Исследование операций

     Пермский  Государственный  Технический Университет

     Кафедра ИТАС 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Курсовая работа по системному анализу

     Вариант 35.2 
 
 
 
 
 
 

     Выполнил  студент: Кычаков С.А.

     Группа: АСУз-07-2

     Принял: Гольдштейн А.Л. 
 
 
 
 
 
 

     Пермь, 2010

     Содержание

     Постановка  задачи

     Описание  модели

     Решение в Lindo

     Заключение

     Список  литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Постановка  задачи

     Предприятие формирует годовой план выпуска  трёх видов продукции с учётом ограничений по рабочей силе и  ёмкости склада. Известны:

ai – ёмкость склада, необходимая для хранения единицы i-го продукта;

bi – удельная трудоёмкость производства i-го продукта, в человеко-часах;

git – затраты на хранение единицы i-го продукта в течение t-го квартала;

cit – стоимость одного человеко-часа при производстве i-го продукта в t-м квартале;

Rt – фонд рабочей силы в t-м квартале, человеко-час;

Qt – ёмкость склада в t-м квартале;

dit – прогнозируемый равномерный спрос на i-й продукт в t-м квартале.

     Часть 1. Необходимо составить оптимальный план производства по двум критериям (отдельно), один из которых должен обеспечивать выравнивание затрат по кварталам года. Исходные данные приведены ниже.

     Часть 2. Показать, как изменится решение, если спрос в 3 и 4 квартале окажется случайным, распределённым по нормальному закону с математическим ожиданием dit и среднеквадратической ошибкой 0,08dit, при удовлетворении спроса с вероятностью0,9.

 

     Описание  модели

Часть 1.1 В качестве переменных yij выбираем количество производимых деталей, где i – квартал, j – номер(вид) детали. В качестве переменных xij выбираем количество деталей, хранящихся на складе, где i – квартал, j – номер(вид) детали. В качестве критерия выбираем общие затраты по всем кварталам (на производство и хранение) и минимизируем его – L=1.5x11+1.2x12+0.6x13+1.6x21+1.3x22+0.8x23+1.6x31+1.3x32+0.9x33+1.7x41+1.4x42+0.9x43+18y11+12y12+13y13+18y21+13y22+15y23+19y31+14y32+15y33+19y41+14y42+16y43 ®min

     Количество  производимых и хранящихся деталей  необходимо ограничить фондами рабочей  силы и ёмкостями склада по кварталам.

     Ограничение производимых деталей:

     12y11+7y12+5y13<=2200

     12y21+7y22+5y23<=1550

     12y31+7y32+5y33<=1200

     12y41+7y42+5y43<=1150

     Ограничение хранящихся деталей:

     4.2x11+3x12+1.5x13<=730

     4.2x21+3x22+1.5x23<=520

     4.2x31+3x32+1.5x33<=430

     4.2x41+3x42+1.5x43<=450

     Необходимо  ввести в модель условия, которые  задают спрос и описывают связь  между количеством хранимых деталей  на складе от одного квартала к следующему.

     y11-x11=90

     y12-x12=65

     y13-x13=80

     y21+x11-x21=45

     y22+x12-x22=84

     y23+x13-x23=37

     y31+x21-x31=30

     y32+x22-x32=50

     y33+x23-x33=60

     y41+x31-x41=30

     y42+x32-x42=62

     y43+x33-x43=45 
 
 
 

Часть 1.2 В этой части работы необходимо составить критерий, который выравнивал бы затраты по кварталам. В качестве критерия выбираем некое число «с», которое выше всех затрат по кварталам отдельно и минимизируем его – L=c®min

Модель необходимо дополнить следующими условиями, которые  описывают число «c»:

     1.5x11+1.2x12+0.6x13+18y11+12y12+13y13-c<0 – описывает затраты в 1-м квартале

     1.6x21+1.3x22+0.8x23+18y21+13y22+15y23-c<0 – описывает затраты в 2-м квартале

     1.6x31+1.3x32+0.9x33+19y31+14y32+15y33-c<0 – описывает затраты в 3-м квартале

     1.7x41+1.4x42+0.9x43+19y41+14y42+16y43-c<0 – описывает затраты в 4-м квартале. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Часть 2.1 Для того чтобы удовлетворить спрос с вероятностью 0,9 воспользуемся следующей формулой z=(x-m)/ d, где m – математическое ожидание (спрос в 3 и 4 кварталах), d - среднеквадратическая ошибка, x – искомая величина (т.е. такой спрос, при котором будет удовлетворяться 90% спроса), z – аргумент функции Лапласа, значение которого находим из таблицы (берём значение z=1,28,т.к. ему соответствует вероятность 0,8997). Рассчитываем значения спроса на продукцию в 3 и 4 кварталах и подставляем их в модель.

L=1.5x11+1.2x12+0.6x13+1.6x21+1.3x22+0.8x23+1.6x31+1.3x32+0.9x33+1.7x41+1.4x42+0.9x43+18y11+12y12+13y13+18y21+13y22+15y23+19y31+14y32+15y33+19y41+14y42+16y43®min 

4.2x11+3x12+1.5x13<=730

4.2x21+3x22+1.5x23<=520

4.2x31+3x32+1.5x33<=430

4.2x41+3x42+1.5x43<=450

12y11+7y12+5y13<=2200

12y21+7y22+5y23<=1550

12y31+7y32+5y33<=1200

12y41+7y42+5y43<=1150

y11-x11=90

y12-x12=65

y13-x13=80

y21+x11-x21=45

y22+x12-x22=84

y23+x13-x23=37

y31+x21-x31=33

y32+x22-x32=55

y33+x23-x33=66

y41+x31-x41=33

y42+x32-x42=68

y43+x33-x43=49

Часть 2.2 Дополняем модель, описывая число «c», которое как бы «прижимает» высокие затраты по кварталам и минимизируем его.

L=c®min 

1.5x11+1.2x12+0.6x13+18y11+12y12+13y13-c<0

1.6x21+1.3x22+0.8x23+18y21+13y22+15y23-c<0

1.6x31+1.3x32+0.9x33+19y31+14y32+15y33-c<0

1.7x41+1.4x42+0.9x43+19y41+14y42+16y43-c<0

4.2x11+3x12+1.5x13<=730

4.2x21+3x22+1.5x23<=520

4.2x31+3x32+1.5x33<=430

4.2x41+3x42+1.5x43<=450

12y11+7y12+5y13<=2200

12y21+7y22+5y23<=1550

12y31+7y32+5y33<=1200

12y41+7y42+5y43<=1150

y11-x11=90

y12-x12=65

y13-x13=80

y21+x11-x21=45

y22+x12-x22=84

y23+x13-x23=37

y31+x21-x31=33

y32+x22-x32=55

y33+x23-x33=66

y41+x31-x41=33

y42+x32-x42=68

y43+x33-x43=49 
 
 
 

Решение в Lindo

Часть 1.1 Так как необходимо получить целые значения – переменные yij и xij делаем типа GIN.

min

1.5x11+1.2x12+0.6x13+

1.6x21+1.3x22+0.8x23+

1.6x31+1.3x32+0.9x33+

1.7x41+1.4x42+0.9x43+

18y11+12y12+13y13+

18y21+13y22+15y23+

19y31+14y32+15y33+

19y41+14y42+16y43

subject to

4.2x11+3x12+1.5x13<=730

4.2x21+3x22+1.5x23<=520

4.2x31+3x32+1.5x33<=430

4.2x41+3x42+1.5x43<=450

12y11+7y12+5y13<=2200

12y21+7y22+5y23<=1550

12y31+7y32+5y33<=1200

12y41+7y42+5y43<=1150

y11-x11=90

y12-x12=65

y13-x13=80

y21+x11-x21=45

y22+x12-x22=84

y23+x13-x23=37

y31+x21-x31=30

y32+x22-x32=50

y33+x23-x33=60

y41+x31-x41=30

y42+x32-x42=62

y43+x33-x43=45

end

gin x11

gin x12

gin x13

gin x21

gin x22

gin x23

gin x31

gin x32

gin x33

gin x41

gin x42

gin x43

gin y11

gin y12

gin y13

gin y21

gin y22

gin y23

gin y31

gin y32

gin y33

gin y41

gin y42

gin y43 
 
 
 
 

Часть 1.2

min

c

subject to

1.5x11+1.2x12+0.6x13+18y11+12y12+13y13-c<0

1.6x21+1.3x22+0.8x23+18y21+13y22+15y23-c<0

1.6x31+1.3x32+0.9x33+19y31+14y32+15y33-c<0

1.7x41+1.4x42+0.9x43+19y41+14y42+16y43-c<0

4.2x11+3x12+1.5x13<=730

4.2x21+3x22+1.5x23<=520

4.2x31+3x32+1.5x33<=430

4.2x41+3x42+1.5x43<=450

12y11+7y12+5y13<=2200

12y21+7y22+5y23<=1550

12y31+7y32+5y33<=1200

12y41+7y42+5y43<=1150

y11-x11=90

y12-x12=65

y13-x13=80

y21+x11-x21=45

y22+x12-x22=84

y23+x13-x23=37

y31+x21-x31=30

y32+x22-x32=50

y33+x23-x33=60

y41+x31-x41=30

y42+x32-x42=62

y43+x33-x43=45

end

gin x11

gin x12

gin x13

gin x21

gin x22

gin x23

gin x31

gin x32

gin x33

gin x41

gin x42

gin x43

gin y11

gin y12

gin y13

gin y21

gin y22

gin y23

gin y31

gin y32

gin y33

gin y41

gin y42

gin y43 
 
 
 
 
 
 
 
 

Часть 2.1

min

1.5x11+1.2x12+0.6x13+

1.6x21+1.3x22+0.8x23+

1.6x31+1.3x32+0.9x33+

1.7x41+1.4x42+0.9x43+

18y11+12y12+13y13+

18y21+13y22+15y23+

19y31+14y32+15y33+

19y41+14y42+16y43

subject to

4.2x11+3x12+1.5x13<=730

4.2x21+3x22+1.5x23<=520

4.2x31+3x32+1.5x33<=430

4.2x41+3x42+1.5x43<=450

12y11+7y12+5y13<=2200

12y21+7y22+5y23<=1550

12y31+7y32+5y33<=1200

12y41+7y42+5y43<=1150

y11-x11=90

y12-x12=65

y13-x13=80

y21+x11-x21=45

y22+x12-x22=84

y23+x13-x23=37

y31+x21-x31=33

y32+x22-x32=55

y33+x23-x33=66

y41+x31-x41=33

y42+x32-x42=68

y43+x33-x43=49

end

gin x11

gin x12

gin x13

gin x21

gin x22

gin x23

gin x31

gin x32

gin x33

gin x41

gin x42

gin x43

gin y11

gin y12

gin y13

gin y21

gin y22

gin y23

gin y31

gin y32

gin y33

gin y41

gin y42

gin y43 
 
 
 
 
 
 

Часть 2.2

min

c

subject to

1.5x11+1.2x12+0.6x13+18y11+12y12+13y13-c<0

1.6x21+1.3x22+0.8x23+18y21+13y22+15y23-c<0

1.6x31+1.3x32+0.9x33+19y31+14y32+15y33-c<0

1.7x41+1.4x42+0.9x43+19y41+14y42+16y43-c<0

4.2x11+3x12+1.5x13<=730

4.2x21+3x22+1.5x23<=520

4.2x31+3x32+1.5x33<=430

4.2x41+3x42+1.5x43<=450

12y11+7y12+5y13<=2200

12y21+7y22+5y23<=1550

12y31+7y32+5y33<=1200

12y41+7y42+5y43<=1150

y11-x11=90

y12-x12=65

y13-x13=80

y21+x11-x21=45

y22+x12-x22=84

y23+x13-x23=37

y31+x21-x31=33

y32+x22-x32=55

y33+x23-x33=66

y41+x31-x41=33

y42+x32-x42=68

y43+x33-x43=49

end

gin x11

gin x12

gin x13

gin x21

gin x22

gin x23

gin x31

gin x32

gin x33

gin x41

gin x42

gin x43

gin y11

gin y12

gin y13

gin y21

gin y22

gin y23

gin y31

gin y32

gin y33

gin y41

gin y42

gin y43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение (Часть 1.1):

L= 10159.1       

X11=0        Y11=90            Затраты за 1 квартал:4160.799805

X12=0        Y12=65            Затраты за 2 квартал:1914.800049

X13=53            Y13=133            Затраты за 3 квартал:2645.500000

X21=0        Y21=45            Затраты за 4 квартал:1438.000000

X22=0        Y22=84

X23=16                     Y23=0

X31=0        Y31=30

X32=0        Y32=50

X33=45             Y33=89

X41=0        Y41=30

X42=0        Y42=62

X43=0                       Y43=0

Решение (Часть 1.2):

L= 3440

X11=0        Y11=90            Затраты за 1 квартал: 3440

X12=0        Y12=65            Затраты за 2 квартал: 2852.699951

X13=0          Y13=80            Затраты за 3 квартал: 2719.300049

X21=18        Y21=63            Затраты за 4 квартал: 1370.099976

X22=3        Y22=87            Общие затраты: 10382.099609

X23=0                        Y23=37

X31=0        Y31=12

X32=61               Y32=108

X33=0              Y33=60

X41=0        Y41=30

X42=1        Y42=2

X43=3                       Y43=48

Решение (Часть 2.1):

L= 10582.3

X11=0        Y11=90            Затраты за 1 квартал: 4160.799805

X12=0        Y12=65            Затраты за 2 квартал: 1914.800049

X13=53               Y13=133            Затраты за 3 квартал: 2671.699951

X21=0               Y21=45            Затраты за 4 квартал: 1835

X22=0        Y22=84           

X23=16                     Y23=0

X31=0        Y31=33

X32=0             Y32=55

X33=33                Y33=83

X41=0        Y41=33

X42=0        Y42=68

X43=0                       Y43=16

Решение (Часть  2.2):

L= 3440

X11=0        Y11=90            Затраты за 1 квартал: 3440

X12=0        Y12=65            Затраты за 2 квартал: 2852.699951

X13=0          Y13=80            Затраты за 3 квартал: 2003

X21=18        Y21=63            Затраты за 4 квартал: 2404.39990

X22=3        Y22=87            Общие затраты: 10700.099609

X23=0                        Y23=37

X31=0        Y31=15

X32=0               Y32=52

X33=0               Y33=66

X41=2        Y41=35

X42=0        Y42=68

X43=0                       Y43=49 
 
 
 
 
 
 

Заключение

В результате проделанных вычислений видно, что  решения отличаются. Так как меняли цель оптимизации (критерий): в одном  случае минимизировали затраты, а в  другом случае выравнивали их по кварталам. В ходе выполнения курсовой работы была составлена модель и получено решение поставленной задачи. Составленная модель относится к классу задач линейного программирования, так как критерий и все ограничения линейны. Для решения таких задач разработано несколько методик. В данном случае из-за большой размерности задача решалась на ЭВМ в пакете LINDO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Хемди А. Таха, Введение в исследование операций, Шестое издание, 2001.
2. Лекции друзей.