Курсовая по моделированию социально-экономических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

Кафедра «Компьютерное моделирование  и  информационные технологии»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ  СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2011

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Целью курсовой работы по дисциплине «Моделирование социально-экономических систем» является приобретение практических навыков построения моделей типовых социально-экономических процессов, их анализа и исследования с использованием построенных моделей.

Задачами выполнения курсовой работы являются:

• углубленное изучение теоретических концепций и разработок, связанных с заданиями курсовой работы;
• приобретение навыков разработки компьютерных моделей типовых социально-экономических процессов;
• развитие ранее приобретенных навыков разработки алгоритмов, программных средств, их компонентов, модулей, пакетов расширения, отдельных процедур (функций), автоматизирующих выполнение рутинных операций моделирования социально-экономических систем.

 

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ НЕОКЛАССИЧЕСКОЙ  ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

 

Понятие Производственной Функции.

Можно дать несколько определений  производственной функции:

1. Производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого или используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции.

2. Производственная функция характеризует чисто техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции в единицу времени.

3. Производственная функция – это экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей – факторов.

Во всех определениях присутствует в явном или неявном  виде технология, технологический способ производства. Можно сказать, что  технология лежит в основе производственной функции и выступает в качестве ограничений при принятии решений.

Производственные  функции можно использовать для  оценки эффективности принятого  на предприятии метода хозяйствования. Так для заданного набора ресурсов можно определить фактический выпуск продукции и сравнить его с  рассчитанным по производственной функции  построенной для предприятия. Полученные различия дает полезный материал для оценки эффективности принятого на предприятии метода хозяйствования в абсолютном и относительном измерении.

Являясь функциональной математической зависимостью, производственная функция должна с максимальной объективностью отражать моделируемый экономический объект, т.е. необходимо, чтобы она удовлетворяла определенным содержательно-логическим и экономическим требованиям.

Среди этих требований можно выделить следующие:

в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы;

все величины должны иметь  отчетливый экономический смысл;

все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы;

выпуск продукции без затрат невозможен;

если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может  расти бесконечно;

увеличение затрат не может  привести к уменьшению выпуска.

Организация производственного процесса предполагает достижения желаемых конечных состояний, т.е. целей производства. Производственная система, которая достигает поставленных целей, является результативной.

При изучении результативных производственных систем возникает  вопрос об эффективности преобразования факторов в продукт.

Производственная система считается эффективной, если она достигает поставленных целей при низких издержках, которые пропорциональны количеству потребляемых системой факторов производства за некоторый период времени постоянстве цен на рынке ресурсов.

Средний и предельный продукты факторов затрат производства. Коэффициент эластичности конечного продукта по i – ому фактору затрат производства.

Математически эффективность производственного  процесса или эффективность использования  факторов производства определяется величинами среднего и предельного продуктов факторов затрат производства. Более эффективная система производит большее количество конечного продукта при заданных затратах факторов производства в единицу времени.

Определение. Средний продукт i – ого фактора - это отношение количества произведенного конечного продукта к количеству затраченного фактора производства x_i за определенный период времени.

.     (2.4)

Для случая двух факторов затрат производства K и L, введем понятия средней фондоотдачи AY_K и средняя производительность труда AY_L .

Определение. Средняя фондоотдача AY_K – это средний продукт капитала, равный среднему количеству произведенного продукта единицей капитала:

.      (2.5)

Определение. Средняя производительность труда AY_L – это средний продукт труда, равный среднему количеству произведенного продукта единицей труда:

.      (2.6)

Увеличение затрат определенного  фактора производства приводит к  уменьшению его среднего продукта, что обусловлено вогнутостью ПФ.

Рассмотрим влияние  малого приращения потребляемого фактора  производства , на изменение производства конечного продукта ΔY. Для этого введем понятие предельного продукта i – ого фактора производства.

Определение. Предельный продукт i – ого фактора производства – это отношение приращения конечного продукта ΔY к величине вызвавшего его приращения затрат фактора производства .

Математически предельный продукт затрат фактора производства x_i определяется как первая производная продукта Y по затратам этого фактора x_i:

.    (2.7)

Для двух факторов затрат производства K и L, введем понятие предельной фондоотдачи МY_K и предельной производительность труда МY_L

Определение. Предельная фондоотдача МY_K или предельный продукт затрат фактора капитала – это первая производная конечного продукта Y по величине затраченного фактора капитала K:

.    (2.8)

Определение. Предельная производительность труда МY_L или предельный продукт фактора труда – это первая производная продукта Y по величине затраченного фактора труда L:

.    (2.9)

Предельные продукты факторов затрат производства всегда меньше соответствующих средних продуктов этих факторов. Это является следствием свойства вогнутости ПФ. В экономической области Ω, по определению, предельные фондоотдача МY_K и производительность труда МY_L являются положительными величинами. На внешней части границы экономической области эти показатели обращаются в нуль. Однако, средняя фондоотдача AY_K и производительность труда AY_L положительны и не равны нулю на границе экономической области.

Определение. Коэффициент эластичности (эластичность) конечного продукта по i – ому фактору затрат производства ε_i – это изменение производимого конечного продукта, выраженное в процентах, при увеличении затрат i – ого фактора производства на 1 %:

.     (2.10)

Эластичность конечного  продукта по i – ому фактору затрат производства можно выразить через средние и предельные продукты этого фактора затрат производства:

.    (2.11)

Предельный же продукт i – ого фактора затрат производства согласно (2.11) может быть определен по величинам ε_i и :

    (2.12)

В случае двух факторов затрат производства К и L, вводятся понятия коэффициентов эластичности конечного продукта по фондам и по труду :

.  (2.13)

Введение коэффициентов  и позволяет вычислить изменения выпуска конечного продукта при одновременном изменении величин затрачиваемых факторов производства.

Доступность множества технологий позволяет производителю изменять наборы факторов затрат производства при выпуске конечного продукта. Изменение набора этих факторов приводит, в общем случае, к изменению количества производимого конечного продукта. Однако существует бесконечное множество различных наборов факторов затрат производства, которым соответствует одинаковое количество произведенного конечного продукта. Это множество называют множеством безразличия производителя.

Изокванты.

В общем случае, множество безразличия производителя образует гиперповерхность равного выпуска конечного продукта. В частном случае набора факторов затрат производства «капитал-труд», множество безразличия образует линию равного выпуска или изокванту.

Определение. Изокванта Q(Y) – это множество точек x = (x₁, x₂, …, x_n) экономической области W таких, что f(x₁, x₂, …, x_n) = Y = const.

По определению, значение производственной функции f(x₁, x₂, …, x_n) на изокванте Q(Y) есть постоянная величина у. Каждая изокванта Q(Y) характеризуется определенным количеством произведенного конечного продукта Y.

Изокванты обладают следующими свойствами.

1. Изокванты не пересекаются. Это  свойство обусловлено свойством  единственности производственной  функции, т.е. единственностью  преобразования факторов производства в получаемый продукт.

2. Изокванты не пересекаются с осями координат. Действительно, по первому свойству ПФ, нулевая изокванта Q(0) совпадает с осями координат. Первое свойство изоквант делает невозможным пересечение двух изоквант Q(Y)и Q(0), если Y > 0.

Вдоль изокванты выпуск конечного продукта постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует.

Математически это означает, что  полный дифференциал ПФ на изокванте  равен нулю:

.

Соответственно для набора факторов затрат производства «труд – капитал» последнее выражение принимает следующий вид:

.

В частном случае двух факторов затрат производства изокванта задается следующим  образом:

Изокванты более удаленные от нулевой  точки (точки бездействия), характеризуются более высокими уровнями выпуска продукции.

Уравнение изокванты, определяющее связь  между затратами факторов труда  и капитала, которые необходимы для  производства заданного количества конечного продукта, имеет следующий вид:

.     (2.19)

В экономической области изокванты  всегда имеют отрицательный наклон - увеличение одного фактора затрат производства должно быть скомпенсировано  уменьшением другого фактора.

Предельная норма замещения  факторов производства

Определение. Предельная норма замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором равна дополнительному количеству j - ого фактора, которое компенсирует уменьшение i - ого фактора на единицу при постоянном уровне производства конечного продукта и постоянном потреблении других факторов затрат производства.

Рассмотрим перемещение точки  затрат факторов вдоль изокванты  при непрерывном замещении i - ого фактора j - ым фактором. Все остальные факторы затрат производства удерживаются на постоянном уровне. На изокванте Q(Y) выполняется условие следующего вида:

.

Раскладывая правую часть в ряд  Тейлора и, оставляя только линейные члены, получаем:

.

Приравнивая полученные выражения  друг к другу, окончательно находим соотношение на изокванте Q(Y) при замещении i - ого фактора j - ым фактором:

.

Предельная норма замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором определяется из последней зависимости:

.     (2.20)

Предельная норма замещения i - ого фактора затрат производства j - ым фактором монотонно уменьшается при увеличении i - ого фактора при фиксированном значении j - ого фактора. Это следует из свойства выпуклости производственной функции, согласно которому предельная эффективность использования i - ого фактора монотонно убывает с ростом его затрат.

Величина  может быть представлена также как отношение предельных эффективностей (продуктов) факторов затрат производства:

,     (2.21)

1.2 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ  ВЫЧИСЛЕНИЙ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Формулировка задания.

Провести статистический анализ данных, построить линейную и степенную формы производственных функций для заданного производственного процесса, а затем провести экономический анализ одной из построенных производственных функций.

Провести имитационные расчеты  вариантов планов при следующих  предположениях: выпуск базового периода составляет 10 единиц при трудозатратах, величину которых необходимо установить самостоятельно. Требуется увеличить выпуск в следующем периоде на 25%, а далее еще на 25%, причем предполагая, что затраты ресурса K не ограничены, а трудозатраты должны оставаться на прежнем уровне или уменьшиться на 10%.

Статистический анализ данных

Первый этап – анализ данных выборки.

Цель этого анализа – получение  подтверждения гипотезы о репрезентативности данных выборки.

Анализ данных по выборкам состоит  из следующих процедур:

• определение значений моды и медианы выборок, а также их минимальных и максимальных значений элементов;
• определение стандартных среднеквадратических отклонений каждой из выборок и
• определение дисперсий выборок;
• Z – тестирование выборок.

Числовые значения моды, медианы, минимума и максимума дают общие представления относительно структуры выборки:

• минимальное и максимальное значения не требуют специальных пояснений;
• медиана определяет середину выборки, т.е. указывает такое значение элемента в выборке, для которого половина оставшихся значений элементов не превосходит его, а вторая половина элементов выборки по своему значению больше его.

Z – тестирование выборки применяется для получения стандартной оценки каждого элемента выборки. Стандартные оценки позволяют проверить (оценить) принадлежность рассматриваемых наблюдений конкретной генеральной совокупности. При применении Z – тестирования априорно устанавливается правило оценки репрезентативности выборки, например, выборка считается репрезентативной, если в выборке не более 10% данных должны иметь вероятностные оценки менее 0,7 согласно Z – тесту.

Если приведенное правило не выполняется, то выборку считают  не представительной и соответственно дальнейший анализ проводить с такими данными нецелесообразно.

Второй этап – корреляционный анализ данных.

На этом этапе осуществляется парное сравнение выборки результирующего  показателя с выборками показателей, которые согласно теоретической  модели рассматриваются как факторные, а также проверяется степень  коррелируемости факторных показателей.

Для этих целей рассчитываются коэффициенты парной корреляции, которые изменяются от -1 до 1. Чем ближе значение коэффициента корреляции к указанным значениям, тем выше степень коррелируемости  соответствующих случайных величин.

Знак коэффициента парной корреляции указывает на характер взаимосвязи  случайных величин: «+» - прямая зависимость; «-» - обратная зависимость.

Аналогично поступают с факторными показателями, для которых коэффициенты корреляции очень близки к нулю. Их исключают из дальнейшего рассмотрения исходя из того, что соответствующие случайные величины слабо коррелируемы и, следовательно, в качестве факторных не могут быть использованы.

Для оценки тесноты связи между  двумя выборками как множествами  данных рассчитывают коэффициенты ковариации, на основе значений которых делается вывод о том, насколько сильно влияние того или иного факторного показателя на результирующий.

И в заключении рассчитывают безразмерные коэффициенты Пирсона, на основе которых  оценивается степень линейной зависимости между двумя множествами данных (выборками). Т.е. значения этих коэффициентов позволяют сделать вывод о возможности и целесообразности использования линейной формы регрессионной взаимосвязи между результирующим и факторными показателями.

Построение линейной и степенной формы производственных функций для заданного производственного  процесса

Третий этап – регрессионный анализ.

Перед построением многофакторной регрессионной зависимости целесообразно  еще раз убедиться в правильности выбора факторных показателей для  моделирования производственной функции.

Для этого используется анализ по F – критерию. F – критерий – это результат дисперсионного анализа, позволяющий сделать вывод о степени влияния каждого фактора в совокупности выбранных для регрессионного моделирования на результирующий показатель. Чем больше влияние фактора на результирующий показатель, тем больше значение F – критерия.

В результате анализа по F – критерию ряд факторов, первоначально включенных в регрессионную зависимость, может быть исключен из-за слабой степени их влияния на результирующий показатель, что позволяет упрощать форму производственной функции.

После этого, используя метод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионная зависимость результирующего показателя от оставшихся после предшествующих шагов анализа факторных показателей.

Далее рассчитывается F – статистика. Последняя в совокупности с вспомогательной характеристикой степени свободы позволяет по стандартны таблицам критических значений F – критерия определить насколько установленная между факторами взаимосвязь случайна, т.е. определяет уровень надежности регрессионной модели: чем больше превышает наблюдаемая (расчетная) F – статистика табличное значение, тем надежнее построенная регрессионная модель.

 

Построение и анализ производственной функции.

В таблице приведена последовательность статистических расчетов, необходимых  для построения и выбора аналитической формы производственной функции.

 

Исходные данные						Z - тест
n	Y	K	L			Y	K	L
1	201,6	3,45	10,11			0,0000	0,0005	0,0000
2	202	3,48	13,65			0,0002	0	0,6376
3	202,6	3,06	13,75			0,0086	0,0000	0,7096
4	201,8	3,66	11,64			0,0000	0,0467	0,0001
5	203,3	3,79	12,87			0	0	0,1134
6	203,4	3,85	12,43			0	0,4236	0,0184
7	204,7	3,44	14,33			0,9592	0,0003	0,9566
8	204,3	4,08	15,26			1	0,9458	1
9	204,5	4,5	15,9			1	1,0000	1,0000
10	203,9	4,31	18,21			0,5676	0,9997	1,0000
11	202,7	3,57	13,22			0,0144	0	0,3056
12	205,8	3,55	13,45			1	0	0,4808
13	209,5	4,61	12,22			1,0000	1	0,0061
14	204,3	3,99	12			0,8304	0,8163	0
15	202,8	4,78	13,07			0	1	0,2094
Числовые характеристики выборок						Коэффициенты парной корреляции
Min	201,6	3,06	10,11			Y	0,462	0,145
Max	209,5	4,78	18,21			K		0,283
Медиана	203,4	3,79	13,22			Коэффициенты Пирсона
Ср. откл.	1,972	0,495	1,936			Y	0,214	0,021
Дисперс.	3,888	0,246	3,747			K		0,080
						F - тест
						Y	0,000	0,946
						K		0,000
			Линейная регрессия			Степенная регрессия
Коэффициенты регрессии			6,067	30,957		0,003	0,034	5,263
Стандартные ошибки коэффициентов			2,682	9,346		0,018	0,020	0,048
Коэффициент детерминации			0,990			0,214
Стандартная ошибка		Y	21,997			0,009
F - статистика			637,402			1,633
Степени свободы			13			12
Уравнение линейной регрессии					Уравнение степенной регрессии
Y = 6,067L + 30,957K

Экономический анализ производственной функции

 

Структуру экономического анализа  производственной функции продемонстрируем на примере линейной производственной функции, имеющей следующий вид:

 

Y = 30,957K + 6,067L

 

Определяем масштаб  производственной функции

Поскольку функция имеет линейную форму, очевидно, что при изменении  масштаба факторов производства масштаб Y изменится на такую же величину.

Строим графики «затраты – выпуск»

Последовательно элиминируется фактор L, а затем фактор K и рассматриваются зависимости Y от K и L.

Фиксируем три значения фактора, например, L = 2, 3 и 4. Соответственно получим следующие уравнения:

Y = 30,957K + 12,134

Y = 30,957K + 18,21

Y = 30,957K + 24,28

Графики данных уравнений строятся в системе координат «K0L».

Рис. 1

Аналогично необходимо построить  графики для фиксированных значений другой независимой переменной –  фактора производства K.

Фиксируем три значения фактора, например, К = 2, 3 и 4. Соответственно получим следующие уравнения:

Y = 61,914 + 6,067L

Y = 92,871 + 6,067L

Y = 123,828 + 6,067L

Графики данных уравнений строятся в системе координат «K0L».

Рис. 2

Определяем значения среднего и предельного продуктов  факторов производства.

Средняя фондоотдача AY_K и средняя производительность труда AY_L соответственно равны:

Предельная фондоотдача MY_K и предельная производительность труда MY_L равны:

 

Для линейной производственной функции  предельные продукты факторов производства K и L постоянны.

Определяем коэффициенты эластичности выпуска продукта по факторам производства.

Коэффициенты эластичности выпуска  продукта по факторам производства K и L рассчитываются по следующим зависимостям:

Осуществляется построение изоквант рассматриваемой модели

Для построения изоквант необходимо зафиксировать некоторые значения выпуска продукта у (не более четырех значений). Уравнение изокванты Q(Y) ЛПФ имеет вид: , где a, b – коэффициенты выражения линейной производственной функции. Семейство изоквант данной ПФ представляет собой параллельные прямые с угловым коэффициентом – b/a.

Семейство изоквант для выбранных  фиксированных значений выпуска  продукта у необходимо построить в системе координат «L0K».

 

           Рис. 3

Определяем предельную норму замещения труда капиталом и эластичность замещения труда капиталом.

Предельная норма  замещения труда капиталом для  линейной производственной функции  есть величина постоянная и равная:

Эластичность замещения труда  капиталом s линейной производственной функции равна бесконечности, т.к. = const.

Проводим имитационные расчеты  планируемых вариантов изменения  производства.

Фрагмент таких  расчетов выглядит следующим образом.

Допустим, что  в базовом периоде выпускалось 10 ед. продукции, т.е. Y₀ = 10 ед.

Планируется в  следующем периоде увеличить  объем выпуска на 25%, т.е. выпустить 12,5 ед.

Предполагается, что ограничений по ресурсам нет (K - это затраты основных производственных фондов (ОПФ), а L - ресурсы трудозатрат).

Так как в рассматриваемой  экономической системе имеет  место постоянная отдача от расширения производства, то очевидно, что для  планового периода следует планировать  затраты ресурсов пропорциональные затратам в базовом периоде.

Если в базовом  периоде на выпуск 10 ед. израсходовалось 5 ед. стоимости ОПФ и соответственно -23,87 единиц трудозатрат, то в плановом периоде их потребуется следующее количество:

• затрат фактора производства K: ед.;
• затрат фактора производства L: ед.

Объем выпуска продукта при этом составит:

Средние продукты факторов производства капитала и труда в плановом периоде  будут такие же, как и в предыдущем и равны: средняя фондоотдача AY_K = 1.99; средняя производительность труда AY_L = -0.403.

Не изменятся в плановом периоде и эластичности продукта по факторам производства. Также останутся постоянными  предельная норма замещения труда капиталом и эластичность замещения труда капиталом.

Заключение

Для моделирования функционирования производственных систем используются производственные функции, функции затрат и производственные способы. Функции затрат являются своего рода «обратными функциями» по отношению к производственным функциям и отражают зависимость объема затрат факторов производства от величины выпуска.

Производственные  функции, и функции затрат используются для описания таких производственных систем, в которых производится один вид конечного продукта и при  этом затрачивается несколько видов  ресурсов. Для моделирования производственных систем, производящих несколько конечных продуктов используются другие методы, среди которых наиболее распространенным является метод, основанный на концепции производственного способа.