Контрпримеры в анализе

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

 

Введение

„Истинно ли утверждение S?"—это, пожалуй, наиболее типичный для математики вопрос, когда утверждение имеет вид: „Каждый элемент класса А принадлежит также классу В: А В". Доказать, что подобное утверждение истинно, — значит доказать включение А В. Доказать, что оно ложно,— значит найти элемент класса А, не принадлежащий классу В, иными словами, привести контрпример. Например, если утверждение S таково: „Каждая непрерывная функция дифференцируема в некоторой точке", то множества А и В состоят соответственно из всех непрерывных функций и всех функций, дифференцируемых в некоторых точках. Известный же пример Вейерштрасса непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции f является контрпримером для включения А В, поскольку f является элементом А, не принадлежащим В. Рискуя впасть в чрезмерное упрощение, можно сказать, что математика (за исключением определений, утверждений и выкладок) состоит из двух частей — доказательств и контрпримеров, а математические открытия состоят в нахождении доказательств и построении контрпримеров.

Этим обуславливается актуальность контрпримеров во времена становления  и развития математики.

Большая часть математических книг посвящена доказательству верных утверждений.

Вообще говоря, примеры  в математике бывают двух типов — иллюстративные примеры и контрпримеры. Первые показывают, почему то или иное утверждение имеет смысл, а вторые — почему то или иное утверждение лишено смысла. Можно утверждать, что любой пример является в то же время контрпримером для некоторого утверждения, а именно для утверждения, что такой пример невозможен. Мы не желаем придавать термину контрпример столь универсальный смысл, но допускаем, что его значение достаточно широко, чтобы включить в себя все примеры, роль которых не ограничивается иллюстрацией верных теорем. Так, например, полином как пример непрерывной функции не есть контрпример, но полином как пример неограниченной или непериодической функции является контрпримером. Подобным же образом класс всех монотонных функций на ограниченном замкнутом интервале как класс интегрируемых функций не есть контрпример, однако этот же самый класс как пример функционального, но не векторного пространства является контрпримером.

Цель данной работы – рассмотреть  контрпримеры и условия монотонности функции в анализе.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть контрпримеры в анализе

2. Определить понятие контрпримера

3. Рассмотреть использование контрпримеров в дифференцировании

4. Определить понятие монотонности функций

5. Охарактеризовать условия монотонности функции 

6. Рассмотреть необходимое условие локального экстремума

7. Рассмотреть достаточные условия локального экстремума

 

 

1. Контрпримеры в анализе

1.1. Понятие контрпримера

Крылатые выражения: «учиться на примерах», «сила примера» имеют не только житейский  смысл. Слово «пример» является однокоренным со словами «мера», «мерить», «измерить», но не только поэтому присутствует в математике с самих ее начал. Пример иллюстрирует понятие, помогает уяснить его смысл, подтверждает истинность утверждения в его частном проявлении; контрпример , опровергая ложное утверждение, имеет доказательную силу.[22, C.7]

Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Построение контрпримера — обычный  способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет любой объект X₀ из множества M, для которого свойство A не выполняется.

Классический контрпример в  истории математического анализа  представляет собой построенная  Бернардом Больцано функция, непрерывная на всей вещественной оси и не дифференцируемая ни в одной точке. Эта функция послужила контрпримером к гипотезе о том, что дифференцируемость функции является естественным следствием её непрерывности.[26]

2.2. Использование контрпримеров в дифференцировании

Данный раздел был выбран в силу того, что дифференцирование является базовым элементом математического анализа.

В некоторых примерах этой главы термин производная будет применяться и к бесконечным пределам.

Однако термин дифференцируемая функция используется лишь в том случае, если функция имеет конечную производную в каждой точке своей области определения. Функция называется бесконечно дифференцируемой, если она имеет (конечную) производную любого порядка в каждой точке области определения.

Показательная функция с основанием е будет обозначаться символом е^х или ехр(x).

Предполагается, что все множества, включая области определения и множества значений функций, являются подмножествами R. В противном случае будет сделано соответствующее уточнение.

1. Функция, не являющаяся производной

Функция sgnA: и вообще всякая функция с разрывом в виде скачка не имеет примитивной, т. е. не является производной никакой функции, поскольку она не обладает свойством Коши принимать все промежуточные значения, а это свойство присуще не только непрерывным функциям, но и производным (см. [14], стр. 84, упр. 40, а также [20], т. I, стр. 224). Ниже приводится пример разрывной производной.

2. Дифференцируемая функция  с разрывной производной

Рассмотрим функцию

Ее производная

разрывна в точке х = 0.

3. Разрывная функция, всюду имеющая производную (не обязательно конечную)

Для того чтобы такой  пример стал возможен, надо расширить определение производной так, чтобы оно включало значения ± . Тогда разрывная функция sgn x (пример 1) имеет производную

4. Дифференцируемая  функция, производная которой не сохраняет знака ни в какой односторонней окрестности экстремальной точки

Функция

имеет абсолютный минимум  в точке х = 0. А ее производная

в любой односторонней  окрестности нуля принимает как положительные, так и отрицательные значения. Функция f не является монотонной ни в какой односторонней окрестности точки х = 0.

5. Дифференцируемая функция,  производная которой положительна в некоторой точке, но сама функция не монотонна ни в какой окрестности этой точки

Функция

имеет производную, равную

В любой окрестности нуля производная f ^/ (х) имеет как положительные, так и отрицательные значения.

6. Функция, производная которой конечна, но не ограничена на замкнутом интервале

Рассмотрим  функцию

Ее производная

не ограничена на [—1, 1].

7. Функция, производная которой  существует и ограничена, но не имеет (абсолютного) экстремума на замкнутом интервале

Функция

имеет производную

В любой окрестности  нуля эта производная имеет значения, как угодно близкие к 24 и —24. С другой стороны, для 0<h (см. [14], стр. 83, упр. 29) имеем

и

Поэтому из неравенства 0 < h 1 следует, что

8. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Функция | х | всюду непрерывна, но не дифференцируема в точке х — 0. С помощью сдвига этой функции можно определить всюду непрерывную функцию, которая не дифференцируема в каждой точке произвольно заданного конечного множества. В этом пункте мы приведем пример, использующий бесконечное множество сдвигов функции | х |.

Покажем, что функция 

нигде не дифференцируема. Пусть а — произвольное действительное число, и пусть для всякого натурального n число h_n, равное 4^-n или –4^-n, выбрано так, что Тогда величина имеет одинаковое значение | h_n | для всех m n и равна нюлю для m > n. Тогда разностное отношение является целым числом, которое чётно при чётном n и нечётно при нечётном n.

Отсюда следует, что  предел

не существует, а поэтому не существует и

Приведенный пример является модификацией примера, построенного Б. Л. Ван дер Варденом в 1930 г. (см. [19], стр. 394). Первый же пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции был построен К. В. Т. Вейерштрас-сом (немецкий математик, 1815—1897 г.):

где а — целое нечетное число, а число b таково, что

В настоящее время известны примеры непрерывных функций, которые ни в одной точке не имеют даже односторонней конечной или бесконечной производной. Эти примеры и дальнейшие ссылки можно найти в [19] (стр. 392—394), [2] (стр. 61 — 62, 115, 126), а также в [6] (т. II, стр. 401—412).

Функция настоящего примера не является монотонной ни на каком интервале. Более того, существует пример функции всюду дифференцируемой и нигде не монотонной (см. [6], т. II, стр. 412—421). Конструкция этого примера очень сложна и приводит к функции, которая всюду дифференцируема и имеет плотное множество относительных максимумов и плотное множество относительных минимумов.

9. Дифференцируемая функция, для которой теорема о среднем не имеет места

В этом примере мы снова вынуждены  обратиться к комплекснозначной функции. Функция

действительного переменного х всюду непрерывна и дифференцируема (см. [14], стр. 509—513). Однако не существует такого интервала для которого при некотором справедливо равенство

Если предположить, что  это равенство возможно, то, приравнивая квадраты модулей (абсолютных значений) обеих его частей, мы получим равенство

которое после элементарных преобразований примет вид

Но так как не существует положительного числа h, такого, что sin h = h (см. [14], стр. 78), то мы получили противоречие.

13. Бесконечно дифференцируемая  монотонная функция f, такая, что

Если не требовать монотонности, то тривиальным примером такой функции будет, например, (sinx²)/x. Построим пример монотонной функции, обладающей указанным свойством. Положим f(х) равной 1 для и равной на замкнутых интервалах для

На оставшихся промежуточных интервалах вида определим f(х) с помощью функции

,

применяя горизонтальные и вертикальные сдвиги и умножение на соответствующие отрицательные множители.

 

2. Монотонные функции

2.1. Монотонность функций

Функция f ( x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x ₁ и x ₂ из промежутка D таких, что x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f ( x ₁ ) < f ( x ₂ ).

Функция f ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x ₁ и x ₂ из промежутка D таких, что x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f ( x ₁ ) > f ( x ₂ ).

Рисунок 1.

На показанном на рисунке графике  функция y = f ( x ), возрастает на каждом из промежутков [ a ; x ₁ ) и ( x ₂ ; b ] и убывает на промежутке ( x ₁ ; x ₂ ). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [ a ; x ₁ ) и ( x ₂ ; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или  убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D ( f ( x )), то уравнение f ( x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x ₁ < x ₂ – корни этого уравнения на промежутке D ( f ( x )), то f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим  свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
• Если функция f возрастает, то функции cf ( c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf ( c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
• Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/ f убывает.
• Если функция f возрастает и неотрицательна, то  где , также возрастает.
• Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.
• Композиция g ( f ( x )) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно  сформулировать и для убывающей  функции.

Рис. 2. Свойства функции.

Точка a называется точкой максимума  функции f , если существует такая ε-окрестность  точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f ( a ) ≥ f ( x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f ( a ) ≤ f ( x ).

Точки, в которых достигается  максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке  экстремума происходит смена характера  монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может  возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого  ( x ≠ a ) выполняется неравенство f ( x ) ≤ f ( a ) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :  

Если для любого  ( x ≠ b ) выполняется неравенство f ( x ) > f ( b ) то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D .  

Точка наибольшего или наименьшего  значения может быть экстремумом  функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции  следует искать среди экстремумов  этой функции и ее значений на концах отрезка.

Рис. 3

 

Рис. 4

Рис. 5

Если существует число C такое, что  для любого выполняется неравенство f ( x ) ≤ C , то функция f называется ограниченной сверху на множестве D .

Если существует число c такое, что  для любого выполняется неравенство f ( x ) ≥ c , то функция f называется ограниченной снизу на множестве D .

Функция, ограниченная и сверху, и  снизу, называется ограниченной на множестве D . Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f ( x ), лежит в полосе c ≤ y ≤ C .

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она  не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу  на всей числовой оси, является функция y = x ². Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/ x . Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x .[13]

2.1. Условия монотонности функции

Теорема 1. Предположим, что для  функции существует производная функция не меняющая знака на (a,b). Тогда функция f монотонна (в широком смысле) на (a, b).

Более того, справедливы следующие  утверждения¹:

Зададим произвольно точки Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существует точка такая, что

    (1)

Так как , то разность либо равна нулю, либо имеет тот же знак, что и Значит,

т. е. в этом случае функция f не убывает. Аналогично

т. е. в этом случае функция f не возрастает.

Далее, если , то из (1) видно, что т. е. функция f — постоянная. С другой стороны, из определения производной следует, что производная постоянной функции равна нулю тождественно.

И наконец, из (1) очевидно, что если строго положительна (строго отрицательна), то f строго возрастает (строго убывает).

Примеры. 1) Найти число вещественных корней уравнения

Функция дифференцируема на Так как для всех то данная функция строго возрастает на Поэтому уравнение может иметь не более одного корня. Поскольку

то в силу теоремы Больцано —  Коши Таким образом, данное уравнение имеет единственный вещественный корень.

2) Найти интервалы монотонности  функции

Имеем: при при Применяя теорему 1, заключаем, что данная функция возрастает на и на и убывает на [9, С. 261-262]

2.3. Необходимое условие локального экстремума

Теорема Ферма дает необходимое условие того, что внутренняя точка в которой существует производная является точкой локального экстремума функции f . Для приложений полезно сформулировать необходимое условие в предположениях, несколько отличных от предположений теоремы Ферма.

Рис. 6. График функции, имеющей локальные экстремумы

Теорема 2. (необходимое условие экстремума). Если точка является точкой локального экстремума функции то производная либо не существует, либо либо

Доказательство этой теоремы простое, и мы его опускаем. На рис. 6 показаны возможные особенности графика функции в окрестности точек, где она имеет локальные экстремумы.

Критическими точками функции f будем называть все те точки, в которых эта функция, возможно, имеет локальные экстремумы. Кроме точек, о которых сказано в теореме 2, к критическим точкам функции f следует отнести все граничные точки ee области определения. Стационарными точками функции f будем называть все те ее критические точки, которые лежат внутри ее области определения, и в которых производная равна нулю.

Если ставится задача исследовать  данную функцию на экстремум, то сначала  следует найти ее критические  точки. Затем, обращаясь к определению 133, следует проверить, является ли та или иная критическая точка точкой экстремума, и если да, то какой именно. В следующем пункте будут установлены теоремы, содержащие достаточные условия наличия или отсутствия локальных экстремумов данной функции в ее стационарных точках.[9, С. 263.]

2.4. Достаточные условия локального экстремума

Теорема 3. (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f дифференцируема на некотором интервале, содержащем стационарную точку x₀ , и пусть существует такое что ее производная функция имеет постоянный знак на каждом из интервалов Если знаки производной на этих интервалах противоположные, то функция f имеет в точке x₀ строгий локальный экстремум, если же эти знаки одинаковые, то функция f не имеет экстремума в точке x₀ .

В силу теоремы 1 функция f строго монотонна на каждом из интервалов Если знаки ее производной на этих интервалах одинаковые, то функция f строго монотонна на интервале и потому в точке x₀ экстремума иметь не может. Если при возрастании переменной x знак производной меняется c плюса на минус, то слева от x₀ функция f возрастает, а справа — убывает. Значит, в точке x₀ она имеет строгий локальный максимум. Если же знак производной меняется с минуса на плюс, то слева от x₀ функция f убывает, а справа — возрастает. Значит, в точке x₀ она имеет строгий локальный минимум.

Теорема 4. (второе достаточное условие экстремума). Если то функция f имеет в стационарной точке x₀ строгий локальный экстремум (максимум при минимум при

Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x₀:

Так как то имеем

  (2)

Так как

Таким образом, при знак приращения совпадает со знаком числа Значит, при 0 будет: т. e. x₀ является точкой максимума. Если же то будет: т. e. x₀ является точкой минимума.

Теорема 5. (третье достаточное условие экстремума). Пусть

 (3)

Если число k — нечетное, то в точке x₀ функция f не имеет экстремума. Если же число k — четное, то функция f имеет в точке x₀ строгий локальный экстремум. Именно максимум при и минимум при

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4. Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x₀:

Согласно (3), имеем следующее тождество, аналогичное (2):

   (4)

Так как при

Таким образом, при знак приращения f(x) − f(x₀) совпадает со знаком первого слагаемого правой части (4). Если в (4) число k — нечетное, то при переходе через точку x₀ функция меняет знак, значит, и приращение меняет знак. Поэтому при нечетном k в точке x₀ экстремума нет. Если же число k — четное, то функция положительна при и потому приращение сохраняет знак при

Это означает, что в точке x0 функция f имеет строгий локальный экстремум, максимум при  и минимум при

Примеры. 1) Исследовать на экстремум  функцию

Сначала вычисляем производную  данной функции:

Приравнивая ее к нулю находим корни (т. е. стационарные точки) Для дальнейшего исследования вычислим производную второго порядка: Далее, при x = 1 имеем — максимум, при имеем минимум,

2) В равнобедренный прямоугольный  треугольник с гипотенузой, равной 2R единиц, вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Подобрать размеры прямоугольника так, чтобы его площадь стала максимальной.

Пусть 2x — длина основания прямоугольника, а y — его высота.

Тогда площадь S этого прямоугольника равна S = 2xy. Легко показать, что y = R − x. Таким образом, площадь прямоугольника вычисляется по формуле: Исследуем эту функцию на экстремум:

И наконец, значит, в точке функция S имеет максимум, равный

3) Исследовать на экстремум функцию

Так как данная функция — периодическая, с основным периодом то достаточно найти ее экстремумы на любом промежутке длины Будем искать их на полуинтервале

Приравнивая к нулю производную  данной функции

находим стационарные точки, лежащие  на промежутке

Итак, стационарные точки следующие:

Исследуем эти точки на экстремум, следя за изменением знака первой производной при возрастании  переменного x.

При переходе через точку x = 0 производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

При переходе через точку  производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

При переходе через точку производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

Рис. 7. График функции

При переходе через точку производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

При переходе через точку  производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

При переходе через точку  производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

График функции  показан на рис. 7. [9, С. 264-267]

 

Заключение

Итак, в соответствии с задачами, поставленными во введении, мы рассмотрели  понятие контрпримера, его использовании  в дифференцировании и понятие монотонной функции.

Особенностью многих примеров и контрпримеров в математике является их эффективность: простой пример может привести к пониманию сложной истины, простой контрпример способен перечеркнуть нетривиальные рассуждения, гипотезы и заблуждения. Казалось бы, примеры и контрпримеры должны стать эффективным инструментом в руках (точнее в умах) преподавателей и студентов, усилить учебный процесс. Однако перегруженность учебных программ, ограниченность лекционного и семинарского времени привели не к лучшей традиции: излагать материал в сжатой и канонизированной форме. Сделать, используя примеры и контрпримеры , «шаг влево – шаг вправо», ответить на возникающие при обучении качественные вопросы, дотошно выяснить границы применимости понятий, теорем, правил и методов уже не хватает времени.

 

 

Список источников и  литературы

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит., 1963. 443 с.
2. Боас П. П. Примеры вещественных функций. Нью-Йорк, 1960.
3. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа / Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1971. Ч.1. 350с.
4. Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу/ И.А. Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Под общ.ред. В.А.Садовничего. М.:Изд-во Моск.ун-та, 1988. 416с.
5. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
6. Гобсон Е. В. Теория функций. Вашингтон, 1950.
7. Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии. М.: Сентябрь, 1996. 112с.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 624с.
9. Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ: Учебное пособие в шести частях: Часть 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление.— Электрон. текст. дан. (2320 кб). — 2-е издание. — Мн.: “Электронная книга БГУ”, 2004.
10. Иванов А.П., Фоминых Ю.Ф. Использование тестов для повышения системности знаний учащихся по математике // Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты. Тезисы докладов XVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и пед.вузов. Брянск, октябрь 1999 г. Брянск: Изд-во Брянского гос.пед.ун-та, 1999. 184с.
11. Лакатос И. Доказательства и опровержения: как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967.
12. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975.
13. Монотонность функций – http://e-science.ru/math/theory/?t=133
14. Олмстед Дж, Продвинутые вычисления. Нью-Йорк, 1961.
15. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240с.
16. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1980.
17. Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1998. 313с.
18. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999.
19. Титчмарш Е. Теория функций, М.: Гостехиздат, 1951.
20. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: 1960.
21. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск: Изд-во Том.ун-та. Москва: Изд-во "Барс", 1997. 392с.
22. Шибинский В.М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа: Учебное пособие. М.: 2007.
23. Щетников А. И., Щетникова А. В. Роль контрпримеров в развитии основных понятий математического анализа. Новосибирск: АНТ, 1999.
24. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255с.
25. Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс- параллели и взаимосвязи. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1997. 137с.
26. http://ru.wikipedia.org/wiki/Контрпример

¹ Неравенства типа понимаются в следующем смысле: для всех