поэтому  кроме теплоты кристаллизации от фронта в корку должна отводиться теплота перегрева, т.е.

q₁ (k₂, t) + Lρ₂ U = λ₂

  (1),

где q₁ (k₂, t) – плотность теплового потока от перегретого расплава к твердой корке.

    Это уравнение принято называть дифференциальным уравнением затвердевания. Впервые оно было предложено Г. Ламе и Б. Клайпероном в 1831 г. Й. Стефан использовал его для исследования затвердевания перегретого расплава, положив

q₁ (k₂, t) = λ₁

  (2).

В виде λ₁ + Lρ₂ U = λ₂ дифференциальное уравнение Стефана используют до сих пор. 

1.1.2. Метод А.С. Лейбензона.

    Впервые метод был опубликован в 1931 г.

    

= a₂ , 0 < x < ξ(t)  (3),

    Т₂(х, 0) = Т_кр, ξ(0) = 0  (4),

    Т₂(0, t) = Т₀ = const  (5),

    Т₂(ξ, t) = Т_кр = const (6),

     ULρ₂ = λ₂   (7). 
 
 
 
 
 
 

    Рис. 2. Схема к решению задачи методом Лейбензона.

    А.С. Лейбензон рекомендовал пользоваться общим решением уравнения (3) для стационарного теплопереноса, т.е. когда = 0:

    Т₂ = С₁ + С₂х,

где С₁, С₂ – постоянные, которые находятся из краевых условий (4) – (6).

    Для цилиндрической отливки

    Т₂ = С₁ + С₂ ln(x).

    Из (5) следует, что С₁ = Т₀, из (6) следует С₂ = , т.е.

    Т₂ = Т₀ +

(8).

    Из (7) с учетом (8)

    Lρ₂

= (Т_кр – Т₀).

    Следовательно:

    ξ= m

,

    где

    m = [2(Т_кр – Т₀)

]^1/2.

    Метод Лейбензона учитывает изменение  энтальпии твердой корки. Т.о. уравнение затвердевания (7) принимает вид:

    [Lρ₂ + (c₁ρ₁ – c₂ρ₂) T_кр] U = λ₂

  (9).

    Решим методом Лейбензона задачу на затвердевание  цилиндрической отливки:

    

= a₂ + ,  t > 0, r₀ – ξ < r < r₀,

    где r₀ – радиус цилиндра;

    r₀ – ξ – радиус незатвердевшей части цилиндрической отливки.

    Т₂(r, 0) = Т_кр = const, ξ(0) = 0,

    Т₂(r₀, t) = T₀ = const,

    Т₂(r₀ – ξ, t) = Т_кр = const,

    λ₂

= .

    Общее решение дифференциального уравнения  теплопроводности имеет вид

    Т₂ = С₁ + С₂ ln(r).

    Распределение температуры по сечению твердой  корки

    Т₂ = (Т_кр – Т₀)

+ T₀.

    Вычислим  производную  для r = r₀ – ξ:

    

= .

    Подставив это выражение в дифференциальное уравнение затвердевания получим:

    t[(r₀ – ξ)² ln( ) – r₀ξ (1 - )]. 

1.1.3. Метод А.И. Вейника.

    Метод опубликован в 1953 г. Вейник предложил  рассматривать схему на рисунке 3, как отражение результата роста корки ξ на толщину dξ за время dt. Очевидно, что рост корки произошел вследствие отвода количества dQ теплоты в окружающую затвердевший расплав среду, которая обеспечивает Т₀ = const. Это количество теплоты складывается из двух элементов:

dQ = dQ_кр + dH  (10).

 
 
 
 
 
 

Рис. 3. Схема к решению задачи методом Вейника.

    Видно, что за время dt роста корки на dξ выделяется скрытая теплота кристаллизации в количестве Lρ₂F₀dξ и при переходе слоя dξ расплава в твердое состояние уменьшается энтальпия этого слоя на (с₁ρ₁ – с₂ρ₂)Т_крF₀ dξ.

Таким образом 

dQ_кр = [Lρ₂ + (с₁ρ₁ – с₂ρ₂)Т_кр]F₀ dξ (11), 

где F₀ – поверхность затвердевающего тела.

    Т.к. за время dt понижается температура части dξ твердой корки и, следовательно, уменьшается ее энтальпия на 

dH = [T_кр -

Т₂(x,t) dx]c₂ρ₂F₀ dξ  (12). 

Для вычисления dQ, которое за время dt уходит с поверхности отливки в окружающую среду

dQ = -λ₂

F₀ dt  (13).

Для вычисления dQ необходимо знать поле T₂(x,t). А.И. Вейник рекомендует задавать его параболой порядка n:

Т₂ = Т_кр – (Т_кр – Т₀)(1-

)ⁿ  (14).

Из (10) с учетом (11) – (14) получим

m =

,

где  B = Lρ₂ + [ с₂ρ₂ + (с₁ρ₁ – с₂ρ₂)](Т_кр – Т₀).

    Решим методом Вейника задачу на затвердевание  цилиндрической отливки:

Т; t > 0, r₀ – ξ < r < r₀, 

T₂(r, 0) = T_кр = const; ξ(0) = 0,

T₂(r₀, t) = T₀ = const,

T₂(r₀ – ξ, t) = T_кр = const,

λ₂

= L_крρ₂ , 

где r₀ – радиус цилиндра, r₀ – ξ – радиус незатвердевшей части цилиндрической отливки.

    Запишем выражения (11) – (13) в виде, необходимом для цилиндрической отливки. Выражение (11) примет вид: 

dQ_кр = [L_крρ₂ + (с₁ρ₁ – с₂ρ₂)Т_кр]dV, 

где V – объем твердой корки

V = ξF₀ (1 -

).

тогда dV = F₀ (1 - )dξ.

F₀ – площадь боковой поверхности цилиндрической отливки,

F₀ = 2πr₀h,

h – высота отливки.

Выражение (4) для корки в виде полого цилиндра приобретает вид: 

dH = [Т_кр -

T₂(r, t)2πrh dr]c₂ρ₂ dV, 

где 2πrh dr – объем элемента твердой корки радиусом r,

T₂(r, t) – по формуле (14).

Выражение (13) преобразуется в 

dQ = –λ₂

F₀ dt 

Подставляя  эти выражения в формулу (10) получаем: 

t = [

(1 – ) + (1 – )] , 

r₀ – внутренний радиус. 
 
 
 
 

1.2. Математические модели затвердевания отливок в песчаных формах.

1.2.1. Тепловое взаимодействие отливки и формы.

    Процесс теплообмена расплава с литейной формой начинается с момента попадания  первых его порций в литниковую систему. Будем рассматривать процесс затвердевания расплава с момента t_зал – c момента окончания заполнения формы, т.е. расплав за время операции заливки не успевает потерять весь перегрев Т_н > T_E.

    При заполнении формы через литниковую систему происходит интенсивная  циркуляция расплава в полости формы, что приводит к выравниванию температуры расплава по всему его объему. В дальнейшем вынужденная циркуляция расплава затухает, останется менее интенсивная естественная конвекция, вызванная охлаждением расплава у поверхности формы. Температурное поле в объеме расплава становится неоднородным: у поверхности температура приобретает значение, равное температуре кристаллизации эвтектического сплава Т_Е, начинается рост твердой корки, который заканчивается в момент времени t₂.

     Специфической особенностью процесса затвердевания эвтектики является выделение скрытой теплоты кристаллизации при температуре Т_Е. На рисунке 4 представлена схема температурных полей в затвердевшей отливке из эвтектического сплава для момента времени t при t₁ < t < t₂. 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                  Рис. 4. Схема температурных полей в затвердевшей                               

                                                               отливке из эвтектического сплава.

T₁(x, t) – температурное поле в незатвердевшем расплаве;

Т₂(x, t) – температурное поле в затвердевшей части отливки;

ξ(t) – толщина корки;

k₂(t) – координата фронта ее роста, т.е. граница корки и расплава, на которой должны выполняться равенства

Т₁(k₂, t) = T₂(k₂, t) = T_E,

– q₁ (k₂, t) + Lρ₂

= λ₂   (15),

q₁ (k₂, t) = – λ₁

  (16),

т.к. влиянием естественной конвекции расплава около  поверхности растущей корки на теплоперенос от расплава к этой корке можно  пренебречь.

    Выявление граничных условий теплового взаимодействия отливки с конкретной  литейной формой является важнейшей задачей тепловой теории формирования отливки. Решается она на основе тщательного анализа результатов экспериментального исследования температурных полей в отливках и формах.

      
 
 
 
 
 

Рис. 5. Схема температурных полей в плоской отливке при литье в массивную неохлаждаемую сухую песчаную форму.

    На  рисунке 5 приведены схемы температурных  полей, зафиксированных экспериментально в плоской отливке Т₂(х, t) и в форме Т₃(х, t). Схема иллюстрирует температурные поля для литья в сухую песчаную форму (полученную, например, уплотнением формовочной смеси в опоках и затем высушенную в сушилке). В данном случае форма не прогрелась насквозь (т.е. до стенки опоки) к моменту окончания процесса затвердевания отливки. Следовательно, можно рассматривать данную форму в процессе затвердевания как полуограниченное тело.

    Условимся называть такую форму массивной  неохлаждаемой. Данная форма во время  затвердевания отливки не отдает теплоту окружающей среде. Также для формы характерно то, что температура поверхности отливки и внутренней поверхности формы будет одинакова и равна T₀. Во время затвердевания отливки она естественно изменится. Еще одним доводом, подтверждающим образование плотного контакта между отливкой и песчаной формой, могут служить широко известные факты возникновения пригара формовочных смесей к поверхности отливки. 

1.2.2. Математическая модель затвердевания отливки.

    Рассмотрим  математическую модель затвердевания  отливок при литье в песчаные формы.

     Система дифференцированных уравнений теплопроводности отливки:

= a₁ , 0 < x < k₁(t);

cρ  = λ + Lρ₂ , k₁(t) < x < k₂(t);       (17)

= a₂ , k₂(t) < x < x₀;

= a₃ , x₀ < x < x_ф  (18).

     Начальные условия  для отливки:

Т₁(х, t_зал) = Т_н = const;

Ψ(x, t_зал) = 0;                       (19)

k₁(t_зал) = k₂(t_зал) = х₀.

    Начальные условия для формы:

Т₃(х, t_зал) = Т_нφ(х)  (20).

    Условия теплового взаимодействия зон затвердевающей отливки:

–λ₁

= –λ , Т₁(k₁, t) = T(k₁, t) = T_L  (21),

–λ

+ ψ_E L^*ρ₂ = – , T(k₂, t) = T₂(k₂, t) = T^* (22).

    Граничные условия для расплава и формы:

= 0, i = 1,2;

–λ_i

= –λ₃ ;     (23)

T_i(x₀, t) = T₃(x₀,t);

–λ₃

= a [T₃(x_ф,t) – T_c], если х_ф ≠ ∞,

                          0 и T₃(х_ф, t) = Т_ф, если х_ф → ∞   (24). 

1.3. Затвердевание и охлаждение отливки в песчаной форме.

1.3.1. Упрощенные математические допущения.

    Обратим внимание на то, что неоднородность температурного поля в затвердевающей отливке очень мала по сравнению  с неоднородностью температурного поля в песчаной форме. Если неоднородность температурных полей характеризовать  перепадами температуры (см. рис. 5):

по сечению  отливки

δν_i = T_ц – Т₀, i = 1,2  (25)

и формы

ν₀ = Т₀ – Т_ф

в один и тот же момент времени t (Т_ц – температура в центре отливки), то очевидно, что

<< 1, i = 1,2  (1.23).

    Итак, можно сделать важный вывод: температурный  перепад по сечению отливки, затвердевающей в песчаной форме, весьма мал по сравнению с температурным перепадом по сечению тела этой формы. Причем

θ_i =

= , x = , τ = .

Из (17) и (18), например, для затвердевания эвтектики (при ψ_Е = 1), получим

= K_a1 , 0 < X < χ(τ);

= , χ(τ) < X < 1;

= K_a3 , 1 < X < 1 + ,

где χ(τ) = , K_a1 = , K_a1 = .

    Коэффициент а = , названный температуропроводностью, характеризует способность тела выравнивать температуру, т.е. ослаблять температурную неоднородность:

Сплав, отливаемый в песчаные формы	λ 3/ λ 2	a3/a2	b3/b2
Стали конструкционные нелегированные	0,0328	0,0594	0,117

Таблица 1.

    Эти отношения должны отвечать условию  <<1 (26)

    Результаты  натурных измерений, выполненных Г.А. Анисовичем и Н.П. Жмакиным, показывают, что данное условие выполняется  для сталей.

 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 6. Температурные поля (а), температурные перепады (б) в стальной отливке, затвердевающей в песчаной форме.

    Допущение первое. При соблюдении условия (26) температурную неоднородность по сечению тела отливки в приближенных расчетах ее затвердевания и охлаждения можно не учитывать, т.е. допустимо принимать, что δν ≈ 0, но это лишь допущение, т.к. в действительности между центром и поверхностью отливки всегда есть перепад, т.е. δν_i > 0. Однако, для упрощения схемы и, следовательно, математической модели затвердевания и охлаждения отливки в песчаной форме им допустимо пренебречь.