Кривые в евклидовых пространствах

                                              Содержание

Введение……………………………………………………………………………………………………….3

Глава 1. Система координат.

        1.1. Декартовы координаты в пространстве.………………………………….4

        1.2. Замена координат. ………………………………………………………………..………6

Глава 2. Кривые в евклидовых пространствах.

        2.1.Кривая в евклидовом пространстве.……………………………………………15

        2.2. Квадратичные формы и векторы. ……………………………………………….23

       Заключение………………………………………………………………………………………….27

       Литература…………………………………………………………………………………………..28

 

Введение:

    К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии. 1637 год – одна из великих дат в истории математики – год появления книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого метода для исследования кривых было фактом первостепенного значения. Метод координат не только создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ей уравнения, он давал также неограниченную возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждое произвольно записанное уравнение, связывающее между собой две переменные величины, представляло теперь, вообще говоря, новую кривую.

    Открытие метода  координат подготовило в свою  очередь открытие могущественного  метода науки – исчисления  бесконечно малых. Рождение дифференциального  и интегрального исчисления имело  особо важное значение для  изучения свойств кривых.

 

Глава 1.

                                Система координат.

 

1. Декартовы координаты в пространстве.

Итак, наши основные представления о геометрии таковы:

    1) Геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое состоит из точек Р, Q, ...

    2) Следуя методу аналитической геометрии, в это пространство можно ввести декартовы координаты. Введение декартовых координат в пространство означает, что каждой точке пространства поставлен в соответствие набор действительных чисел , называемых ее координатами, причем требуется выполнение следующих свойств:

     а) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат; это означает, что две точки Р и Q с координатами (), () совпадают в том и только том случае,если , i=1,2, …,n;

    б) наоборот, каждому набору (), где — любые действительные числа, должна соответствовать какая-то точка Р изучаемого пространства.

Определение 1. Пространство, в котором введены декартовы координаты () так, что выполняются перечисленные свойства, называется n-мерным декартовым пространством  и обозначается через .Число n называется числом измерений или размерностью пространства.

Часто мы будем называть сами наборы () точками декартова пространства.

 

Простейший пример декартова пространства — это числовая прямая, которая является одномерным декартовым пространством. Здесь имеется только одна координата  (n=1). Другие примеры, появляющиеся в аналитической геометрии,— это декартовы координаты на плоскости (двумерное декартово пространство) и в «обычном», т. е. трехмерном, пространстве . Этих примеров было вполне достаточно для решения задач «школьной» геометрии.

    Укажем менее привычный, но крайне важный пример декартова пространства. Современные физические представления не допускают разделения пространства и времени и сразу апеллируют к четырехмерному пространственно-временному континууму. Эта форма математического подхода к упорядочению явлений природы является чрезвычайно удобной.

    Точками пространственно-временного континуума являются события. Каждому событию поставим в соответствие набор из четырех чисел (t,), где t — «момент времени», когда произошло событие, — координаты «места события». Величины (t,) и будут декартовыми координатами в пространственно-временным континууме. Таким образом, пространственно-временной континуум есть четырехмерное декартово пространство. Теперь можно забыть исходную интерпретацию координат (t, ) как времени и места события. Трехмерное пространство, в котором разворачивается классическая геометрия, тогда будет просто поверхностью уровня t = const. Процесс жизни каждого объекта, который можно в любой момент времени считать одноточечным («точечной частицы»), отождествляется с линией ,в четырехмерном пространстве. Эту линию мы назовем мировой линией точечной частицы. Мы также будем рассматривать трехмерный и даже двумерный пространственно-временной континуум с координатами (t,) и (t, ) соответственно, так как в этих случаях легче рисовать.

 

 

2. Замена координат.

 Пусть в n-мерном декартовом пространстве задана числовая функция  f(P) т. е. функция от положения точки Р в пространстве. Пользуясь декартовыми координатами, мы можем представить функцию как функцию от n действительных переменных: если то . Мы будем рассматривать только непрерывные (и даже непрерывно дифференцируемые) функции Функции  f могут быть определены не на всем пространстве , а только на его части на области пространства.

 

 

 

    Определение 2. Область или область без границы (открытое множество) это совокупность точек в такая,что вместе с любой точкой из этой совокупности ей принадлежат также все достаточно близкие к ней точки пространства.

    Более точно,если  лежит в области , то найдётся такое , что если для точки выполняется неравенство

 

                                   

 

то  лежит в области .

    Определение 3. Область с границей получается из области без границы добавлением ее предельных точек. Граница области состоит из добавленных точек.

Простейший пример области без границы — это все пространство . Другой простой пример области без границыобласть состоит из таких точек плоскости что   (открытый круг). Соответствующая область с границей состоит из таких точек что . Этот пример является в определенном смысле типичным. Имеет место простая теорема..

    Теорема 1. Пусть в пространстве задан набор непрерывных функций Рассмотрим совокупность точек , удовлетворяющих неравенствам

 

                 

 

Тогда D — область без границы.

    Доказательство.

 Пусть лежит в D, т. е. Тогда из теоремы о сохранении знака непрерывной функции следует, что при каждом j найдется такое , что неравенства влекут за собой неравенство . Беря   мы видим, что D содержит все точки , у которых Таким образом, D — область без границы.

    3амечание. Двигаясь по кривым изнутри области D: можно достичб в силу непрерывности функций , лишь тех точек P, где Если выполняются простые аналитические ограничения на функции (мы укажем их в части), то любая точка Р такая, что при любом j , достижима. Эти ограничения выполнены во всех встречающихся ниже примерах. Таким образом, при этих ограничениях решения неравенств , дают область с границей.

    Очень важным и часто встречающимся является понятие ограниченной области в пространстве, т. е. такой, что все достаточно далекие от начала координат точки ей не принадлежат.

    Декартовы координаты во всем пространстве дают, очевидно, координаты и в любой области D, но они принимают не все значения. Для функций , определенных в области, можно говорить о непрерывности и дифференцируемости так же, как и для функций во всем пространстве .

Пусть заданы какие-либо другие координаты в той же области. Мы можем написать

 

                                

                                                                                                                                               (1)

                                

 

Написанные равенства означают просто, что каждой точке области можно сопоставить как набор декартовых координат , так и набор новых координат ,— поэтому декартовы координаты можно выразить через новые и наоборот.

    Разберем первоначально линейные замены координат в пространстве:

 

                                                                            (2)

 

(более краткая запись: , где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Как известно из линейной алгебры, для того чтобы можно было выразить через , необходимо и достаточно, чтобы матрица имела обратную . Обратная матрица определяется так:

                                                        

где

                                               

(символ Кронекера),  суммирование по j подразумевается. Итак, декартовы-координаты точки Р выражаются через новый набор чисел с помощью матрицы Равенство (2) можно кратко записать так:

 

                

 

    Равенство (2) означает, что если точка Р соответствовала набору координат, то в новых координатах ей соответствует набор такой, что Мы видели, что матрица    должна быть обратимой и, значит, иметь отличный от нуля определитель (быть невырожденной). Тогда можно выразить и новые координаты через старые:

 

                                                                                                  (3)

 

(суммировапие по ).

    Рассмотрим теперь произвольные новые координаты , где функции предполагаются непрерывно дифференцируемыми (гладкими).

    Мы предполагаем, что новые координаты изображают каждую точку изучаемой области пространства,— это значит, что любому набору  чисел в изучаемой области соответствует хотя бы один набор такой, что

    Определение 4. Точка называется неособой точкой системы координат , если матрица

 

                                                                         (4)

 

где таковы, что имеет ненулевой определитель (не вырождена).

    Матрица А называется матрицей Якоби данной замены и обозначается через Определитель матрицы Якоби называется якобиальным и обозначается через

 

                             

    Из курса математического анализа известна следующая теорема об обратном преобразовании (частный случай общей теоремы о неявных функциях).

    Если задан переход к новым координатам

Причем и   при  , то в достаточно малой окрестности точки можно выразить координаты  через  так, что , причём При этом матрица , т. е. матрица Якоби обратного преобразования, будет обратной матрицей по отношению к матрице  , т.е.

 

                                                                                                                 (5)

 

(напоминаем: подразумевается суммирование по j).

   

    Для n = 1 это утверждение выглядит так:

если   , то можно выразить z через х, , так, что и в достаточно малой окрестности точки .

    В разобранном выше случае линейных замен координат .В этом случае матрица Якоби    совпадает с матрицей , так как и эти числа постоянны. При этом если , то замена обратима во всем пространстве и , где В — матрица, обратная к А.

    Разберем другие примеры координат на плоскости и в пространстве, известные из аналитической геометрии.

    1. На плоскости рассматриваются полярные координаты для которых

 

                                                                                  (6)

 

   Здесь всегда . Далее, пары и ) при целом изображают одну и ту же точку Поэтому является однозначной координатой, лишь если потребовать, чтобы При дополнительно надо сказать, что все пары изображают одну и ту же точку (начало координат), так что в начале координат происходит нечто еще худшее. Убедимся, что начало координат есть особая точка полярной системы координат. Составим матрицу Якоби:

 

                                                                  (7)

 

Мы имеем для якобиана

 

                                       

 

Итак, якобиан равен нулю лишь в точке r=О. Если выразить  r через , то  . Эта функция не дифференцируема при В области новые координаты полностью однозначны и не имеют особых точек.

    2. Цилиндрические координаты в трехмерном декартовом пространстве с декартовыми координатами   где    

 

                                                                     (8)

 

    Здесь задает прямую, ось , вдоль которой координатная система «портится». Действительно, матрица Якоби здесь имеет вид

 

                             ,                                             (9)

 

и якобиан равен нулю только при r=О. В области система координат не имеет особых точек. Как и выше, координата однозначна в области .

 

    3. Сферические координаты в трехмерном пространстве. Имеем

 

                             (10)

                   

                   

 

Для сферических координат матрица Якоби имеет следующий вид:

 

                    .                    (11)

 

Якобиан имеет вид

 

                                                   

 

Мы видим, что в области этот якобиан не обращается в нуль.

    Сферическая система координат однозначна и не имеет особых точек в области. Точки (любые) или (любые) — это особые точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2.

                     Кривые в евклидовых пространствах.

 

1.2. Кривая в евклидовом пространстве.

    Кривая в евклидовом пространстве. Пусть декартовы координаты в трехмерном пространстве таковы, что если точке P соответствуют три ее координаты , а точке Q — координаты , то квадрат длины прямолинейного отрезка, соединяющего точки Р и Q равен  Тогда пространство называется евклидовым, а декартовы координаты с такими свойствами называются евклидовыми координатами.

    Из курса линейной алгебры известно, что с точками евклидова пространства удобно связывать векторы. У нас имеется начало координат — точка 0; назовем вектор, ведущий из точки 0 в изучаемую точку Р, радиус-вектором этой точки. Декартовы координаты () точки Р мы будем называть координатами вектора. Два вектора ξ=, ведущих из точки 0 в точки Р и Q соответственно, можно складывать покоординатно и получить вектор ξ+ƞ с координатами (). Можно также умножить вектор на число. Единичные векторы с координатами = (1, О, 0), = (О, 1, 0), =(О, О, 1) имеют длину, равную 1. Далее будет видно, что они вдобавок взаимно перпендикулярны. Любой вектор ξ с координатами ()  имеет вид ξ=. Здесь все пространство трехмерно и n = 3. Для любых n, разумеется, все аналогично. Поэтому евклидово пространство зачастую рассматривается как линейное (или векторное) пространство, в котором квадрат расстояния между точками (концами радиус-векторов) ξ= и измеряется как . В трехмерном евклидовом пространстве мы имеем n = 3, для плоскости n=2, а случай n> 3 является их простым обобщением.

    В евклидовом пространстве имеется важная операция, называемая скалярным произведением векторов.

    Определение 1. Если заданы вектор ξ= и вектор , то их евклидовым скалярным произведением называется число

 

                                           .                                                                   (1)

Это скалярное произведение обладает следующими важными свойствами:

            а) ;

            б) , где  , - любые действительные числа;

            в) , если  .

    Декартовы координаты в которых это скалярное произведение имеет вид (1), называются евклидовыми.

    Используя понятие скалярного произведения, можно сказать, что квадрат длины прямолинейного отрезка, ведущего из точки Р с радиус-вектором  ξ=  в точку Q с радиус-вектором есть скалярный квадрат вектора а длина любого вектора равна . Часто длину вектора обозначают через . Свойство в) означает, что все ненулевые векторы имеют положительную длину.

    Из аналитической геометрии известно, что для двух векторов ξ=, угол между ними тоже выражается через скалярное произведение:

                                        .                                                        (2)

    Таким образом, длины и углы тесно связаны с понятием скалярного произведения между векторами. В дальнейшем именно скалярное произведение будет взято за основное, первичное понятие, на котором строится геометрия.

    Пусть теперь имеется кривая линия в евклидовом пространстве, заданная в параметрической форме:

                                      ,                                                     (3)

где параметр t пробегает отрезок от а до b и - гладкие функции параметра t,. Касательным вектором или вектором скорости кривой в момент t называется вектор

 

                                               .                                                      (4)

 

    Определение 2. Длиной линии называется число

 

                                .                                      (5)

 

    Иначе говоря, длиной линии называется интеграл от длины ее вектора скорости.

    Если есть линия ,  и другая линия , , пересекающиеся при , (т. е. , ), то можно говорить об угле между этими линиями в точке пересечения. Обозначим касательные векторы скорости к линиям при t = 4 соответственно через

 

                                         ,                                 

                                                                                                                                          (6)

                                        .

    Определение 3. Углом между линиями в точке их пересечения при t = называется такой угол , что имеет место равенство     

 

                                            .                                                                   (7)

 

Два последних определения можно рассматривать как важные факты, которые должны доказываться в курсе математического анализа. Но в действительности их можно рассматривать и как первичные определения. Нужно только проверить соответствие этих определений наглядным понятиям о длинах и углах между кривыми в евклидовом пространстве. Из школьного курса геометрии известно, что длина окружности радиуса R равна . Далее, из аналитической геометрии известно, что длина прямолинейного отрезка — вектора ξ с координатами —равна (по теореме Пифагора). Проведем вычисление для отрезка и окружности и убедимся, что наше определение длины дает те же числа.

1. Отрезок. Для простоты пусть он выходит из начала координат. Тогда он задается формулой , где . При t=0 все координаты , а при t=1 все координаты, т. е. мы попадаем в конец вектора ξ. Длина нашего отрезка прямой равна

                      ,                                           

т. е. мы получили известную формулу для длины отрезка.

      2) Окружность. Задаётся формулой (на плоскости)                                                                   .

Вектор скорости здесь имеет вид   и длина равна

                                                               (8)

 Для окружности мы также имеем нужный ответ.

Кроме того, наше определение длины удовлетворяет тому требованию, что длина кривой, составленной из двух кусков, равна сумме длин этих кусков.

Заметим, однако, что формула (5) для длины кривой относится к параметризованным кривым Попросту говоря, мы бежим вдоль линии вместе с параметром t, меняющимся между а и Ь со скоростью , и эта скорость v(t) бега по кривой явным образом входит в нашу формулу

 

                                                                                                       (9)

    Что будет, если мы побежим по той же самой кривой с другой скоростью? Мы движемся от точки до точки Получим ли мы то же самое число, если будем двигаться по той же самой линии от точки Р до точки Q, но с другой скоростью?

    Точная постановка этого вопроса такова. Пусть задан новый параметр , меняющийся от а’ до b’ (), и параметр t представлен в виде функции от   причём Последнее неравенство означает просто, что мы бежим по параметру в ту же сторону по кривой, что и по параметру t. Тогда наша кривая представлена в виде

 

                                                 (10)

Скорость движения по параметру   имеет вид

                                                        (11)

Длина кривой в новой параметризации  равна

                                                                                                            (12)

Покажем,что

                           

Вычислим длину вектора :

 

так как  Поэтому

   

что и требовалось доказать.

    Вывод. Длина отрезка на кривой не зависит от скорости пробегания этого отрезка кривой.

    Таким образом, наше определение длины удовлетворяет всем необходимым требованиям для обслуживания наших интуитивных представлений об этой величине.

Пример. Пусть кривая на плоскости задана как график функции   Тогда в качестве параметра t можно взять просто   Вектор скорости имеет вид и длина кривой равна

   

                                                                   (13)

 

    На любой гладкой кривой (такой кривой, что параметр скорости не обращается в нуль) можно выбрать параметр (размерности длины) так, чтобы вектор скорости был единичным:. Такой параметр называется натуральным. Для него Следовательно, натуральный параметр имеет простой геометрический смысл — он равен длине отрезка кривой, который мы пробежали.

    Пусть теперь в евклидовом пространстве с евклидовыми координатами   задана другая система координат так что Пусть кривая задается параметрически в новых координатах Тогда в исходных, евклидовых координатах та же самая кривая имеет вид

 

                                         

      

    Назовём вектором скорости кривой в координатах вектор где

 

                                                                                          (14)

 

    В исходных координатах вектор скорости Это — вектор, взятый в точке , тот же самый вектор, что и , но взятый в точке

    Точка P одна и та же, и вектор один и тот же, но записанный в двух разных системах координат и Выясним, как преобразуются координаты вектора скорости при замене координат. Имеем

 

                                                                                          (15)

 

(напоминаем: суммирование по ). Квадрат длины вектора скорости имеет вид

 

                                                (16)

 

где введено обозначение

 

                                                                                                         (17)

    Вывод. В произвольных координатах , где скалярный квадрат вектора   скорости кривой задается формулой

 

                                                                                  (18)

 

где                               

 

 

2.3. Квадратичные формы и векторы.

 Мы видели в предыдущем пункте, что координаты вектора скорости кривой при замене координат преобразуются по правилу

 

                                                                                                         (19)

Или, кратно,

 

                                                

 

где  определенная в предыдущем параграфе матрица

Якоби замены, причем мы даже не пользовались здесь тем, что координаты евклидовы. Закон преобразования (19) можно положить в основу общего определения вектора.

 

    Определение 4. Вектором в точке называется набор чисел , отнесенный к системе координат Если две системы координат и ', связаны заменой причем то для новой системы координат этот же вектор в точке задается другим набором чисел который

связан с исходным формулой

                                                                                                    (20)

Следует обратить внимание, что главным в определении вектора является вид закона преобразования (20).

    Рассмотрим другой часто встречающийся геометрический объект — градиент функции. Мы привыкли говорить, что градиент числовой функции f() (например, для случая .n=3) в декартовых координатах — это вектор с компонентами

                                              grad f=.                                                      (21)

Положим , j=1, …,n. Посмотрим , как выглядит градиент той же функции в других координатах , где x=x(z).

Имеем

                                      grad f()=,  

                                                , i=1,…,n.

Обозначив через компоненты — градиента в новой системе координат, получим

                               .                                                             (22)