Исследование вариационного ряда

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСТИТЕТ)

филиал  «ВОСХОД» 
 
 
 

Кафедра МО и  ПОИС 
 
 

Утверждаю

Преподаватель _______ Беловодская Л.А.

                                                                                                  «___» ________ 2007 г. 
 
 

К У Р С О В  А Я   Р А  Б О Т А 

         тема: «Исследование вариационного ряда»

         по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика. 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: студентка группы ДЭ 2-06

      _______ Сарыева Н.Т.

                                                                       «____» _________ 2007г. 
 
 
 
 
 
 

г. Байконур

2007 г. 

Содержание 

    1. Теоретическая  часть

    1.1 Понятие  случайного события. Виды событий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

    1.2 Формула  вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

    1.3 Основные  формулы для вероятностей событий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4 Дискретные  случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

    1.5 Непрерывные  случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.6 Выборка  и её распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .  9

    1.7 Вариационный  ряд и его числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

    1.8 Статистические  оценки параметров распределения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

    1.9 Статистическая  проверка. Статистические гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

    2. Практическая  часть. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . .  . . . . . . . . . . 15

    3. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  30

    4. Список  литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

    5. Приложение  – графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . 32 
 
 
 
 
 

1. Теоретическая часть

      Теория  вероятности – есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

      Математическая  статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений.

      Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении  одного и того же опыта каждый раз  протекает несколько раз по-иному.

      Каждая  наука в своей основе имеет  начальное понятие. Таким начальным  понятием для ТВ является понятие события. 

      1.1 Понятие случайного  события. Виды  событий 

      Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий называется опытом или испытанием. При этом комплекс условий или опыт, в результате, которого наступает определённое событие, может быть воспроизведён сколь угодно большое число раз в неизменных условиях.

      Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта или испытания.

      Событие обозначается – A,B,C,…

      Событие называется действительным, если оно обязательно произойдёт в результате данного испытания.

      Невозможное событие – оно не может произойти в результате данного испытания.

      Два события называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого.

      События A и B называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

      Два события A,Ā (не A) называются противоположными, если не появление одного из них в результате испытания влечёт появление другого.

      Событие A называется благоприятствующим событию B, если событие A влечёт за собой событие B.

      Если  группа событий такова, что в результате испытаний обязательно должно произойти одно из них, и любые два из этих событий несовместны, то эта группа событий называется полной группой.

      События называются равновозможными, если по условию испытания нет основания считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. 

      Операции  над событиями 

1. Сложение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

      Пусть A и B совместные события, тогда сумма будет состоять в том, что наступит событие A или B  или оба вместе.

      Если  события A и B несовместные, то суммой этих событий является наступление события A или B.

2. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

      1.2 Формула вероятности 

      Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

      Каждый  из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом.

      Классическое  определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечёт за собой наступление этого события.

      Вероятность события A равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

            P(A)=          (1)

n – общее число исходов,

m – число благоприятствующих исходов. 

      1.3 Основные формулы  для вероятностей  событий 

1. Формула полной вероятности.

      Теорема: Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁,B₂,…,B_n, образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

P(A)=P(B₁)·P_B1(A)+P(B₂)·P_B2(A)+…+P(B_n)·P_Bn(A)-фор-а полной вероятности.

2. Формулы Байеса.

      B₁,B₂,…,B_n-гипотезы.

      P_A(B_i)=P(B_i)·P_Bi(A)/P(B_i)·P_Bi(A)+P(B₂)·P_B2(A)+…+P(B_n)·P_Bn(A)

      Давая значения i=1,2,…,n получим формулы Байеса.

3. Формула Бернулли.

      Пусть проводится n-независимых испытаний. Требуется определить вероятность того, что в m-испытаниях наступит событие A, если его вероятность наступления в каждом испытании = P.

      Пусть в первых m-опытах событие A наступит. А в остальных n-m-опытах событие A не наступит. => мы имеем AĀ

      P(AĀ)=P(A)·P(Ā)=p^m(1-p^m)=p^m·q^n-m   (*)

      P_n(m)=C _n^m·p^m·q^n-m     (**)-формула Бернулли.

      В формуле (*) вычислена вероятность  события AĀ при условии, что событие A наступит в первых m-испытаниях, для определения искомой вероятности нужно перебрать все возможные комбинации из m по n и получить формулу (**).

      C_n^m=n!/(n-m)!m!

4. Формула Пуассона.

      Теорема: Если вероятность P наступления события A в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие A наступит m-раз ≈

      P_n(m)=λ^m·e^-λ/m!,где λ=np => p=λ/n

      n- число испытаний,

      p- вероятность наступления события. 

      1.4 Дискретные случайные  величины 

     Виды  случайных величин:

     -дискретные;

     -непрерывные.

      Дискретной  или прерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определёнными вероятностями.

      Дискретные  величины могут быть:

      -конечными;

      -бесконечными.

      Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.. вполне очевидно, что непрерывная величина не может быть конечной. Непрерывные случайные величины это бесконечные величины. 

Закон распределения вероятностей дискретной случайной  величины 

      Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Задаётся закон распределения как функция. Также может задаваться в виде таблицы, формулы или графика. Чаще всего задаётся в виде таблицы. 

      =1 
 

      Числовые  характеристики случайных  величин 

1. Математическое  ожидание.

      Математическим  ожиданием M(x) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности.

                   M(x)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n=     (2)

      Для бесконечного числа значений математическое ожидание задаётся:

       M(x)= – чтобы существовал этот ряд нужно чтобы он сходился.

      Замечание: из определения математического ожидания =>, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть величина не случайная, а постоянная.

2. Среднее арифметическое значение случайной величины:

       =(x₁m₁+x₂m₂+…+x_km_k)/n=x₁w₁+x₂w₂+…+x_kw_k (3) 

       Допустим, что произведено достаточно большое  число испытаний, тогда:

                   w₁≈p₁, w₂≈p₂, … , w_k≈p_k   =>

                    ≈p₁x₁+p₂x₂+…+p_kx_k=M(x)

                    =M(x)        (4)

      Среднее значение, а значит и математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений случайной величины X.

      На  числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Т.о. математическое ожидание характеризует расположение распределения случайной величины, и его называют центром распределения.

      Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина, в противном случае, случайные величины называются зависимыми.  

      Дисперсия дискретной случайной  величины 

Отклонение  случайной величины от её математического  ожидания

      X-случайная величина,

      M(x)- её математическое ожидание,

      X-M(x)- отклонение случайной величины от её математического ожидания.

      Теорема: (свойство отклонения): математическое ожидание отклонения =0.

            M(X-M(x))=0

            M(x)-M(M(x))=M(x)-M(x)=0

      Дисперсия дискретной случайной  величины

      Дисперсией (рассеивание) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ожидания случайной величины от её математического ожидания.

            D=M[(X-M(x))²]        (5)

            D=M[(X-M(x))²]=[x₁-M(x)]²p₁+[x₂-M(x)]²p₂+…+[x_n-M(x)]²p_n (6)

      Формула для вычисления дисперсии

      Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом её математического ожидания.

            D(x)=M(x²)-[M(x)]²       (7) 

      Среднее квадратичное отклонение 

      Средним квадратичным отклонением величины называют квадратный корень из дисперсии.

            σ(x)=          (8)

      Теорема: Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин.

            σ(x₁+x₂+…+x_n)=√σ²(x₁)+σ²(x₂)+…+σ²(x_n) 

      1.5 Непрерывные случайные  величины. Функция распределения 

      Для характеристики непрерывной случайной  величины целесообразно использовать не вероятность X=x, а вероятность события, что X<x, где x-некоторое действительное число.

      Функцией  распределения случайной  величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величина X принимает значения <x, то есть:

            P(X<x)=F(x) 

      Определение плотности распределения 

      Плотностью распределения вероятности непрерывной случайной величины называют функцию f(x) равную 1-ой производной от функции распределения:

            f(x)=F^’(x)         (9)

      f(x) иногда называют дифференциальной функцией распределения. => F(x) является первообразной для функции плотности распределения.

      Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b) равна определённому интегралу от функции плотности распределения, взятому в промежутке от a до b.

            P(a<x<b)=      (10)

      Если  f(x)-чётная, а концы интервала симметричны относительно начала координат, то справедлива формула:

            P(-α<X<α)=P(׀X׀<α)=2      (11)

      Числовые  характеристики непрерывных  случайных величин

      Перейдём  к пределу этой суммы:

            lim

            ∆x_i→0 (n→∞)

      Определение1: Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат [a,b] называется определённый интеграл:

            M(x)=         (12)

      Определение 2: Если возможные значения случайной величины X принадлежат всей оси OX, то математическое ожидание вычисляется:

            M(x)=         (13)

      Замечание: Предполагается, что несобственный интеграл в формуле (13) сходится абсолютно.

      Дисперсией  непрерывной случайной  величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения, то есть если X принадлежит [a,b],то:

            D(x) =       (14)

      Если  случайная величина принадлежит всей числовой оси, то:

            D(x)=       (15)

            D(x)=       (16)

            D(x)=       (17)

            σ(x)=          (18)

      Замечание: свойства математического ожидания и дисперсии для дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывных случайных величин. 
 
 

      1.6 Выборка и её  распределение 

      Выборочная  и генеральная  совокупности. Типы выборок 

      Выборочной  совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.

      Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

      Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

      После составления выборки можно поступить 2-мя способами. После того как объект отобран и обследован он может быть возвращён или не возвращён в генеральную совокупность. Поэтому выборки подразделяются на:

      - повторные;

      - бесповторные.

      Выборка должна быть представительной, т.е. правильно  представлять пропорцию генеральной совокупности.

      Выборка должна быть представительной, если её осуществлять случайным образом.

      Способы отбора:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части.

      Статистические  распределения выборки.

      Объём выборки равен:

            n=n₁+n₂+…+n_k        (19)

      Наблюдаемые значения x_i- называются вариантами.

      Последовательность  вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

      Числа n₁,n₂, … ,n_k называются частотами наблюдений. А их отношение к объёму всей выборки называется относительными частотами.

                      (20)

      Статистическим  распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

      Эмпирическая  функция распределения

      Эмпирической  функцией распределения называют функцию  F^*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x.

            F^*(x)= где n_x- число вариант,     (21)

                                n- объём выборки.

      Свойства  функции F^*(x):

1. 0≤ F^*(x)≤1
2. F^*(x) не убывающая функция.
3. Если x₁- наименьшая варианта, то F^*(x)=0 для любых X<x.

      Если  x_k- наибольшая варианта, то F^*(x)=1, X>x₂.

      Полигон частот и гистограмма

      Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x_i;n_i). По оси абсцисс откладывают точки x_i, а по оси ординат- соответствующие значения n_i (частоты). Точки (x_i;n_i) соединяют отрезками прямых. Если вместо частот n_i брать относительные частоты, то можно построить полигон относительных частот, соединив точки (x_i;w_i) отрезками прямых.

      Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки длиной h, а высоты равны . Величина называется плотностью частоты.

      Площадь всей ступенчатой фигуры равна:

            n₁+n₂+…+n_k=n        (22) 

      Гистограммой  относительных частот называют ступенчатую  фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные  интервалы длиною h, и высотою .

            w₁+w₂+…+w_n=1

      => Площадь всей гистограммы относительных  частот равна 1. 

      1.7 Вариационный ряд  и его числовые  характеристики 

      Выбор объекта из генеральной совокупности и измерение значения признака называется статистическим наблюдением.

      Признак- это значение случайной величины.

      Результаты  этих наблюдений фиксируются в протоколе  и дневнике наблюдения в порядке  их появления.

      Если  количество вариант слишком велико или близко к объёму выборки, то целесообразно  составить вариационный ряд по интервалам значений.

      По  интервалам составляется также вариационные ряды для непрерывной генеральной  совокупности.

      Числовые  характеристики вариационного  ряда. Эмпирическая функция распределения

                              0, x≤ x₁

            F^*(x)= 

                              ……………………..

                              1, x> x_k

      Стоящие выражения в правой части будем  называть накопленными частотами.

      Если  вариационный ряд составлен по интервалам значений, то в качестве представителя  интервала берут середину интервала, можно также брать и правый конец интервала. 

      Числовые  характеристики выборки

      Среднее арифметическое определяется по формуле:

             =         (23)

      Если  вариационный ряд уже составлен, то:

             =         (24)

      где x_k- варианты случайной величины,

             n_k- соответствующие им частоты.

             =       (25)