Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Евклідові кільця

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Сумський державний педагогічний університет ім. А.С. Макаренка

Кафедра математики

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри і теоріі чисел

на тему: Евклідові кільця

Студентки III курсу 432 групи

напрямку підготовки 0402

фізико-математичні науки

спеціальність 6.040201 Математика*

Бамбенкової Ю.О.

керівник – кандидат фізико - математичних наук,

доцент Лукашова Т.Д.

Національна шкала__________________

Кількість балів______Оцінка:ECTS____

Члени комісії ________________________________________

^{(підпис)
(прізвище та ініціали)}

__________________________________

^{(підпис)
(прізвище та ініціали)}

__________________________________

^{(підпис)
(прізвище та ініціали)}

м. Суми – 2011 р.

ЗМІСТ

ВСТУП3

РОЗДІЛ I. КІЛЬЦЯ5

Означення кільця і підкільця. Приклади5
Ідеали кілець. Властивості ідеалів. Головні ідеали...7

РОЗДІЛ II. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця...................................11

2.1. Подільність в області цілісності11

2.2.Кільце головних ідеалів. Факторіальні кільця..............................…............13

2.3. Евклідові кільця. Властивості. Приклади. Взаємозв’язок евклідових кілець з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями. Алгоритм Евкліда…………………………………………....................................................19

ВИСНОВКИ...........................................................................................................26

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.............................................................27

Вступ

Актуальність дослідження. Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.

У процесі розвитку математики виділилася й стала докладно вивчатися невелика кількість основних типів алгебраїчних структур, алгебраїчні операції в яких за своїми властивостями більш-менш близькі до операцій додавання і множення чисел. Найважливішими серед різних алгебраїчних структур є група, кільце, поле, лінійний простір, лінійна алгебра. Вивчення властивостей саме цих алгебраїчних структур, опис їх будови і зв'язків між ними й іншими основними математичними об'єктами є одним з найважливіших завдань алгебри на сучасному етапі її розвитку.

У даній роботі буде детально розглянуто властивості та особливості таких алгебраїчних структур, як кільця. А саме, розглядатимуться кільця, які є евклідовими, тобто кільця, що є областю цілісності з одиницею.

Об’єкт дослідження. Евклідові кільця.

Предмет дослідження. Властивості евклідових кілець, їх взаємозв’язок з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями.

Мета дослідження. Розглянути кільця, ідеали кілець та евклідові кільця, їх властивості.

Структура роботи. Робота складається з вступу, двох розділів та висновку. У вступі обґрунтовується актуальність, мета та практичне застосування евклідових кілець. У I розділі розглядаються кільця, ідеали кілець та їх властивості. У II розділі розглянуто подільність в області цілісності, евклідові кільця та їх взаємозв’язок з кільцями головних ідеалів та факторіальними кільцями. У висновку зроблено підсумок до курсової роботи.

Практичне значення. Робота буде корисна студентам фізико – математичного факультету, викладачам – у підготовці різних математичних завдань.

Розділ 1. Кільця

Означення кільця та підкільця. Приклади

Означення 1.1. Непорожня множина K на якій визначено дві бінарні алгебраїчні операції «+» і «·» називається кільцем, якщо виконуються умови:

"a, bÎK [a+b=b+a];
"a, b, cÎK [(a+b)+c=a+(b+c)];
"aÎK $θÎK [a+θ=a];
"aÎK $ãÎK [a+ã=θ];
"a, b, cÎK [(ab)c=a(bc)];
"a, b, cÎK [(a+b) c=ac+bc];
"a, b, cÎK [c (a+c)=ca+cb].

Якщо операція множення комутативна, то кільце називають комутативним. Перші чотири аксіоми означають, що відносно операції додавання кільце утворює адитивну абелеву групу.

Приклади кілець, що наводяться нижче свідчать про те, що система аксіом кільця несуперечлива.

Множина цілих чисел Z є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

Справді, множина Z є абелева група по додаванню, операція множення чисел, як відомо, асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

2) Множина парних чисел утворює комутативне кільце відносно операцій додавання і множення чисел.

Справді, ця множина є абелева група по додаванню, в ній визначена операція множення: добуток парних чисел є парне число, причому операція множення асоціативна, комутативна і дистрибутивна відносно операції додавання.

3) Множина R всіх дійсних чисел також є кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

4) Множина K всіх чисел виду , де a і b – будь-які раціональні числа, є комутативне кільце відносно визначених у ній операцій додавання і множення.

Справді, які б ми не взяли числа a₁+b₁ і a₂+b₂ з множини K, їх сума (a₁+b₁)+(a₂+b₂)=(a₁+a₂)+(b₁+b₂), добуток (a₁+b₁) (a₂+b₂)= =(a₁a₂+2b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂) і різниця (a₁+b₁) – (a₂+b₂)=(a₁–a₂)+(b₁–b₂) є числа виду , тобто належать до множини K.

Отже, в множині K визначені операції додавання та множення і здійсненна обернена додаванню операція віднімання. Оскільки операції додавання і множення дійсних чисел асоціативні й комутативні, а елементи множини K є дійсні числа, то операції додавання і множення елементів множини K також асоціативні й комутативні. Отже, множина є комутативне кільце.

Означення 1.2. Підмножина K´ кільця K називається його підкільцем, якщо вона сама утворює кільце відносно визначених в K операцій. [5]

Теорема 1.1. (критерій підкільця). K´ – підкільце кільця K тоді і тільки тоді, коли K´ÌK і "a, bÎK´Þ((a±b)ÎK´ Ù abÎK´). [5]

Означення 1.3. Характеристикою кільця K з одиницею називають найменше натуральне число n, для якого справджується рівність:

ne=0

Якщо такого натурального n не існує, то говорять, що кільце K має нульову характеристику. [5]

Теорема 1.2. Якщо кільце K має характеристику n, то для будь–якого aÎK справджується рівність: na=0.

Доведення

За умовою ne=0, тоді na = n(ea) = (ne)a=0·a=0. Теорему доведено.

Означення 1.4. Комутативне кільце з одиницею e, в якому немає дільників нуля називається областю цілісності.

Ідеали кілець. Властивості ідеалів. Головні ідеали

Нехай К – комутативне кільце з одиницею.

Означення 1.5.. Підкільце I цього кільця називається ідеалом, якщо: "аÎI, "rÎK виконується a·rÎI. [5]

Приклади:

Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим.
Z [x] – множина многочленів з цілими коефіцієнтами.

Z [x] не є ідеал кільця R[x].

К – ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним.

Теорема 1.3. (критерій ідеалу). [5]

Непорожня підмножина I комутативного кільця К є ідеалом цього кільця тоді і тільки тоді, коли:

"a, bÎ I: (a-b)ÎI;
"aÎI, "rÎK: r·aÎI.

Доведення Необхідність умов випливає з означення ідеалу.

Достатність. Нехай виконуються умови 1) та 2) критерію, тоді з умови 2) слідує, що "aÎI, "rÎK: a·rÎI, тобто за критерієм підкільця I – підкільце К.

Умова замкненості елементів з I на елементи з К закладена в критерії. Отже, I- ідеал К. Доведено.

Зауваження. Якщо кільце К не комутативне, розрізняють:

Непорожня підмножина I кільця K називається лівим ідеалом цього кільця, якщо виконуються умови:
(a ± b) ÎI, де a, bÎI;
aÎI, kÎ K : k·aÎI.
Непорожня підмножина I кільця K називається правим ідеалом цього кільця, якщо виконуються умови:

(a ± b) ÎI, де a, bÎI;

aÎI, kÎ K : a·kÎI.
Підмножина I кільця K, яка одночасно є лівим і правим ідеалом, називається двостороннім ідеалом. [3]

Означення 1.6. Перетином ідеалів та кільця К, називається ідеал I = , що складається з елементів, які належать та одночасно. [3].

Означення 1.7. Сумою ідеалів I₁, I₂ кільця K називається множина I₁+I₂, яка визначається рівністю

I = I₁+I₂ = {a+bï aÎI₁, bÎI₂}. [3].

Означення 1.8. Добутком ідеалів I₁, I₂ кільця K називається множина I₁·I₂, яка визначається рівністю

I = I₁·I₂ = {a·bï aÎI₁, bÎI₂}. [3].

Теорема 1.4.Перетин, сума та добуток ідеалів – ідеал кільця. Об’єднання ідеалів в загальному випадку ідеалом не є. [3].

Доведення 1) Нехай aÎ, bÎ Þ a·bÎ та a·bÎ.

Так, як I₁ та I₂ – ідеали, то (a–b)ÎI₁, (a–b)ÎI₂ Þ (a–b)ÎI₁ÇI₂.

aÎI₁ÇI₂ Þ aÎI₁, aÎI₂.

rÎK Þ r·aÎI₁, r·aÎI₂, r·aÎI₁ÇI₂.

Отже, I₁ÇI₂ÎK.

2) Нехай (a₁+b₁) ÎI₂, (a₂+b₂ )ÎI₂ Þ (a₁+b₁) + (a₂+b₂ ) = (a₁+ a₂) + +(b₁+ b₂) ÎI₂

a₁+ a₂Î, b₁+ b₂ÎI₂, і елемент (a+b) = (–a) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b) ÎI₂, також належить до I₂, бо (–a) Î, (–b) ÎI₂.

Отже, I₂ ) є підгрупа адитивної групи кільця К. Крім того, для будь – яких елементів a+bÎ(I₂) і хÎK: x(a+b)=xa+xbÎI₂ і (a+b) x=ax+bxÎa+b.

Нехай a_ib_iÎ (I₂), a_jb_jÎ (I₂).

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини (I₂) є, очевидно елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу Î (I₂), належить до (I₂). Крім того, для будь-яких

Î(I₂) і xÎK Î (I₂) та Î (I₂). Теорему доведено.

Теорема 1.5. Об’єднання зростаючого ланцюга ідеалів I₁ÌI₂Ì…ÌI_nÌ… кільця К є ідеалом цього кільця. [5].

Доведення. Позначимо = I. Тоді для будь – яких елементів x,y ÎI можна вказати такий номер m, що x,y ÎI_m. Тому (x – y) ÎI_mі (ax) ÎI_mдля будь – якого елемента aÎК. Звідси (x – y) Î I, (ax) Î I. Теорему доведено.

Означення 1.9. Ідеал I=(a)={r·a|rÎK} називається головним ідеалом кільця К. Всі його елементи є «кратними» твірного елемента а. [5].

Позначається (а)=аК=Ка

Приклади: 1) в Z:

(3) = {3r|rÎZ} = 3z;

(0) = {0r|rÎZ} = {0}

2) в Z [x] – многочленів з цілимими коефіцієнтами

(2) = {2f(x)|f(x) ÎZ [x]} – множина многочленів з парними коефіцієнтами

Означення 1.10. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого: a b і b a, тобто

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε^-1.

Теорема 1.6. Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (I₁) Í (I₂) і (I₂) Í (I₁) і, отже, (I₁) = (I₂).

Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.

Доведення. Необхідність. Нехай ідеали збігаються (I₁) = (I₂), тоді aÎ(I₂), bÎ( I₁). Оскільки ідеал I₂ складений з елемента b = {b·r| rÎK}Þ a=b·r, rÎK тоді і тільки тоді, коли а b.

Ідеал I₁ складений з елемента а = {аk| kÎK}Þ b=a·k, kÎK тоді і тільки тоді, коли b a. Отже, a b.

Достатність. Нехай a b Þ а b і b a Þ a=bq, b=a, q, ÎK.

Нехай x – довільний елемент а, тоді x=a·r, rÎK, x= bqr = b, ÎK

Отже, xÎ( I₂) тоді і тільки тоді, коли (I₁) Í ( I₂).

Нехай у – довільний елемент b, тоді у = b, ÎK, y = a = a, ÎK

Отже, y Î( I₁). Таким чином (I₂) Í ( I₁).

Отже, (I₁) = (I₂). Теорему доведено.

Розділ 2. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця

Подільність в області цілісності

Нехай R – область цілісності з одиницею. Оскільки область цілісності – комутативне кільце, то в ній поняття правого і лівого дільника елемента збігаються і тому означення подільності формулюється так:

Означення 2.1. Якщо для елементів а і b області цілісності R існує такий елемент сÎR, що а = b·с, то говорять, що а ділиться на b або b ділиться на а.

Властивості подільності в області цілісності:

1. "(a, b, cÎR) [aM bÙbM cÞaM c].

2. "(a, b, cÎR) [aM cÙbM cÞ(a+b)M c Ù(a-b)M c].

3. "(a, b, cÎR) [aM b Þ acM b].

4. "(a_1, b_1,a_2,b_2,…, a_n, b_n, cÎ R) [a₁ M cÙa₂ M c Ù… Ùa_nM c Þ (a₁b₁ +a₂ b₂ + … + +a_n b_n) M c].

5. Кожен елемент аÎ R ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε^-1а) і, отже, εMа.

6. Якщо а Î R ділиться на bÎ R, то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.

7. Кожен з дільників одного з елементів аÎ R і aεÎ R де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Означення 2.2. Елемент сÎ R називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. [4].

За властивістю 5, всі дільники одиниці області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники.

Означення 2.3. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. [4].

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть d=(а, b).

Означення 2.4. Елементи а, bÎR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1. [4].

Нехай ε – будь-який дільник одиниці і а – довільний елемент області цілісності R. Тоді а = аεε^-1. З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε є дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними.

Означення 2.5. Ненульовий елемент аÎR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аÎR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники. [4].

Інакше кажучи, елемент аÎR називається розкладним, якщо його можна записати у вигляді добутку а = bс двох нетривіальних множників b і с; він називається нерозкладним, якщо його не можна записати у вигляді добутку двох нетривіальних дільників, тобто якщо з а = bс завжди випливає, що один з множників b і с є дільник одиниці, а інший – асоційований з а.

Так, у кільці цілих чисел Z нерозкладними є числа ±2, ±3, ±5,… (тобто числа прості й протилежні простим); всі інші числа, відмінні від ±1 та 0 – розкладні.

Властивості простих елементів

1. Якщо елемент рÎR нерозкладний, то і будь-який асоційований з ним елемент рε також нерозкладний. Ця властивість випливає з властивості 7 подільності елементів області цілісності R.

2. Якщо а – будь-який, а р – нерозкладний елемент з R, то або а ділиться на р, або а і р – взаємно прості.

Справді, якщо (а, р) = d, то d, як дільник нерозкладного елемента р, або є деякий дільник ε одиниці, або елемент вигляду рε. У першому випадку а і р взаємно прості, в другому – а ділиться на р.

Кільце головних ідеалів. Факторільні кільця

Означення 2.6. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний. [4].

Приклад.

1) Розглянемо поле R, в ньому є лише 2 ідеали (0) = {0}, R = (1). Отже, R є кільцем головних ідеалів.

Справді, якщо (а) – головний ідеал R, а ≠ 0, то (а) = {a·r|rÎ R}. Очевидно, що а·а^-1 = 1Î (а) Þ (а) = 1.

2) Кільце цілих чисел Z.

Доведення. Нехай I – деякий ідеал кільця Z. Якщо I – нульовий ідеал, то I = (0). Якщо ж ідеал I містить число c ≠ 0, то в ньому міститься також число (–c). Одне з чисел c та –c додатне, тому в ідеалі I містяться натуральні числа. Нехай а – найменше з натуральних чисел, що містяться в I. Тоді для " nÎ Z маємо (n·a) Î I, і, отже, (а) Ì I. Покажемо, що і, навпаки, I Ì (а).

Справді, нехай b – довільне число з ідеалу I. Поділивши b на а, дістанемо b = a·q + r, 0 ≤ r < a. Оскільки аÎ I, bÎ I, то і r = (b – a·q) Î I. Звідси і з умови 0 ≤ r < a, випливає, що r = а, бо в противному разі a не було б найменшим серед натуральних чисел, що містяться в ідеалі I. Таким чином, b = a·q; тому bÎ (а), а отже, і I Ì (а). Оскільки (а) Ì I і I Ì (а), то I = (а).

Отже, кільце цілих чисел Z є кільцем головних ідеалів. Доведено.

Теорема 2.1. Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s – деякі елементи кільця R. [5].

Доведення. Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна.

Нехай а і b – будь-які відмінні від нуля елементи кільця R. Вони породжують ідеал I, який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у – будь-які елементи кільця R. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал I є головний, тобто породжується деяким елементом dÎR: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sÎR), (2)

а = gd + hd (g, hÎR). (3)

З рівності (3) випливає, що d є спільний дільник елементів а і b;

з рівності (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а і b. Отже, d = (а, b). Доведено.

Наслідок 1. Нехай К – кільце головних ідеалів. Довести, що d ~ (a,b) тоді і тільки тоді, коли < d > = < a >+, а ≠ 0, b ≠ 0.

Доведення. Þ Нехай (a,b) = d₁, d ~ d₁. Це можливо лише тоді і тільки тоді, коли d d₁, d₁ d, тобто < d > Ì < d₁ > і < d₁ > Ì < d >. Отже, < d > = < d₁ >, < d₁ > = < a >+.

Ü Нехай (a,d) = d₁ і < d₁> = < a >+. З іншого боку, < a >+ = = < d >. Отже, < d₁ > = < d >, тобто < d₁ > Ì < d > і < d > Ì < d₁ >. Тоді d₁d, d d₁, тобто d ~ d₁, або d ~ (a,b). Доведено.

Наслідок 2. Нехай К – кільце головних ідеалів. Довести, що k ~ [a,b] тоді і тільки тоді, коли < k > = < a >Ç, а ≠ 0, b ≠ 0.

Доведення. Þ Нехай [a,b] = k₁ і k₁ ~ k. Тоді k₁ k, k k₁, тобто < k₁ > Ì < k >, < k > Ì < k₁ >. Отже, < k > = < k₁ >, де < k₁ > = < a >Ç.

Ü Нехай < k > = < a >Ç і [a,b] = k₁. З іншого боку, < k₁ > = < a >Ç і < k₁ > = < k >. Отже, < k₁ > Ì < k >, < k > Ì < k₁ >. Тоді k₁ k, k k₁, тобто k ~ k₁, або k ~ [a,b]. Доведено.

Теорема 2.2. Елементи а і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що rа +sb = 1. [2].

Доведення. Необхідність умови очевидна: якщо а і b – взаємно прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 2.1, в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

Достатність. Припустимо, що в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1. З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості. Доведено.

Теорема 2.3. Якщо елемент аÎR взаємно простий з кожним із елементів bÎR і сÎR, то він взаємно простий і з добутком цих елементів. [2].

Доведення. Оскільки а і b – взаємно прості, то, за теоремою 2.2, існують такі r, sÎR, що rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с.

З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними дільниками елементів а і с є лише дільники одиниці, тому і спільними дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці а, отже, а і bс взаємно прості. Доведено.

Теорема 2.4. Якщо добуток елементів aÎR і bÎR ділиться на елемент с ÎR, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с. [2].

Доведення. Оскільки а і с – взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:(аb) r+с (bs) = b. Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с. Доведено.

Теорема 2.5. Якщо елемент аÎR ділиться на кожен з елементів bÎR і сÎR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс. [2].

Доведення. Справді, за умовою теореми, а b, тобто а = bg. Оскільки а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 2.4, g с, тобто g=cq. Отже, а = (bс) q, тобто аMbс. Доведено.

Теорема 2.6. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U₀ Ì U₁ Ì U₂ Ì…ÌU_N Ì …. (4) [2].

Доведення. Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R. Справді, якщо aÎb і bÎb, то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b – деякого ідеалу U_l. Тому а і b є елементи ідеалу U_m, де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_mÌb, (а – b)єU_mÌb і для будь-якого rÎR, a·rÎU_mÌb. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k, а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ≥k

Тому (b) = U_k=U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню. Доведено.

Теорема 2.7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення. Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника.

Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁a₂, де a₁ і a₂ – нетривіальні дільники елемента а. Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁=a₁₁a_12, де a₁₁та a₁₂–нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁. Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів а, a₁, a₁₁, a₁₁₁,…, (5) у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i, то (a_i+1)Ì(a_i), оскільки a_i=a_i+1r, де r – деякий елемент R. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)Ì(a₁)Ì(a₁₁)Ì(a₁₁₁)Ì…, а це суперечить доведеній вище теоремі. Отже, наше припущення неправильне. Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 2.7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема 2.8. Якщо a =p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності q_i=ε_i p_i (і =1, 2,…, r), де ε_i – деякий дільник одиниці кільця R.

Доведення. Доводитимемо індукцією по r.

При r = 1 справедливість твердження очевидна. Справді, оскільки елемент а = р₁ простий, то добуток q₁q₂…q_s може містити лише один множник q₁₌p₁.

Припустимо, що теорема правильна для r – 1 (2 £ r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки a =p₁p₂…p_r і a = q₁q₂…q_s то p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s (6)

З рівності (6) випливає, що q₁q₂…q_s ділиться на p₁. Тому, принаймні один із співмножників q_1,q_2,…, q_s ділиться на p_i. Вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1,q_2,…, q_s_. Оскільки q₁ – простий елемент і ділиться на простий елемент p₁, то q₁=e₁p₁, де e₁– деякий дільник одиниці кільця R. Підставивши в рівність (6) e₁p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁, дістанемо: p₂p₃…p_r =(e₁q₂) q₃…q_s.

Але, за індуктивним припущенням, r–1 = s–1 і при відповідній нумерації множників q_1,q_2,…, q_r: q₂=e₁q₂=e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r, де e_i – деякі дільники одиниці кільця R. Тому r = s і при відповідній нумерації множників q₁, q₂, …, q_r: q₁=e₁p₁, q₂=e₁^–1e₂p₂ =e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r. Доведено.

Означення 2.7. Факторіальне кільце – це область цілісності R, в якій кожен необоротний елемент a представляється у вигляді добутку незвідних елементів a=p₁·...·p_n (n≥1), причому даний розклад єдиний в тому сенсі, що якщо p₁·...·p_n=q₁·...·q_m, то m=n і після перенумерації маємо p_i=u_iq_i для всіх i, де u_i - оборотний елемент кільця R. [6].

Евклідові кільця 📙 Курсовая → 🆔 76944