Кінетичні явища в напівпровідниках

 

 

 

КІНЕТИЧНІ ЯВИЩА

У напівпровідниках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КІНЕТИЧНІ ЯВИЩА

У напівпровідниках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

Передмова ...................................................................... 3

Прийняті позначення ................................................ .......................... 4

Глава 1. Основи кінетичних явищ в напівпровідниках ...... 5

1.1. Функція розподілу носіїв заряду ........................ 5

1.2. Рівняння Больцмана ................................................. 6

1.3. Висновок формули Конуелл-Вайскопф .............................. 12

1.4. Кінетичне рівняння для електронів  в кристалі .......... 16

1.5. Розсіювання електронів на  коливаннях гратки в атомному  кристалі .................................................................

21

1.6. Розсіювання електронів провідності  в іонних кристалах ... 26

1.7. Визначення часу релаксації  електронів провідності в іонному  кристалі ....................................................

28

1.8. Теорія деформаційного потенціалу  в кубічних кристалах з простої  зонної структурою ........................

31

1.9. Визначення ймовірності переходу  електрона при розсіюванні 33

1.10. Визначення часу релаксації  у випадку дії декількох механізмів  розсіювання

 

 

 

До 636 Кінетичні явища в напівпровідниках: навч. посібник / О.М. Комов; Федер. агентство з освіти. - Самара: Изд-во «Самарський університет», 2005. - 62 с.

ISBN 5-86465-336-5

 

Розглянуто основні фізичні  явища, що виникають в напівпровідниках при впливі електричних і магнітних  полів. Виклад матеріалу базується  на фундаментальних фізичних співвідношеннях, що описують механізми переносу носіїв заряду. Показано вплив постійних і змінних електричних і магнітних полів на електронний газ в напівпровідниках. Описано області застосування відомих кінетичних ефектів для практичних цілей.

Навчальний посібник призначається для студентів, аспірантів, що спеціалізуються в області напівпровідникової електроніки.

 

 

УДК 530.10

ББК 22.379

 

 

 

 

 

ISBN 5-86465-336-5 © Комов А.Н., 2005

© Видавництво «Самарський університет», 2005

 

 

 

 

 

 

ПЕРЕДМОВА

 

Кінетичні явища в напівпровідниках є основою

для прикладного використання. Тому у розробників приладів, фізиків, що займаються експериментальними дослідженнями в цій області, виникає необхідність у розгляді основних закономірностей процесів, що протікають в напівпровідниках

при різних конкретних фізичних умовах. Відомі класичні роботи А.І. Ансельма «Введення в теорію напівпровідників» (вип.

1962 р.), П.С. Кірєєва «Фізика напівпровідників» (вип. 1969 р.),

Б.М. Аскерова «Кінетичні ефекти в  напівпровідниках» (вип. 1970 р.) та інших  вчених стали великою рідкістю.

Даний навчальний посібник передбачає надання допомоги студентам при написанні курсової та дипломної роботи зі спеціальності «Фізика напівпровідників». У переважній більшості випадків студент значний час витрачає на пошук основоположних описів тих чи інших процесів, що протікають в напівпровідникових приладах. Пропонована читачам книга в деякій мірі усуває певні недоліки в навчанні студентів. Однак не всі розділи фізики напівпровідників увійшли в цю книгу, так як вона спланована

в якості навчального посібника з курсу «Основи кінетичних явищ

в напівпровідниках »і обмежена програмою. Матеріал цього навчального посібника може бути корисний і для споріднених спеціальностей

з радіофізики та електроніки, а  також при читанні курсу «Фізика  напівпровідникових приладів».

При написанні цієї книги автор  дотримувався збереження стилю

і послідовності викладу матеріалу класичних підручників

і монографій в галузі фізики напівпровідників відомих російських

і зарубіжних авторів.

 

ПРИЙНЯТІ ПОЗНАЧЕННЯ

 

f - функція розподілу;

f0 - рівноважна функція;

μ - енергетичний рівень Фермі;

- Кінетична енергія;

- Напруженість електричного поля;

k0 - постійна Больцмана;

V - швидкість носіїв заряду;

m - маса електрона;

m * - ефективна маса;

U - потенційна енергія;

u - рухливість носіїв заряду;

φ - потенціал;

χ - деяка функція енергії;

τ - час релаксації;

ε - діелектрична проникність;

ε0 - абсолютна величина діелектричної  проникності;

Ze - заряд іона;

t - час;

j - щільність струму;

e - заряд електрона;

r - відстань;

x, y, z - координати;

Ω - тілесний кут;

θ - кут;

n - концентрація електронів;

р - концентрація дірок;

σ - ефективний переріз розсіяння;

W - ймовірність розсіювання (с-1);

l - довжина вільного пробігу;

- Хвильовий вектор;

;

- Питома термоЕРС.

 

ГЛАВА 1. ОСНОВИ КІНЕТИЧНИХ ЯВИЩ

У напівпровідниках

 

 

1.1. Функція розподілу носіїв заряду

 

Носії заряду в напівпровідниках можуть знаходитися в двох станах - стані  статичного (термодинамічної) рівноваги

і нерівноважному стані, обумовленому впливом зовнішніх впливаючих електричних, магнітних, температурних полів. Процеси, пов'язані з направленим рухом електронів і дірок, називаються явищами переносу або кінетичними ефектами. Ці процеси є фізичною основний застосування напівпровідників в різних галузях науки і техніки.

Визначаючи механізми взаємодії  електронів і дірок

з коливаннями решітки кристала при впливі зовнішніх полів, можна  встановити області використання напівпровідників для практичних цілей.

Між частинками в решітці кристала (іонами і електронами) існує сильна взаємодія, що істотно ускладнює  вивчення кінетичних процесів щодо рівноважних систем.

Важлива особливість нерівноважних  процесів полягає в тому, що вони залежать від механізму взаємодії  в системі, тобто

від взаємодії носіїв заряду з коливаннями решітки або дефектами кристала.

Електрони в стані термодинамічної  рівноваги

в класичному випадку описуються рівноважної функцією розподілу Больцмана

,  , (1.1)

де повна енергія 

Тут μ - енергетичний рівень Фермі.

Аналогічно для електронів в нерівноважному стані можна ввести нерівноважну функцію розподілу, що має той сенс, що

(1.2)

дорівнює числу електронів в момент часу t в точці в обсязі зі швидкостями, що лежать між Vx і Vx + dVx, Vy і Vy + dVy, Vz + dVz. Такі електрони носять назву V-електронів. Якщо відома функція f (V, r, t), то можна визначити щільність струму в точці r у момент t. На рис. 1.1 представлена ​​майданчик в 1см2, перпендикулярна до площини малюнка і осі x, і циліндр висотою Vxdt, побудований на майданчику. Число V-електронів усередині циліндра одно. Всі ці електрони

за час dt змістяться в напрямку x на величину Vxdt, і, отже, перетнуть  майданчик. Повне число електронів всіх швидкостей, що пройшли через площадку за час dt, дорівнює

.

Тут враховані електрони, що перетинають  площадку як зліва направо, так і  справа наліво. Щільність струму в напрямку x дорівнює

. (1.3)

Знак мінус враховує знак заряду електрона.

Запишемо нерівноважну функцію  розподілу у вигляді

. (1.4)

Так як f0 (E) - парна функція Vx (залежить від Vx2), то інтеграл (1.3) по dVx від f0 (E) Vx дорівнює нулю і (1.3) буде мати вигляд

. (1.5)

Основне завдання теорії кінетичних явищ полягає в знаходженні функції  розподілу.

 

 

 

Рис. 1.1. Майданчик

 

 

1.2. Рівняння Больцмана

 

Виведемо рівняння, якому задовольняє функція. Розглянемо зміну числа-електронів за час dt в результаті їх руху в просторі. На рис. 1.2 представлений елемент обсягу d3r =

= Dxdydz. Розглянемо зміну числа-електронів  усередині виділеного об'єму за рахунок приходу електронів крізь ліву грань dydz і виходу електронів крізь праву грань dydz (Vx> 0).

 

 

 

Рис. 1.2. Елемент об'єму

 

Число вхідних-електронів за час dt через ліву грань одно, число-електронів, що виходять за час dt через праву грань, одно.

Збільшення числа-електронів в об'ємі d3r за рахунок цього процесу буде представлено як:

 

.

Збільшення числа-електронів в об'ємі d3r має вигляд:

. (1.6)

Аналогічно можна розглянути зміна  числа-електронів

в обсязі d3V = dVxdVydVz в результаті їх руху в-просторі

зі «швидкостями». Збільшення числа-електронів при русі

в-просторі знаходимо за формулою:

, (1.6А)

так як прискорення, де - сила, що діє

на електрон в точці в момент t.

Крім того, число-електронів змінюється в результаті їх зіткнень з коливаннями  решітки (фононами) і дефектами кристала. Кожне зіткнення-електрона веде його з обсягу d3V, так як

при зіткненні різко змінюється його швидкість.

Розглянемо пружні зіткнення, при  яких змінюється тільки напрям швидкості, але не абсолютна величина; тобто, якщо після зіткнення швидкість дорівнює, то.

Нехай - ймовірність-електрону за час dt пружно розсіятися в елементарний тілесний кут dΩ близько напрямки. Так як ймовірність безрозмірна, то має розмірність, обернену часу (с-1).

Число зникаючих за час dt-електронів в результаті зіткнень одно:

.

З іншого боку, число - електронів буде зростати через перетворення - електронів в результаті зіткнень у тому ж обсязі d3r в-електрони.

Це зростання за час dt буде дорівнює:

.

У підсумку зростання числа-електронів через зіткнення одно:

. (1.6б)

Таким чином, зростання числа - електронів за час dt одно:

. (1.7)

Прирівнюючи (1.7) сумі (1.6), (1.6А), (1.6б), отримаємо

(1.8)

Це рівняння називається рівнянням Больцмана. Складається воно з так званого польового члена

. (1.9)

Воно визначає швидкість зміни  функції розподілу f

в результаті безперервного руху електронів в і - просторі.

Другий член зіткнень

(1.9а)

визначає швидкість зміни f в  результаті зіткнення (розсіювання) електронів.

У правій частині рівняння (1.8) стоїть інтеграл від невідомої функції, тому кінетичне рівняння Больцмана є інтегродиференціальних рівнянням.

У стаціонарному стані рівняння Больцмана має вигляд:

, (1.10)

або

. (1.10а)

У рівноважному стані функція розподілу, де енергія дорівнює сумі кінетичної енергії і потенційної енергії. Можна показати, що ліва частина рівняння (1.10а) дорівнює нулю. Дійсно, для першого члена отримаємо:

,

а так як, то маємо

.

Другий член лівої частини рівняння (1.10а):

.

У підсумку. Тоді

Тут враховано, що зіткнення пружні, тобто . Інтеграл

при довільному значенні V може дорівнювати  нулю, коли.

Це є наслідком загального принципу детального рівноваги, згідно з яким ймовірності прямого і зворотного процесів рівноймовірно.

 

 

1.2.1. Визначення часу релаксації

 

Функція розподілу носіїв заряду може змінюватися під впливом зовнішніх факторів (теплових, електричних і магнітних полів, градієнта концентрації носіїв заряду) і при зіткненні електронів з коливаннями решітки (фононами) і дефектами кристала.

У тому випадку, коли енергія електрона  при зіткненні не змінюється (пружне розсіяння), співвідношення (1.10а) визначається видом:

. (1.11)

Тобто зміна функції розподілу f внаслідок зіткнень пропорційно  величині її відхилення від рівноважної, тут - коефіцієнт пропорційності.

Рішення рівняння (1.11) має вигляд.

З цього виразу випливає, що процес нерівноважного розподілу носіїв після вимкнення зовнішніх полів протікає

за експоненціальним законом з  постійною часу τ. Ця величина зветься  часу релаксації, тобто це час, протягом якого система носіїв заряду повертається в рівноважний стан

в результаті зіткнень.

Беручи співудару пружними, тобто , І враховуючи принцип детальної рівноваги, згідно з яким ймовірності прямого і зворотного процесів однакові, тобто , Будемо мати

для зіткнень члена

. (1.12)

Тут. Якщо на електрони діє тільки електричне поле, то, як буде показано, поправка до рівноважної функції розподілу буде мати вигляд:

, (1.13)

де - деяка функція енергії. .

Запишемо (1.12) у вигляді:

. (1.14)

Визначимо час релаксації, враховуючи (1.13) і вважаючи зіткнення електронів зі структурними порушеннями пружними, тобто :

 

. (1.15)

Нехай вектори, і спрямовані, як показано на рис. 1.3, тоді,. Вираз для (1.15) буде мати вигляд:

. (1.16)

Тут, - проекція і на вектор. Таким  чином, час релаксації при розсіюванні  при випадковому розподілі швидкостей визначається видом:

. (1.16а)

Знаючи час релаксації і його температурну залежність або залежність від енергії можна визначити  механізм розсіювання носіїв заряду.

 

 

Рис. 1.3. Зміна напрямку векторів швидкості

після зіткнення з центром розсіювання

 

 

1.2.2. Ефективний переріз розсіяння.  Центри розсіювання

 

Для кількісної оцінки процесу розсіювання приймається величина, звана ефективним перерізом.

Позначимо через n щільність вільних  електронів, які з середньою швидкістю V рухаються в даному напрямку. Тоді nV є початковий потік, що дорівнює добутку щільності потоку частинок електронів, що проходять за одиницю часу через одиничний переріз, на їх швидкість. Нехай по шляху цього потоку на одиничне розтин є N однакових центрів розсіювання. Це може бути будь-яка неоднорідність кристала. Кожен центр характеризується ефективним перерізом σ. Це та площа біля центру, в області якої має місце розсіювання електронів. Число розсіяних електронів n1

в одиницю часу визначається ефективним перерізом розсіювання, кількістю  центрів розсіювання і щільністю  падаючого потоку електронів, тобто

n1 = σNnV. (1.17)

Це число розсіяних частинок можна також визначити через  ймовірність розсіювання однієї частинки в одиницю часу W і щільність  потоку частинок n:

n1 = Wn. (1.17а)

Тоді з (1.17) і (1.17а) можна визначити  ефективний переріз розсіяння:

. (1.18)

Отже, ефективний переріз розсіяння  σ визначається відношенням числа  видалених електронів з пучка  в результаті розсіювання на одному центрі в одиницю часу до щільності падаючого пучка.

Імовірність розсіювання визначається через σ з (1.18) виразом

W = σNV. (1.19)

У той же час імовірність розсіювання  обернено пропорційна часу вільного пробігу τ:

. (1.20)

Тоді

. (1.21)

Величина l-1 = σN є ймовірність розсіювання  на одиничному інтервалі шляху.

За наявності декількох різних центрів розсіювання (теплові коливання решітки, дислокація, дефекти Шотткі та ін), згідно теорії ймовірності, повна ймовірність розсіювання в одиницю часу буде визначатися сумою окремих ймовірностей розсіювання

. (1.22)

Роль різних дефектів на розсіянні різна, і для кожного з них ефективний перетин різне. Обчислимо ефективний переріз

для междуузельних атомів. Ці дефекти називаються точковими дефектами. Для них за величину σ можна прийняти площу квадрата

зі стороною, рівною постійної решітки, тобто σА = (5 • 10-8) см2. Якщо припустити, що концентрація атомів домішки дорівнює NA = 1016см-3,

то довжина вільного пробігу lA = (3 • 10-15 • 1016) -1 ≈ 3 • 10-2 см.

Ефективний переріз розсіяння  на теплових коливаннях гратки визначається площею перетину області, яку займає коливний атом за вирахуванням площі  перетину самого атома. Якщо вважати, що амплітуда коливань r = 1Å, а діаметр  атома d ≈ 10-8 см,

то см2. Число атомів NТ ≈ 1022см-3, тоді LТ ≈

≈ 10-6см = 100 Å.

 

 

1.3. Висновок формули Конуелл-Вайскопф

 

Розглянемо домішковий напівпровідник, в якому кожен іон домішки  створює навколо себе електричне поле. Рух вільного електрона в  цьому полі залежить від його швидкості  та відстані до іона домішки. Електрон відхиляється від свого початкового напряму тим сильніше, чим повільніше він рухається і ближче проходить повз іона домішки. На рис. 1.4 показано викривлення траєкторії руху електрона в полі позитивного іона домішки.

Визначимо траєкторію руху зарядженої частинки в полі іона класичним методом. Нехай заряджена частка рухається

в кулонівському полі іона з позитивним зарядом Zе. Енергія взаємодії визначається у вигляді

. (1.23)

 

 

 

 

Рис. 1.4. Траєкторія руху електрона в полі позитивного іона

 

 

 

Рис. 1.5. Розсіювання електрона і  дірки близько позитивного іона

 

Тут - діелектрична постійна, плюс відповідає дірці, а мінус - електрону. Обидва заряду відхиляються однаково (рис. 1.5). Мінімальна відстань між іоном і траєкторією рухомого заряду позначено як b і носить назву прицільну відстань. Через θ позначений кут між початковим напрямком руху зарядженої частинки (електрона або дірки) і її рухом після розсіювання. Залежність прицільного відстані і кута відхилення θ знаходиться з виразу:

, (1.24)

де m * - ефективна маса заряду, а V - його швидкість руху.

Рух частинок будемо розглядати за класичними законами механіки. Розсіювання є  випадковим процесом, тому різні носії заряду будуть відхилятися за різними напрямками. Нехай кут розсіювання змінюється від θ до θ + dθ. Враховуючи, що розсіюючий центр володіє осьовою симетрією, кути відхилення будуть кутами двох конусів (рис. 1.6).

Через dΩ позначений тілесний кут, укладений між цими конусами. Він визначається з виразу.

Процеси розсіювання в цьому  випадку будуть характеризуватися  диференціальним ефективним перерізом σ (θ). Нагадаємо, що σ (θ) одно:

 

Рис. 1.6. Тілесний кут розсіювання

 

 

(Θ) =

Число часток, відхилених в одиницю  часу на кут θ в одиничний тілесний кут

Потік падаючих частинок на одиничну площу за одиницю часу

 

Нехай є n електронів, що рухаються  хаотично зі швидкостями V. Тоді на обрану одиничну площадку за одиницю часу впаде nV електронів. Повне число  частинок, відхилених за цей час  в тілесний кут dΩ, буде дорівнює потоку частинок, що падають на кільце (див. мал. 1.6) площею 2πb │ db │. Тут │ db │ - абсолютна величина похідної по b. Тоді диференціальне ефективний перетин з урахуванням (1.24) буде мати вигляд:

. (1.25)

Тут. (1.26)

Підставивши (1.24), (1.26) в (1.25), будемо мати:

. (1.27)

Формула (1.27) була отримана Резерфордом  при дослідженні розсіяння α-частинок на ядрах важких елементів.

Інтегральне перетин визначається зі співвідношення:

. (1.28)

Це є повне число розсіяних  частинок в розрахунку на одиничну щільність потоку падаючих частинок.

Обчислення σ * з (1.28) дають нескінченність, тому при θ = 0 інтеграл буде розбіжним. Це обгрунтовується тим, що малим  кутах відхилення частинок відповідає велика ефективний перетин, оскільки малим кутах відхилення відповідають великі відстані між іоном і відхиляється частинкою, тобто велике прицільну відстань b. Однак у твердому тілі можна обмежити b з наступних міркувань. Розглянемо два сусідніх іона, відстань між якими дорівнює R (рис. 1.7). Очевидно, що відхилення частинки визначається найближчим іоном. Природно, прицільну відстань дорівнюватиме половині середньої відстані між цими іонами R / 2. Якщо концентрація іонів N, то середня відстань між ними дорівнює N-1/3

і прицільну відстань. Йому відповідає найменше значення кута розсіяння θmin, яке визначається з формули

. (1.29)

При пружному зіткненні час релаксації можна визначити

з урахуванням (1.18), (1.19) зі співвідношення:

. (1.30)

 

 

 

Рис. 1.7. Максимальне прицільну відстань

при русі частинки в полі двох іонів

 

Перетворимо,, враховуючи значення і вираз для нього (1.24), будемо мати

. (1.31)

Тоді (1.32)

і

. (1.33)

Скористаємося рівністю,

отримаємо. (1.34)

Це співвідношення для часу релаксації τ при розсіюванні носіїв заряду на іонах домішки називається формулою Конуелл-Вайскопф. Висловлюючи швидкість носіїв заряду через енергію, отримаємо залежність часу релаксації у вигляді

. (1.35)

Тут. (1.36)

У цьому виразі логарифм - повільно змінна функція V, тоді

τ ~ V3 ~ 3/2. (1.37)

Отже, час релаксації при розсіюванні  носіїв заряду

на іонах домішки має залежність від енергії у вигляді, де р = 3/2.

 

 

1.4. Кінетичне рівняння для електронів  в кристалі

 

При визначенні часу релаксації для  електронів, розсіюється на іонах  домішки, передбачалося, що рух електронів відбувається за законами класичної механіки, тому їхній стан описувалося в і просторах і виконувалося співвідношення

. (1.38)

Це рівняння справедливо і для квазікласичних наближення, якщо енергія електрона, а, - хвильовий вектор.

Таким чином, якщо енергія, то застосовні всі формули, що визначають час релаксації при заміні m на ефективну масу m *. У випадку довільного закону дисперсії швидкість електрона

в кристалі дорівнює:

(1.39)

і не дорівнює.

Визначимо вид кінетичного рівняння Больцмана.

Квантовий стан електрона задовольняє  в квазікласичному наближенні співвідношенню

. (1.40)

Функція розподілу визначає число  електронів

в момент t в точці в одиниці  об'єму з складовими хвильового вектора від до в і просторі.

Для стаціонарного стану рівняння Больцмана, в разі руху електрона в електричному і магнітному полях і, буде мати вигляд:

, (1.41)

де визначається з (1.39).

Член зіткнень можна визначити  з наступних співвідношень. Нехай - ймовірність електрону за 1 с. перейти зі стану

в стан, тоді:

. (1.42)

Тут врахований принцип Паулі, показує, що стан вільно.

З принципу детального рівноваги випливає, що в статистичному рівновазі потоки електронів зі стану і зворотний процес повинні бути рівні, тобто

.

При пружному розсіянні і, тоді

. (1.43)

Таким чином, член зіткнень виходить таким же, як і

без урахування принципу Паулі. Пояснюється  це тим, що при врахуванні принципу Паулі число електронів збільшується на одну і ту ж величину перехідних з стану в, так і назад - з в.

Представляючи нерівноважну функцію  у вигляді

(1.44)

можна ввести час релаксації τ:

. (1.45)

Тут - кут між векторами і, що характеризують рух електрона до і після розсіювання.

У разі складного закону дисперсії енергії, наприклад у випадку p-Ga і p-Si, час релаксації неможливо ввести.

 

 

1.4.1. Електропровідність напівпровідників

 

Розглянемо застосування кінетичного  рівняння (1.41) для визначення різних явищ переносу в однорідному невироджених напівпровіднику, ізоенергетіческіе поверхні якого представляють сферу. В якості прикладу визначимо електропровідність при наявності постійного однорідного електричного поля напруженістю.

В елементі об'єму d3r кристала кількість  електронів одно:, де - хвильовий вектор. Щільність струму для електронів, що рухаються зі швидкістю, буде дорівнює:

. (1.46)

Повна густина струму для електронів і дірок

. (1.47)

Тут інтегрування проводиться по всій зоні Бріллюена,

і - швидкість і нерівноважна функція  розподілу електронів та дірок відповідно.

Висловимо нерівноважну функцію у  вигляді, де f0 - функція рівноважного стану.

Для термодинамічної рівноваги, як відомо, щільність струму дорівнює нулю, тоді замість виразу (1.47) будемо мати:

. (1.48)

Нерівноважна функція розподілу  може бути розрахована

з умови стаціонарного стану, тобто .

У цьому випадку

. (1.49)

Зміна функції розподілу електронів для польового члена буде визначатися  наступним виразом:

. (1.50)

Тут прийнято, що на електрон з енергією, що знаходиться

в електричному зовнішньому полі, діє сила, причому напівпровідник однорідний, тобто .

Зі співвідношення (1.49) і (1.50) можна визначити.

Тоді вираз для густини струму буде мати вигляд:

. (1.51)

Тут - час релаксації електрона.

Якщо нерівновага функція мала в порівнянні з рівноважної, тоді можна знехтувати і в (1.51) можна замінити на.

В невироджених напівпровіднику, де відлік енергії виробляється від дна  зони провідності, концентрація носіїв заряду визначається зі співвідношення:

, (1.52)

де.

Тоді

. (1.53)

Підставляючи (1.53) в (1.54), отримаємо:

. (1.54)

Скористаємося перетворенням для-простору:

. (1.55)

Тут і залежать від абсолютної величини вектора, ця рівність не важко довести.

Введемо в - просторі сферичну систему  координат, направивши полярну вісь z по вектору. У сферичних координатах:,,,,. (1.55а)

Інтеграл (1.55) запишемо у вигляді

, (1.55б)

де; - одиничні вектори вздовж осей x, y, z.

При інтегруванні по доданки, пропорційні  складовим і, дорівнюють нулю, тому вони містять множники і. Інтегрування доданка, пропорційного по і дає

.

Тоді для інтеграла буде справедливо  рівність (1.55). З урахуванням (1.55) щільність струму буде визначена зі співвідношення:

. (1.56)

Позначивши і використовуючи співвідношення, отримаємо:

. (1.57)

Тоді з урахуванням отримаємо:

. (1.58)

Введемо позначення

. (1.59)

У цьому випадку густина струму буде визначена:

, (1.60)

де - дрейфова рухливість електронів, (1.61)

- Електропровідність, обумовлена ​​електронами. (1.62)

Величина - середній час релаксації електронів.

Аналогічно можна визначити  щільність струму дірок:

. (1.63)

Дрейфова рухливість дірок

. (1.64)

Електропровідність, обумовлена ​​дірками,. (1.65)

Повна густина струму в напівпровіднику  дорівнює

. (1.66)

 

 

1.5. Розсіювання електронів на  коливаннях гратки

в атомному кристалі

 

Електрон при своєму русі в кристалі обмінюється енергією

з коливаннями решітки двояким  чином.

1. Електрон передає частину своєї  енергії решітці, так що певний  нормальне коливання з частотою  ωq збільшує своє квантове число  на одиницю. У цьому випадку  утворюється фонон з енергією  і квазіімпульсом, і число фононів  зростає на одиницю.

2. Електрон сам отримує частину  енергії від решітки, так що  квантове число певного коливання  з частотою ωq зменшується на  одиницю, тобто фонон з енергією  і квазіімпульсом зникає.

Таким чином, в будь-якому з цих  двох випадків електрон, стикаючись

з фононами, обмінюється з ним  енергією і квазіімпульсом. Цей механізм розсіювання отримав назву однофононний.

Так як число фононів визначається температурою, то і розсіяння електронів на теплових коливаннях гратки залежить від температури.

Розглянемо механізм однофононного  розсіювання електрона

на теплових коливаннях гратки кристала.

Нехай до зіткнення електрон мав  хвильовий вектор і енергію. Після зіткнення його хвильовий вектор став і енергія.

Виникаючий або зникаючий фонон  при зіткненні володіє енергією і його хвильовим вектором. При  взаємодії електрона з фононами виконуються два закони: закон  збереження енергії і закон збереження квазіімпульса.

При поглинанні електроном фонона

,

. (1.67)

У цьому випадку число фононів  зменшиться на одиницю,.

При випусканні електроном фонона

,

. (1.68)

Число фононів збільшується на одиницю, тобто

. (1.69)

Розсіювання носіїв заряду може бути пружним і непружних. Характеризуються такі зіткнення величиною відносної зміни енергії електрона за одне зіткнення.

(1.70)

або за одиницю часу

. (1.71)

У разі пружного розсіяння δ << 1 середній час розсіювання τ має сенс часу релаксації системи по імпульсу. Час релаксації

по енергії.

Розглянемо атомний напівпровідник кубічної сингонії, енергетична схема  якого представлена ​​на рис. 1.8. У процесі коливання кристалічної решітки виникають як поперечні хвилі, що представляють собою хвилі деформації зсуву, так і поздовжні, які є хвилями деформації стиснення і розтягування. Поперечні хвилі в кубічному кристалі не призводять до зміни обсягу, тоді як поздовжні зумовлять зміну об'єму кристала. При стисненні кристалу зменшується величина постійної решітки і нижній край зони провідності (рис. 1.8) зміщується вгору, а верхній край валентної зони - вниз, у зв'язку з чим ширина забороненої зони збільшується.

При розтягуванні решітки ширина забороненої  зони зменшиться,