Методика обучения решению текстовых задач

Оглавление 

Введение………………………………………………………………………………………….3

Глава I. Педагогические особенности при обучении решению задач…………………...5

1.1. Задача и её функции………………………………………………………………………...5

1.2 Задачи в истории математического образования в России………………………………..6

1.3 Педагогические основы в обучении решению задач……………………………………...7

Глава II. Методика обучения решению текстовых задач………………………………..10

2.1. Понятие текстовая задача…………………………………………………………………10

2.2 Сущность и структура решения текстовой задачи……………………………………….12

2.3 Классификация текстовых задач…………………………………………………………..17

2.4 Обучение учащихся решению текстовых задач методом составления уравнений…….22

2.5 Этапы решения текстовых задач с помощью уравнений………………………………...26

Заключение…………………………………………………………………………………….36

Список литературы…………………………………………………………………………...37

Введение 

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Именно задачи являются тем средством, которое в значительной степени направляет и стимулирует учебно-познавательную активность учащихся.

В обучении математике задачи выступают как цель и средство обучения. Этим определяется их место в процессе обучения математике. Задачи служат также основным дидактическим целям, формируют систему знаний, творческое мышление учащихся, способствуют развитию интеллекта и выполняют познавательную роль в обучении.

Педагогами и методистами признано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой деятельности учащихся в процессе изучения математики, одним из основных средств их математического развития.

Разработкой методики обучения решению текстовых задач занимались такие учёные, как Ю.М.Колягин, Д.Пойа, А.А.Столяр и другие.

В последние годы самые сильные отрицательные эмоции у учащихся на уроках математики вызывает задание решить задачу. Примерно половина из них на контрольной работе или экзамене даже не приступает к решению текстовых задач.

Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и КАК это делать? Эти и другие подобные вопросы все чаще возникают в современной школе. Именно поэтому эта проблема показалась одной из актуальных на сегодняшний день.

Не прекращаются поиски эффективной методики обучения решению текстовых задач в общеобразовательной школе. Решение задач в математическом образовании занимает огромное место.

Решение задач с помощью уравнений ставит перед учащимися много различных проблем, в том числе проблему по отысканию той величины, которую надо обозначить переменной «х».

На первых этапах обучения у них нет опыта, нет никаких ориентиров, что приводит к тупику в решении и потере времени.

Цель курсовой работы: рассмотреть методику работы над задачами, которые решаются методом составления уравнений.

Задачи курсовой работы:

1)  изучить методическую литературу с целью определения общих этапов решения задачи с помощью составления уравнения;

2)  разработать практические материалы, реализующие этапы решения задачи;

3)  проверить доступность для учащихся методических материалов.

Глава I. Педагогические особенности при обучении решению задач

1.1 Задача и ее функции

Обучение решению задач учащимися рассматривается как один из основных методов обучения математике.

Процесс решения задач, как сложный аналитико-синтетический процесс, тесно связан с формированием таких приемов мышления, как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т.д. Решение текстовых задач, как и решение вообще математических задач. Воспитывает волю, приучает к систематическому умственному труду, к самоконтролю, развивает сообразительность. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений.

Решение задач формирует у учащихся такие общеучебные умения, как умение планировать свою деятельность, внимательно воспринимать учебную информацию, мотивировать каждый шаг деятельности, рационально оформлять результаты своих действий, осуществлять самоконтроль и пр. Отсюда вытекают цели обучения решению задач.

В методике обучения решению задач выделяют четыре их основных функции – обучающая, воспитывающая, развивающая и контролирующая.

Обучающая функция задач направлена на формирование у учащихся системы математических знаний, умений и навыков в процессе их усвоения.

Воспитывающая функция задач направлена на воспитание у учащихся интереса к предмету, навыков учебного труда.

Развивающая функция задач направлена на развитие мышления учащихся. На формирование у них приемов умственной деятельности.

Контролирующая функция задач направлена на определение уровня усвоения учащимися учебного материала, способности их к самостоятельному изучению школьного курса математики, уровня развития и сформированности познавательных интересов школьников.

Функции задач в обучении взаимосвязаны, однако в каждом конкретном случае выделяется и реализуется ведущая функция задачи в соответствии с целевой установкой ее применения.

Умение решать задачи не находится в прямой зависимости от числа решенных задач, поэтому в психолого-дидактических и методических исследованиях отдается предпочтение приемам формирования общих подходов к задаче как объекту ее изучения, ее анализу. 

1.2 Задачи в истории математического образования в России

С древнейших времен люди сталкивались с необходимостью решения различных практических задач. Приходилось отыскивать способы их решения. Т.о., текстовые задачи изначально были «движущей силой» развития математики.

Математические знания были связаны с практическими нуждами людей: летоисчислением, вычислением поголовья и стоимости скота, определением прибыли от урожая и т.д. Древнейшая русская математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом. Автором этой рукописи был новгородский дьякон и «чистолюбец» Кирик. Записки содержат задачи на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня отворения мира, вычисление размеров Солнца и Луны по астрономическим данным. Измерение земель, военное дело, развивающиеся торговые отношения – все требует прикладных математических знаний.

В XVI – XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература. В основном она предназначалась для купцов, ремесленников, землемеров и носила сугубо практический характер. Материалы в этих математических трудах распределялись по статьям, содержащим указания, как надо поступать при решении тех или иных задач. Правила пояснялись различными примерами и задачами.

Рукописи XVI – XVII веков послужили основой для создания учебной литературы XVIII века. Многие задачи перешли в учебники по арифметике и алгебре в XVIII век из старых рукописей, некоторые задачи сохранились до наших дней.

Проводимые Петром I реформы государственной, общественной и культурной жизни страны затронули и образование. Для вновь созданных учебных заведений нужны были учебники. В 1703 году был создан учебник математики, автором которого был замечательный педагог-математик Леонтий Филиппович Магницкий, а назывался он «Арифметика, сиречь наука числительная…», прослужившая в качестве школьного учебника почти до середины XVIII века. Задачи, так или иначе, сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Целый пласт фольклорного наследия русского народа – это загадки. Но что такое загадка? Это задача в стихах, решение которой требует внимания, сообразительности, логики, а иногда и чисто математических знаний.

Текстовые задачи постоянно привлекают внимание математиков, педагогов и психологов. Теорией задачи в России занимались такие исследователи как В.И. Крупич,

Л.М. Фридман и др. В настоящее время задаче уделяется большое внимание как основному средству обучения, как средству контроля знаний, умений и навыков учащихся, как средству гуманизации и гуманитаризации образования.

 
1.3 Педагогические основы в обучении решения задач 

В обучении математике роль задач определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащихся методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач. Таким образом, решение задач в обучении математике выступает и как цель, и как средство обучения. Важнейшей функцией решения задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач. Общее умение по решению задач следует отличать от частных умений решения задач определенного вида. В основе частных умений лежит изучаемые учащимися частные методы (алгоритмы и эвристические схемы) решения задач данного вида. Считается, что общие умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа задач. «Если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» – советует Д. Пойа. Следуя этому совету, учителя предлагают учащимся огромное количество задач и затрачивают на их решение не менее половины всего учебного времени. А результаты этой работы более чем скромные: большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят: «А мы такие не решали».

Общие знания о задачах и механизмах их решения нужны для того, чтобы решение задач приносило наибольший познавательный эффект, чтобы процесс их решения превратился в подлинный метод обучения учащихся определенным знаниям и навыкам.

Каковы же знания, которые должны быть усвоены учащимися о задачах и их решении?

Это общие представления о задачах и процессах их возникновения из реальных и абстрактных проблемных ситуаций; о составных частях и структуре задач; об основных видах задач в зависимости от характера объекта и требований задачи; общие представления о сущности процесса решения задач и конкретизация их в отношении каждого вида задач; о структуре и этапах процесса решения задач.

Главное – сформировать такой общий подход к решению задач, когда задача рассматривается как объект для анализа, для исследования, а ее решение – как конструирование и изобретение способа решения. Это осуществляется в процессе обучения математике с помощью основополагающих принципов дидактики. Действительно, в обучении реализуются следующие принципы:

1.  Принцип научности отражает взаимосвязь с современным научным знанием. Этот принцип воплощается в отборе изучаемого материала, в порядке и последовательности введения научных понятий в учебный процесс.

Принцип научности нацеливает учителя на вовлечение школьников в проведение анализа результатов собственных наблюдений, в самостоятельное их (результатов) исследование.

2.  Принцип систематичности и последовательности придает системный характер учебной деятельности, теоретическим знаниям, практическим умениям учащегося. Этот принцип предполагает усвоение знаний в определенном порядке, системе. Требование систематичности и последовательности в обучении нацелено на сохранение преемственности содержательной и процессуальной сторон обучения, при которых каждый урок –это логическое продолжение предыдущего как по содержанию изучаемого учебного материала, так и по характеру, способам выполняемой учениками учебно-познавательной деятельности.

При решении задачи с помощью уравнения может усложняться характер взаимосвязи между элементами условия задачи, уравнения по мере того, как изучается новый материал и ученик приобретает новые знания, умения.

3.  Принцип связи обучения с практикой предусматривает, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач, анализировать и преобразовывать окружающую действительность. Для этого используется анализ примеров и ситуаций из реальной жизни, соотнесение с жизненными ситуациями условия задачи, анализ условия задачи.

4.  Принцип доступности требует учета особенностей   развития учащихся, анализа материала с точки зрения их реальных возможностей и такой организации обучения, чтобы они не испытывали интеллектуальных, моральных, физических перегрузок.

Доступность должна заключаться в обучении учащихся новому материалу, опираясь на их знания, опыт, особенности мышления. Например, при решении задач с помощью составления уравнений учащиеся должны уметь решать прежде всего сами уравнения.

5.  Принцип наглядности означает, что эффективность обучения зависит от целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала. В процессе обучения используются наглядные средства: модели, рисунки, схемы и т.п. Виды, наглядности, которые могут быть использованы при решении задач, это:

ü  экспериментальная наглядность (опыты, эксперименты);

ü  символическая и графическая наглядность (графики, схемы и т.п.);

ü  внутренняя наглядность (образы, создаваемые речью учителя).

Однако использование наглядности должно быть в той мере, в какой она способствует формированию знаний и умений, развитию мышления. Так, при решении задачи, ученик должен переходить от образного представления процессов, описываемых в ней, к их записи с помощью схем, графиков и оперировать уже со знаками и символами.

Глава 2. Методика обучения решению текстовых задач

2.1 Понятие «текстовая задача»

Что такое задача?

Решению текстовых задач уделяется огромное внимание. Связано это с тем, что такие задачи часто являются не только средством формирования многих математических понятий, но и главное – средством формирования умений строить математические модели реальных явлений, а также средством развития мышления детей.

Существуют различные методические подходы к обучению детей решению текстовых задач. Но какую бы методику обучения не выбрал учитель, ему надо знать, как построены такие задачи, и уметь их решать, прежде всего, арифметическими способами.

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того, чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких основных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Итак, что же такое задача? Любая текстовая задача представляет собой описание какого-либо явления (ситуации, процесса). С этой точки зрения текстовая задача есть словесная модель явления (ситуации, процесса). И, как во всякой модели, в текстовой задаче описывается не все явление в целом, а лишь некоторые его стороны, главным образом, его количественные характеристики.

Направление анализа задачи

Рассмотрим, например, такую задачу: «Автомобиль выехал из пункта А со скоростью 60 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А второй автомобиль догонит первый?» В задаче описывается движение двух автомобилей. Как известно, любое движение характеризуется двумя величинами: пройденным расстоянием, скоростью и временем движения. В данной задаче известны скорости первого и второго автомобилей (60 км/ч и 90 км/ч), известно, что они прошли одно и то же расстояние от пункта А до места встречи, количественную характеристику которого и надо найти. Кроме того, известно, что первый автомобиль был в пути на 2 ч больше, чем второй. Обобщая, можно сказать, что текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Чтобы выявить, как построена текстовая задача, рассмотрим следующий пример: «Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?»

В задаче речь идет о свитере, шапке и шарфе. Это объекты задачи. Относительно этих объектов имеются определенные утверждения и требования.

Утверждения:

1.  Свитер, шапка и шарф связаны из 1200 г шерсти.

2.  На шарф израсходовали на 100 г больше, чем на шапку.

3.  На шапку израсходовали на 400 г меньше, чем на свитер.

Требования:

1.  Сколько шерсти израсходовали на свитер?

2.  Сколько шерсти израсходовали на шапку?

3.  Сколько шерсти израсходовали на шарф?

Утверждения задачи называют условиями. В задаче обычно не одно условие, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требований в задаче может быть несколько. Они могут быть сформулированы как в вопросительной, так и утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны.

По отношению между условиями и требованиями различают:

а) определенные задачи – в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований;

б) недоопределенные задачи – в них условий недостаточно для получения ответа;

в) переопределенные задачи – в них имеются лишние условия.

Недоопределенные задачи считают задачи с недостающими данными, а переопределенные – задачами с избыточными данными.

Например, задача «Возле дома росло 5 яблонь, 2 вишни и 3 березы. Сколько фруктовых деревьев росло возле дома?» является переопределенной, так как содержит лишнее условие. Задача «Из зала вынесли 12 стульев, а потом еще 5. Сколько стульев осталось в зале?» является недоопределенной – в ней недостаточно условий, чтобы ответить на поставленный вопрос. Чтобы понять, какова структура задачи, надо выявить ее условия и требования, отбросив все лишнее, второстепенное, не влияющее на ее структуру. Иными словами, надо построить высказывательную модель задачи. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи.

Чтобы получить эту модель, надо текст задачи развернуть (сделать это можно письменно или устно), так как текст задачи, как правило, дается в сокращенном, свернутом виде. Для этого можно перефразировать задачу, построить ее графическую модель, ввести какие-либо обозначения и т.д. Анализ задачи и вычисление ее условий и требований можно производить с разной глубиной. Глубина анализа зависит от того, знакомы ли мы с видом задач, к которому принадлежит заданная, и знакомы ли с общим способом решения этих задач. Если да, то нам достаточен простейший анализ, сводящийся к установлению вида данной задачи; если нет, то для нахождения решения задачи нужен более глубокий анализ.

 
 
2.2 Сущность и структура решения текстовой задачи.

Если под процессом решения задач понимать процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним их которых и является изложение решения. Из каких же этапов состоит процесс решения задачи? Очевидно, получив задачу, первое, что нужно сделать, - это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т.е. провести первичный анализ задачи. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск решения составляет третий этап процесса решения.

Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это будет уже четвертый этап процесса решения – этап осуществления (изложения) решения.

После того, как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет и при том сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи, - это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных и познавательных целях полезно также провести анализ выполненного решения, в частичности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.т. Все это составляет последний, конечно, не обязательный, восьмой этап решения.

Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап – анализ  задачи;

2-й этап – схематическая  запись задачи;

3-й этап – поиск  способа решения задачи;

4-й этап – осуществление  решения задачи;

5-й этап – проверка решения задачи;

6-й этап – исследование  задачи;

7-й этап – формулирование  ответа задачи;

8-й этап – анализ  решения задачи.

Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе. Приведем пример решения задачи, показав конкретно этот процесс.

Лодка прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратный путь она совершила за 8 ч. За сколько времени пройдет расстояние между пристанями плот, пущенный по течению реки?

1.  Анализ задачи.

В задаче речь идет о двух объектах: лодка и плот. Лодка имеет какую-то собственную скорость, а река, по которой плывет и лодка, и лот, имеет определенную скорость течения. Именно поэтому лодка совершает путь между пристанями по течению реки за меньшее время (6 ч), чем против течения (8 ч). Но эти скорости (собственная скорость лодки и скорость течения реки) в задаче не даны (они неизвестны), так же как неизвестно расстояние между пристанями. Однако требуется найти не эти неизвестные скорости и расстояния, а время, за которое плот проплывет неизвестное расстояние между пристанями.

2.  Схематическая запись задачи.

3.  Поиск способа решения задачи.

Нужно найти время, за которое плот проплывает расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они неизвестны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой s (км), а скорость течения реки примем равной а км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна V км/ч. Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4.  Осуществление решения задачи.

Итак, пусть расстояние АВ равно s км, скорость течения реки а км/ч, собственная скорость лодки V км/ч, а искомое время движения плота на пути в s км равно х ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна (V + a) км/ч. За 6 ч лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в s км. Следовательно,

6 (V + a) = s

Против течения эта лодка идет со скоростью (V - a) км/ч и путь АВ в s км она пройдет за 8 ч, поэтому

8 (V - a) =s

Наконец, плот, плывя со скоростью а км/ч, покрыл расстояние s км за х ч, следовательно,

ах = s

Уравнения (1), (2), (3) образуют систему уравнений относительно неизвестных s, а, V и х. Так как требуется найти лишь х, то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем:

V + а = , V – a = .

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

2а =  - , отсюда а = .

Поставим найденное выражение для а в уравнение (3): 

· х = s.

Так как, очевидно, s не равно 0, то можно обе части полученного уравнения разделить на s. Тогда найдем: х = 48.

5.  Проверка решения.

Итак, мы нашли, что плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна  км/ч. Скорость же лодки по течению равна  км/ч, а против течения  км/ч. Для того, чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

1)  от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки,

т.е.  - ;

2)  к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки,

т.е.  + .

Произведя вычисления, получаем верное равенство: 

= .

Значит, задача решена правильно.

6.  Исследование задачи.

В данном случае этот этап решения не нужен.

7.  Ответ:

плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.

8.  Анализ решения.

Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было нам лишь одно из этих неизвестных. Поэтому, естественно, возникает мысль, что проведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против – за 8 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит  часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними ( -  = ) есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит. Плот за 1 ч проплывет  часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

При таком решении не понадобилось составлять систему уравнений. Однако, несомненно, это решение сложнее приведенного выше, хотя бы потому, что не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки. Часто эту разность принимают не за удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотом за 1 ч, а за скорость плота.

Таким образом, структура процесса решения задачи зависит в первую очередь от характера задачи и, конечно, от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу.

Приведенная выше схема решения задач является лишь примерной. При фактическом решении указанные там этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Так, в процессе анализа задачи обычно производится и поиск решения. При этом полный пан решения устанавливается не до осуществления решения, а в процессе. Тогда поиск решения ограничивается лишь нахождением идеи решения. Порядок этапов также иногда может меняться.