Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач 2.doc

Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач

Министерство образования Украины

Севастопольский Государственный Технический

Университет

–

Департамент ИС

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ табличного симплекс - метода для РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ДЛЯ

ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ задач

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине “Методы исследования операций”

Гибкий магнитный диск

59 листов

Выполнил:

ст. гр. И-22 д

Крыльцова Т.В.

Принял:

Старобинская Л.П.

Севастополь

1997

- 3 -

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 5

1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДАННОГО ТИПА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 6

1.1 Математическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 6

1.2 Табличный симплекс - метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 7

1.3 Метод искусственного базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 8

1.4 Модифицированный симплекс - метод . . . . . . . . . . . . . . .

. . 8

2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . 10

3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Построение математической модели задачи . . . . . . . . . . . .

. . 11

3.2 Решение задачи вручную . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 12

4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Построение двойственной задачи и её численное

решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Определение статуса ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 16

4.3 Определение значимости ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 17

4.4 Определение допустимого интервала изменения запаса

ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.5 Исследование зависимости оптимального решения от

изменений запасов ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 19

- 4 -

5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 20

6. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ

ИСПОЛЬЗОВАНИЮ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 22

ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 23

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 11

- 5 -

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного курсового проекта - составить план производства

требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации,

свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её

симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим

методом на ЭВМ.

- 6 -

1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ДАННОГО ТИПА

1.1 Математическое программирование

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач

и поиском методов их решения. Задачи математического программирования

формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих

переменных f ( x1, x2, ... , xn ) при ограничениях gi ( x1,

x2, ... , xn ) ( bi , где gi - функция, описывающая ограничения, ( -

один из следующих знаков ( , ( , ( , а bi - действительное число, i = 1,

... , m. f называется функцией цели ( целевая

функция ).

Линейное программирование - это раздел математического

программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных

задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны

удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max

[pic]

при условии : a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ( b1 ;

a21 x1 + a22 x2 + .

. . + a2n xn ( b2 ;

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn (

bm ;

x1 ( 0, x2 ( 0, . . . , xn ( 0 .

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все

ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется

канонической.

- 7 -

В матричной форме задачу линейного программировани записывают

следующим образом. Найти max cT x

при условии

A x ( b ;

x ( 0 ,

где А - матрица ограничений размером ( m(n), b(m(1) - вектор-столбец

свободных членов, x(n ( 1) - вектор переменных, сТ = [c1, c2, ... , cn ]

- вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие

сТ х0 ( сТ х , для всех х ( R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного

программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

1.2 Табличный симплекс - метод

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида

“ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему :

1. Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения

дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

2. Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ”

- 8 -

или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию

со знаками, определяемыми типом оптимума.

3. Формируется симплекс-таблица.

4. Рассчитываются симплекс-разности.

5. Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

6. При необходимости выполняются итерации.

7. На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор,

выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса

или каким-нибудь другим способом.

1.3 Метод искусственного базиса

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков

“ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является

модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода

искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для

исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с

большими отрицательными коэффициентами ( , а в задачи минимизации - с

положительными ( . Таким образом из исходной получается новая ( - задача.

Если в оптимальном решении ( - задачи нет искусственных переменных, это

решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном

решении ( - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от

нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача

неразрешима.

1.4 Модифицированный симплекс - метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особен -

- 9 -

ности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи

работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом

обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы

ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная

способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений

вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного

сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n

значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению

задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий

задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие

решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и

вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных

формул.

- 10 -

2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для производства двух видов изделий А и В используется три типа

технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт

времени, часов : оборудованием 1-го типа - а1 , оборудованием 2-го типа

- а2 , оборудованием 3-го типа - а3 . На производство единицы изделия В

идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - b1 , оборудованием 2-го

типа - b2 ,, оборудованием 3-го типа - b3 .

На изготовление всех изделий администрация предприятия может

предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t1 , оборудование 2-

го типа не более, чем на t2 , оборудование 3-го типа не более, чем на t3

часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет ( рублей, а

изделия В - ( рублей.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную

прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать

геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с

ограничениями-неравенствами.

а1 = 1 b1 = 5 t1 = 10 ( = 2

а2 = 3 b2 = 2 t2 = 12 ( = 3

а3 = 2 b3 = 4 t3 = 10

- 11 -

3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

3.1 Построение математической модели задачи

|Оборуд-е 1го типа |1 |5 |10 |

|Оборуд-е 2го типа |3 |2 |12 |

|Оборуд-е 3го типа |2 |4 |10 |

|Прибыль от |2 |3 | |

Построение математической модели осуществляется в три этапа :

1. Определение переменных, для которых будет составляться

математическая модель.

Так как требуется определить план производства изделий А и В, то

переменными модели будут:

x1 - объём производства изделия А, в единицах;

x2 - объём производства изделия В, в единицах.

2. Формирование целевой функции.

Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В

известна, то общий доход от их реализации составляет 2x1 + 3x2 (

рублей ). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую

математическую формулировку целевой функции : определить допустимые

значения переменных x1 и x2 , максимизирующих целевую функцию F =

2x1 + 3x2 .

3. Формирование системы ограничений.

При определении плана производства продукции должны быть учтены

ограничения на время, которое администрация предприятия сможет пре -

- 12 -

доставить на изготовления всех изделий. Это приводит к следующим

трём ограничениям :

x1 + 5x2 ( 10 ; 3x1 + 2x2 ( 12 ; 2x1 + 4x2 (

10 .

Так как объёмы производства продукции не могут принимать

отрицательные значения, то появляются ограничения неотрицательности :

x1 ( 0 ; x2 ( 0 .

Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде :

определить план x1 , x2 , обеспечивающий максимальное значение

функции :

max F = max ( 2x1 + 3x2 )

при наличии ограничений :

x1 + 5x2 ( 10 ;

3x1 + 2x2 ( 12 ;

2x1 + 4x2 ( 10 .

x1 ( 0 ; x2 ( 0 .

3.2 Решение задачи вручную

Табличный метод ещё называется метод последовательного улучшения

оценки. Решение задачи осуществляется поэтапно.

1. Приведение задачи к форме :

x1 + 5x2 ( 10 ;

3x1 + 2x2 ( 12 ;

2x1 + 4x2 ( 10 .

x1 ( 0 ; x2 ( 0 .

2. Канонизируем систему ограничений :

- 13 -

x1 + 5x2 + x3 = 10 ;

3x1 + 2x2 + x4 = 12 ;

2x1 + 4x2 + x5 = 10 .

x1 ( 0 ; x2 ( 0 .

A1 A2 A3 A4 A5 A0

3. Заполняется исходная симплекс-таблица и рассчитываются симплекс-

разности по формулам :

(0 = [pic] - текущее значение целевой функции

(i = [pic] - расчёт симплекс-разностей, где j = 1..6 .

| | |C |2 |3 |0 |0 |0 |

|Б |Cб |A0 |A1 |A2 |A3 |A4 |A5 |

|A3 |0 |10 |1 |5 |1 |0 |0 |

|A4 |0 |12 |3 |2 |0 |1 |0 |

|A5 |0 |10 |2 |4 |0 |0 |1 |

| |( |0 |-2 |-3 |0 |0 |0 |

Так как при решении задачи на max не все симплекс-разности

положительные, то оптимальное решение можно улучшить.

4. Определяем направляющий столбец j*. Для задачи на max он

определяется минимальной отрицательной симплекс-разностью. В данном случае

это вектор А2

5. Вектор i*, который нужно вывести из базиса, определяется по

отношению :

min [pic] при аi j > 0

- 14 -

В данном случае сначала это А3 .

5. Заполняется новая симплекс-таблица по исключеню Жордана - Гаусса :

а). направляющую строку i* делим на направляющий элемент :

a i j = a i j / a i j , где j = 1..6

б). преобразование всей оставшейся части матрицы :

a ij = aij - a i j ( aij , где i ( i* , j ( j*

В результате преобразований получаем новую симплекс-таблицу :

| | |C |2 |3 |0 |0 |0 |

|Б |Cб |A0 |A1 |A2 |A3 |A4 |A5 |

|A2 |3 |2 |1/5 |1 |1/5 |0 |0 |

|A4 |0 |8 |13/5 |0 |-2/5 |1 |0 |

|A5 |0 |2 |6/5 |0 |-4/5 |0 |1 |

| |( |6 |-7/5 |0 |3/5 |0 |0 |

Повторяя пункты 3 - 5, получим следующие таблицы :

| | |C |2 |3 |0 |0 |0 |

|Б |Cб |A0 |A1 |A2 |A3 |A4 |A5 |

|A2 |3 |5/3 |0 |1 |1/3 |0 |-1/6 |

|A4 |0 |11/3 |0 |0 |4/3 |1 |-13/6 |

|A1 |2 |5/3 |1 |0 |-2/3 |0 |5/6 |

| |( |8 1/3 |0 |0 |-1/3 |0 |7/6 |

| | |C |2 |3 |0 |0 |0 |

|Б |Cб |A0 |A1 |A2 |A3 |A4 |A5 |

|A2 |3 |3/4 |0 |1 |0 |-1/4 |3/8 |

|A3 |0 |11/4 |0 |0 |1 |3/4 |-13/8 |

|A1 |2 |7/2 |1 |0 |0 |1/2 |-1/4 |

| |( |9 1/4 |0 |0 |0 |1/4 |5/8 |

- 15 -

Так как все симплекс-разности положительны, то оптимальное решение

найдено :

X = ( 7/2 , 3/4 , 11/4 , 0 , 0 ) ( единиц )

max F = 9 1/4 ( рублей )

- 16 -

4. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

4.1 Построение двойственной задачи и её численное решение

Проведение анализа на чувствительность связано с теорией

двойственности, поэтому в курсовой работе необходимо построить двойственную

задачу и найти её численное решение.

Для рассматриваемой модели двойственная задача имеет вид :

min T( y ) = min ( 10y1 + 12y2 + 10y3 ) при условиях

y1 + 3y2 + 2y3 ( 2

А1

5y1 + 2y2 + 4y3 ( 3 А2

y1 ( 0 , y2 (0 , y3

( 0. А3, А4, А5

Оптимальное решение двойственной задачи получается при решении прямой

задачи из последней симплекс-таблицы. В результате получаем оптимальное

решение двойственной задачи :

Yопт = ( 0, 1/4, 5/8, 0, 0 ), для которого Т(yопт) = 9 1/4.

Оптимальное значение целевой функции в двойственной задачи совпадает с

оптимумом целевой функции прямой задачи, в чём не трудно убедиться.

4.2 Определение статуса ресурсов

Ресурсы относятся к дефицитным, если оптимальный план предусматривает

их полное использование, при частичном использовании ресурсов, они

считаются не дефицитными. Статус ресурсов для любой модели линейного

программирования можно установить непосредственно из оптимальной симплекс-

таблицы исходной по значению дополнительных переменных. Положительное

значение до -

- 17 -

полнительной переменной указывает на неполное использование

соответствующего ресурса, т.е. на его недефицитность, нулевое значение

дополнительной переменной указывает на дефицитность ресурса.

Для данного примера дополнительные переменные х4 и х5 равны нулю,

следовательно, оборудование второго и третьего типов являются

“дефицитными”, а первого типа - “недефицитным” ( х3 = 2,75 ). Такой же

вывод можно сделать из решения двойственной задачи.

4.3 Определение значимости ресурсов

Значимость ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального

значения целевой функции F, приходящейся на единицу прироста данного

ресурса. Значимость ресурсов всегда можно определить по значению

двойственных переменных в оптимальном решении двойственной задачи.

В данном случае Yопт = ( 0, 1/4, 5/8, 0, 0 ). Таким образом, из двух

“дефицитных” ресурсов оборудование второго типа имеет большую значимость и

увеличении интервала работы на этом оборудовании более выгодно с точки

зрения влияния на значение целевой функции.

4.4 Определение допустимого интервала изменения запаса ресурсов

Изменение отведённого администрацией предприятия времени ( т.е. правых

частей ограничений ) может привести к недопустимости текущего решения.

Поэтому важно определить диапазон изменений компонент вектора ограничений,

в котором допустимость решений не нарушается.

Оборудование второго типа, которое используется для изготовления

изделий, является “дефицитным и имеет большую значимость. Определим

диапазон допустимых изменений интервала работы на этом оборудовании.

Оптимальная

- 18 -

симплекс-таблица задачи имеет вид :

| | |C |2 |3 |0 |0 |0 |

|Б |Cб |A0 |A1 |A2 |A3 |A4 |A5 |

|A2 |3 |3/4 |0 |1 |0 |-1/4 |3/8 |

|A3 |0 |11/4 |0 |0 |1 |3/4 |-13/8 |

|A1 |2 |7/2 |1 |0 |0 |1/2 |-1/4 |

| |( |9 1/4 |0 |0 |0 |1/4 |5/8 |

Так как начальными базисными переменными являлись x1, x2, x3 в

оптимальной симплексной таблице в соответствующих столбцах расположена

матрица А-1 Изменим время работы на оборудование второго типа на величину

(2, тогда время работы будет 12 + (2 .

Найдём базисное решение, соответствующее изменённому времени работы на

оборудовании второго типа :

[pic]

0.75 - (2 / 4 ( 0 , (2 = 3;

2.75 + 3(2 / 4 ( 0 , (2 = -3.66;

3.5 + (2 / 2 ( 0 , (2 = -7.

Отсюда видно, что -3.66 ( (2 ( 3 , т.е. 8.34 ( b2 ( 15 .

Таким образом первоначальный интервал работы на оборудовании второго

типа можетбыть увеличен до 15 часов или уменьшен до 8.34 часа без нарушения

допустимого решения. Уменьшение времени влечёт за собой уменьшение единиц

вырабатываемой продукции, поэтому является не целесообразным.

- 19 -

4.5 Исследование зависимости оптимального решения от

изменений запасов ресурсов

Изменение свободного члена ограничения исходной задачи на величину (2

вызывает изменение целевой функции на (F = ( i ( y j .Если приращение

времени работы бертся из интервала допустимых изменений, значений

двойственных оценок остаются неизменными. Таким образом, изменение целевой

функции будет линейно зависеть от изменения времени работы.

В данном примере (F = ( i ( 12 = 12 ( ( i . Ищется зависимость

значений целевой функции от изменения времени работы на оборудовании

второго типа. Для этого изменяется время работы начиная от 0 часов с шагом

h = 0.5 до 3 часов.Результаты измерений приведены в таблице 1.

Таблица 1

|(2, часов|0 |0.5 |1 |1.5 |2 |2.5 |3 |

|b2, часов|12 |12.5 |13 |13.5 |14 |14.5 |15 |

|(F, руб. |0 |6.25 |13 |20.25 |28 |36.25 |45 |

|F, руб. |9.25 |( |( |( |( |( | |

Т.к. зависимость F( b2 ) - линейная, то достаточно подсчитать значение

функции в двух крайних точках интервала.

Cледовательно, с увеличением времени работы на оборудовании второго

типа на 2 часа увеличивается и объём изделий на общей стоимостью 28

рублей.

- 20 -

5. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ

Графический метод применим только для двух и менее переменных х, что

подходит к данному заданию.Линии, соответствующие ограничения, строятся на

осях Ох. Заштрихованная область - область допустимых стратегий.

x1 + 5x2 ( 10 ;

3x1 + 2x2 ( 12 ;

2x1 + 4x2 ( 10 .

x1 ( 0 ; x2 ( 0 .

1). x1 + 5x2 ( 10 ;

x1 = 0, x2 = 2 ;

x1 = 10, x2 = 0 .

2). 3x1 + 2x2 ( 12 ;

x1 = 0, x2 = 6 ;

x1 = 4, x2 = 0 .

3). 2x1 + 4x2 ( 10 ;

x1 = 0, x2 = 2.5 ;

x1 = 5, x2 = 0 .

4). Найдём экстремум функции :

F = 2x1 + 3x2 ,

[pic]

Графически область допустимых решений показана на рисунке 1.

- 21 -

Рисунок 1 - Область допустимых решений данной системы.

- 22 -

6. ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРАКТИЧЕСКОМУ

ИСПОЛЬЗОВАНИЮ

Составление математической модели и решение систем линейных неравенств

Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач 2.doc 📙 Курсовая → 🆔 95278