Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Методика обучения решению задач на доказательство неравенств в курсе алгебры базовой школы

Калужский Государственный Университет

им.К.Э.Циолковского

Курсовая робота по Теории и методики преподавания математики на тему:

Методика обучения решению задач на доказательство неравенств в курсе алгебры базовой школы.

Содержание:

Введение

Часть 1. Теоретические основы доказательства неравенств.

1.Особенности изучения неравенств в школьном курсе.

2.Сущность доказательства неравенств.

Часть 2. Практическое применения метода доказательства неравенств в школьной практике (8кл)

1.Примеры доказательства неравенств.

2.Конспект урока.

3. «Доказательство неравенств» в школьном курсе математики (Ю.Н. Макарычев).

4.Заключение

Список использованной литературы.

Введение.

В программе по алгебре базовой школы, в разделе «Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств», которая, к сожалению, освещена минимально.

Доказательства неравенств на базовом уровне рассматривается в 8 классе в начале изучения темы «Неравенство». Обучающиеся доказывают неравенства самым простым способом, находя разность двух выражений. В дальнейшем неравенства доказываются, в лучшем случае на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

На страницах новых учебников, по которым изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).

Задачи, решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, - частые гости на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки этих элементарных звеньев – рассуждений выходят за рамки методов и приемов школьного курса. Тем более, что процесс получения и изучения неравенств и их приложений неформален и мало алгоритмизуем.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Теоретические основы доказательства неравенств.

1.Особенности изучения неравенств в школьном курсе.

Неравенства играют важную роль в курсе математики средней школы. Это сравнительно новая тема, которая ранее не входила в школьный курс математики и, на данном этапе, недостаточно разработана.

Современные школьники начинают знакомиться с неравенствами еще в начальной школе, где используются задания вида: «сравнить числа», «сравнить значения выражений», «сравнить выражения не вычисляя их значения», решают логические задачи, предполагающие составление числовых неравенств.

Далее содержание темы «Неравенства» постепенно углубляется и расширяется. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах - 38%.

В школьном курсе алгебры изучаемы классы неравенств можно разбить на группы.

Группы неравенств

Рациональные неравенства

Иррациональные

неравенства

Трансцендентные неравенства

Целые рациональные

Дробные рациональные

Показательные неравенства

Логарифмические неравенства

Тригонометрические неравенства

Неравенства повы-шенной сложности

Первая группа получает достаточное развитие, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы.

Остальные же группы неравенств в этом курсе только начинают изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и началах анализа 10-11 классов. Изучаются только неравенства основных классов, кроме того, ряд задач из школьного курса сводятся к составлению и решению неравенств: нахождение области определения функции; исследование функции (монотонность, ограниченность функции).

При изучении неравенств значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных задач. На начальных этапах изучения курса алгебры эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. Затем, по мере накопления опыта решения неравенств различных классов, все большую роль приобретает дедуктивное обоснование процесса решения.

Наконец, достигнутый уровень владения различным способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования: равносильность и логическое следование.

2.Сущность доказательства неравенств.

Задачи на доказательство неравенств особенные. Конкретных особых подходов здесь нет. Одно и тоже неравенство можно доказать различными способами. Разберем теперь свойства и наиболее часто встречающие приемы установления истинности неравенств с переменными, продемонстрировав соответствующие идеи и методы на конкретных примерах.

Основные свойства числовых неравенств

1.Если, а>b и c>d, то а+c>b+d.

Доказательство:

По условию а>b и c>d,значит а-c и b-d положительные числа. Тогда и их сумма (а-c) + (b-d) положительное число. Так как

(а-c) + (b-d)= (а+c) - (b+d), тогда (а+c) - (b+d) – положительное число. Поэтому, а+c >b+d.

2. Если a > b, a b > c, то, а > с.

Геометрически это свойство состоит в следующем. Пусть точка А (соответствующая числу а) лежит правее точки В (соответствующей числу b), а точка В, в свою очередь, лежит правее точки С (соответствующей числу с). Тогда точка А и подавно будет лежать правее точки С (рис. 21).

Приведем алгебраическое доказательство этого свойства неравенств.

Пусть, а > b, a b > с. Это означает, что числа (а — b) и (b— с) положительны. Сумма двух положительных чисел, очевидно, положительна. Поэтому (а — b) + (b— с) > 0, или а — с > 0. Но это и означает, что а > с.

3. Если, а > b, то для любого числа с а + с > b + с, а — c > b — с.

Иными словами, если к обеим частям числового неравенства прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число, то неравенство не нарушится.

Доказательство. Пусть а > b. Это означает, что а — b > 0. Но а — b = (а + с) — (b + с). Поэтому (а + с) — (b + с) > 0. А по определению это и означает, что а + с > b + с. Аналогично показывается, что а — c > b — с.

Например, если к обеим частям неравенства 5 > 4 прибавить 1¹/₂, то получим
6¹/₂> 5¹/₂. Отнимая от обеих частей данного неравенства число 5, получим 0 > — 1.

Следствие. Любое слагаемое одной части числового неравенства можно перенести в другую часть неравенства, поменяв знак этого слагаемого на противоположный.

Пусть, например, а + b > с. Требуется доказать, что а > с — b. Для доказательства от обеих частей данного неравенства достаточно отнять число b.

4. Пусть а > b. Если с > 0, то аc > bc. Если же с < 0, то ас < bс.

Иными словами, если обе части числового неравенства умножить на положительное число, то неравенство не нарушится;
если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Неравенство сохраняется при почленном умножении на положительное число и изменяет знак на противоположный при почленном умножении на отрицательное число.

Например, умножив неравенство 5 > 1 почленно на 7,

получим 35 > 7. Почленное умножение того же неравенства на — 7 дает — 35 < — 7.

Доказательство..

Пусть а > b. Это означает, что число а — b положительно. Произведение двух положительных чисел а — b и с, очевидно, также положительно, т. е. (а — b) с > 0, или
ас — bс > 0. Поэтому ас > bс.

Аналогично рассматривается случай, когда число с отрицательно. Произведение положительного числа а — b на отрицательное число с, очевидно, отрицательно, т. е.
(а — b) с < 0; поэтому ас — bс < 0, откуда ас < bс.

Следствие. Знак неравенства сохраняется при почленном делении на положительное число и изменяется на противоположный при почленном делении на отрицательное число.

Это вытекает из того, что деление на число с =/= 0 равносильно умножению на число¹/_c.

Свойство 5.

При умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части — положительные числа, получится неравенство того же смысла.

Свойство 6. Если а и b — неотрицательные числа и а > b, то аⁿ> Ьⁿ, где n — любое натуральное число.

Смысл свойства 6 заключается в следующем: если обе части неравенства — неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства.

Дополнение к свойству 6. Если n — нечетное число, то для любых чисел а и b из неравенства а > b следует неравенство того же смысла аⁿ> bⁿ.

Практическое применения метода доказательства неравенств в школьной практике

1.Примеры доказательства неравенств.

Пример 1. Пусть а и b — положительные числа и а > b.
Доказать, что

Решение. Рассмотрим разность

Имеем
По условию, а, b, а - b — положительные числа. Значит, — отрицательное число, т.е. , откуда следует, что

Пример 2. Пусть а — положительное число. Доказать, что
Решение.

Получили неотрицательное число, значит,
Заметим, что

Пример 3. Пусть а и b неотрицательные числа.
Доказать, что
Решение. Составим разность левой и правой частей неравенства. Имеем

Число называют средним арифметическим чисел а и b число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство, доказанное в примере 3, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Доказанное
неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX века Огюста Коши.

Замечание 2. Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b (рис. 116). В геометрии доказано, что

(так что не случайно для этого выражения ввели термин «среднее геометрическое»). А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из
геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз и равна половине гипотенузы. Таким
образом, неравенство Коши означает, что медиана, проведенная к гипотенузе (т. е. ), не меньше высоты, проведенной к гипотенузе

(т.е. ), — очевидный геометрический факт (см. рис. 116). Свойства числовых неравенств позволяют сравнивать действительные числа по величине, оценивать результат.

Пример 4. Сравнить числа:

Решение,

а) Поставим между сравниваемыми числами знак < ; интуиция подсказывает, что первое число меньше второго. Если в результате правильных (т. е. строгих, основанных на свойствах числовых неравенств) рассуждений мы получим верное неравенство, то наша догадка подтвердится.

Если же в результате правильных рассуждений мы получим неверное неравенство, то между заданными числами надо было поставить не знак <, а знак > (или = , если окажется, что числа равны).

Итак, мы считаем, что • Тогда, согласно свойству 6, , т. е. 5 < 7. Это верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: .
б) Поставим между сравниваемыми числами наугад знак > (тут уже действительно наугад, поскольку интуиция здесь не поможет), т. е. предположим,

что • Возведя обе части неравенства в квадрат и используя свойство 6,

получим

Воспользовавшись свойством 2, прибавим к обеим частям этого неравенства число -9; получим

Решение, а) Умножив все части двойного неравенства 2,1<а< 2,2 на одно и то же положительное число 2, получим
2 • 2,1 < 2а < 2 • 2,2, т. е. 4,2 <2а< 4,4.
б) Умножив все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8 на одно и то же отрицательное число - 3, получим неравенство противоположного смысла:
- 3 • 3,7 > - Зb > - 3 • 3,8, т. е. - 11,4 < - 36 < - 11,1 (вместо записи вида а > b > с мы перешли к более употребительной записи с <b < а).

в) Сложив почленно заданные двойные неравенства одинакового смысла, получим

г) Сначала умножим все части двойного неравенства 3,7 < b < < 3,8 на одно и то же отрицательное число -1; получим неравенство противоположного смысла
- 3,7 > - b > - 3,8, т. е. - 3,8 < - b < - 3,7.
Далее имеем

д) Поскольку все части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 положительны, возведя их в квадрат, получим
2,1²<а²<2,2², т. е. 4,41 < а²< 4,84.
е) Возведя в куб все части двойного неравенства 3,7 < b < 3,8, получим
3,7³< b³< 3,8³, т. е. 50,653 < b³< 54,872.

ж) В примере 1 мы установили, что если а и b— положительные числа, то из неравенства а < b следует неравенство противоположного смысла . Значит из двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 следует, что

Мы разобрали случаи использования доказательства неравенств в школьной практике.

2.Конспект урока.

Тип учебного занятия:
“Изучение и первичное закрепление новых знаний”

Этапы занятия:

1.Актуализация опорных занятий.(10мин)

2.Усвоение новых знаний и способов действий.(15мин)

3.Первичное закрепление знаний и способов действий.(10)

4.Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.(10)

5.Подведение итогов занятий.(1мин)

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.

а) С помощью неравенств сравниваются большие и малые величины;
b) Вопрос:
- С помощью какого приема мы умеем доказывать неравенство вида a<b?
Ответ:
- Один из приемов доказательства неравенства a<b (a>b) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0);
c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши.
“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:

Доказать:

Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

Не отрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.

Значит, – верное неравенство.

a) Вопрос:

- Попробуем сформулировать другой прием.
Ответ (учитель помогает ответить на вопрос):
- Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства:
(a-b)² 0, (a+b)² 0 или неравенства Коши , при а 0, b 0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;

b) Докажем, что (a+b)(ab+1) 4ab, при а 0, b 0.

Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.

Используем очевидное неравенство Коши:

второго множителя.

Перемножим получившиеся неравенства:

с) Так же используют следующий прием: предполагают, что данное неравенство верно при заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при указанных значениях переменных.

Значит, доказательство (a+b)·(ab+1) 4ab, при а 0, b 0 можно выполнить другим способом.

Допустим, что при а 0, b 0 данное неравенство верно, т.е.:

Используя неравенство Коши дважды для каждого множителя, имеем:

Значит, (a+b)·(ab+1) 4ab, при а 0, b 0, что и требовалось доказать.

3. Докажем:

Доказательство: Допустим, что данное неравенство верно.

Получили очевидное неравенство.

Значит, данное неравенство верно.

Вопрос: Мы можем привести доказательство данного неравенства из очевидного неравенства (a+b-2)² 0?

Ответ: Да, для этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)

4. Контрольная самопроверка знаний. Для самостоятельной работы предлагается доказать, что неравенство верно при всех значениях переменной (работа в парах).

Для доказательства неравенств используем любой прием (проверка работы по готовым записям).

Доказательство:

а) Допустим, что неравенство верно.

Неравенство очевидно, значит, верно при всех значениях переменных.

Значит, 2a²+ b²+ c² 2a(b+c) верно при всех значениях переменных.

Доказательство: Пусть данное неравенство верно при допустимых значениях переменных.

(Проверка решения по готовым записям).

5. Итог занятия

a) Проводится рефлексия результатов самостоятельной работы, выясняются проблемы и их коррекция.

Дается оценка деятельности каждого учащегося.

Листы с доказательствами собрать на проверку.

Работа считается хорошей, если доказано одно неравенство, успешной – если доказано два или три неравенства.

b) Какие приемы использовались на занятии?

– сводили доказательства к равносильному неравенству a-b < 0 (a-b > 0).
– использовали очевидные неравенства (a-b)² 0, (a+b)² 0, неравенство Коши
– допускали, что неравенство верно и приводили его к очевидному

неравенству.

3.«Доказательство неравенств» в школьном курсе математики.

На базовом уровне задачи на доказательства неравенств встречаются в учебнике Ю.Н. Макарычева «Алгебра 8 кл.» в теме «Числовые неравенства и их свойства»

Изложение материала начинается с определения понятий меньше и больше. Введенное определение является опорным при доказательстве свойств числовых неравенств и при выполнении упражнений на доказательства неравенств. Доказательства неравенств проводятся при помощи сравнения с нулем разности их левой и правой частей.

Затем рассматриваются неравенства, доказанные с использованием основных свойств, доказанных сразу, а так же, что очень важно, рассматриваются задачи на оценивание значений выражений. В дальнейшем приобретенные навыки доказательства неравенств находят применение при рассмотрении общих свойств функций.

4.Заключение.

Рассматриваемая тема: «Доказательство неравенств» как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения простых неравенств – доказательство обычно основано на эвристике, а не на алгоритмах. Поэтому в основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши между средними арифметическим и геометрическим и следствие о сумме взаимно обратных чисел, хотя в рамках содержания обучения основной школы вполне можно рассматривать соответствующие неравенства и для средних гармонического и квадратического – их доказательства вполне алгоритмичны. Но в профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым. Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально – оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты.

Список использованной литературы.

В.А.Гусев, А.Г.Мордович «Математика. Справочные материалы» Книга для учащихся М.: «Просвещение» 1990 г.
Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г.
Под ред. Теляковского С.Л. «Алгебра» учебник для 9 кл. общественных учреждений. М.: «Просвещение» 1995 г.
Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.В.; Под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение.
Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Уч. пос. для студ. пед. инст-в по физ-мат. спец-м/ А. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост.В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.
Абрамович М.И., Стародубцев М.Т.Математика: алгебра и элементарные функции. 1976
Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. – М: Просвещение, 1980. – 368 с.
В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин «Лекции и задачи по элементарной математике» М.: Изд. «Наука» 1974 г.
В.В.Вавилов, И.И.Мельников и др. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.
Я.И.Груденов «Совершенствование методики работы учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение» 1988 г.
С.В.Кравцов, Б.Н.Макаров и др. «Методы решения задач по алгебре» Экзамен «Оникс 21 век» М.: 2001 г.
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:Наука,1986. – 320 с.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2007 – 424 с.
Под ред. Ю.Н. Макарычева и Н.Г.Миндюк «Преподавание алгебры в 6-8 классах» М.: «Просвещение» 1980 г.
М.К.Потапов, В.В.Александров, П.И.Пасиченко «Лекции по алгебре и элементарным функциям» Изд. Москва МТУ 1978 г.
Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. - М.: МГУ, 1991 г.
Методика преподавания математики в средней школе. /В.А. Ованесян и др. – М: Просвещение, 1980. – 368 с.
Под.ред. Г.С.Ковалевой «ЕГЭ Математика» Контрольные измерительные материалы. М.: «Просвещение» 2003 г

Методика обучения решению задач на доказательство неравенств в курсе алгебры базовой школы 📙 Курсовая → 🆔 126144