Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений

Федеральное агентство по образованию 
 

      ГОУ ВПО 

     «Новосибирский государственный

      педагогический университет» 

                                              Математический факультет 
 
 
 

Тема: « Методика обучения решению текстовых задач с помощью уравнений» 

Курсовая  работа по дисциплине:

Методика  преподавания математики. 
 

               Выполнила: студентка v курса ОЗО, МИ

      Федорова  В.В.

                Научный руководитель:                                                                                                                                   

                                                  К.п.н., доцент кафедры    

                                                  Геометрии и методики

                                                   Преподавания

                                                   математики

                                                   Яровая Е.А.

Новосибирск 2006

План 
 

I. Воспитательно-образовательное значение решения задач с помощью уравнений.

II.Трудности, испытываемые учащимися при решении текстовых задач.

III. Методика обучения школьников решению текстовых задач.

1. Подготовительные упражнения в решению задач с помощью уравнений.
2. Методика составления уравнений.
3. Об общем методе решения задач составлением уравнений

IV. Нужна ли «проверка» при решении текстовых задач на составление уравнений?

V. Заключение. 
 
 
 
 

 Найти безотказно действующие правила для решения всех возможных задач — это старая мечта, которая навсегда останется только мечтой. Но можно изучить типичные приемы, полезные при решении задач ... Собрание таких приемов, расположенных в четкой последовательности, вещь полезная.

Д. Пойя 
 

По содержанию школьный курс алгебры представляет довольно пеструю дисциплину: в ней  продолжает развиваться начатое  в арифметике учение о числе, значительное место уделяется тождественным преобразованиям над рациональными и иррациональными выражениями, видную роль играет учение об уравнениях, чаще всего связанное с изучением алгебраических функций, наконец, в нем имеется серия так называемых „дополнительных" глав (соединения, бином Ньютона). Однако учение об уравнениях и связанное с ним развитие понятия о числе безусловно являются основным материалом курса алгебры средней школы. Около центрального предмета алгебры—уравнений—группируются другие отделы и главы, или подготовляющие решение уравнений, или дающие материал для приложений уравнений.

  А в этом центральном предмете алгебры следует  выделить итоговый, конечный этап—решение задач с помощью уравнений. Это решение имеет особое значение в свете общих задач советской школы. Отметим основное, в чем заключается ценность задач на составление уравнений.

а) При составлении  уравнений или систем уравнений  по условиям задач необходим довольно разносторонний мыслительный процесс. При решении задачи ученик должен уяснить условия задачи и ее требования, должен ввести обозначения неизвестных, затем расчленить сложную задачу на ряд простых и, решая их, найти выражения для других величин через неизвестные и данные, и потом приравнять величины, выраженные различными способами. Конечно, при этом ученик должен подметить те функциональные зависимости, которые обусловливаются сюжетом задачи. В этом мыслительном процессе преобладает анализ в его своеобразной форме, обусловленной алгебраической символикой и использованием уравнений, но в нем имеет место и синтез (приравнивание двояко выраженных величин). Решив уравнение или систему уравнений, ученик должен проверить корни, затем исследовать пригодность корней к данному условию задачи, в иных случаях исследовать решение при некоторых частных значениях данных.

  Весь мыслительный процесс отличается тем, что он требует инициативы, активности, некоторых элементов творчества, понимания функциональных зависимостей и умения переложить их на язык алгебраических выражений и уравнений.

  И прав Симон, когда он пишет: „Теперь, как и раньше, я утверждаю, что для упражнения в самостоятельном мышлении нет ничего более подходящего, чем задачи на построение и составление уравнений". Задачи на составление уравнений, или систем уравнений в значительно большей мере, чем какой-либо другой материал элементарной алгебры, способствуют развитию математического мышления учащихся, а, значит, и тех форм мышления, которые являются схожими с математическим и которые находят широчайшее применение во многих научных дисциплинах.

  В частности  составление уравнений приучает учащихся к тому своеобразному аналитическому мышлению, которое использует алгебраическую символику и уравнения и которое имеет громадное практическое значение.

  б) Конкретные практические проблемы, требующие математической обработки, часто приводят к уравнениям. Поставленные „живой жизнью" проблемы о решении уравнений развиваются в алгебре в стройные абстрактные теории, в которых освещаются и пути решения уравнений или систем уравнений и пути исследования корней. И когда эти теории сообщены учащимся, необходимо научиться применять их в практике, т. е. в решении конкретных практических задач. Без этого этапа весь процесс изучения уравнений был бы методологически искривлен, не закончен и не приемлем. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике,— таков диалектический путь развития учения об уравнениях и таков путь изучения уравнений. Составление уравнений по условиям задач и является последним заключительным звеном изучения уравнений в школе. Составление уравнений—тот канал, которым алгебра связывается с жизнью и становится орудием познания действительности.

  в) Многие дисциплины и многие школьные предметы, разрешая свои частные задачи, вынуждены пользоваться уравнениями, составлять уравнения применительно к своим частным задачам. К числу таких предметов относятся, прежде всего, математические: геометрия, тригонометрия, аналитическая геометрия, анализ бесконечно малых. Из числа других предметов, широко пользующихся уравнениями, надо назвать в первую очередь механику, астрономию, физику и химию.

  Таким образом, алгебра путем решения задач составлением уравнений оказывает помощь многим другим дисциплинам, она обслуживает своими методами эти дисциплины, помогает им разрешать их частные проблемы. А это значит, что практическая значимость уравнений в процессе обучения прежде всего будет продемонстрирована на применении их к решению частных проблем школьных математических предметов и других школьных предметов, которые пользуются методами математики (физика, химия, астрономия).

  г)  Следует особо отметить использование уравнений при разрешении многочисленных вопросов и проблем техники. Технические проблемы нередко приводят к решению уравнений или систем уравнений весьма различной сложности. Простейшие из них могут решаться методами элементарной алгебры. Проблемы технических дисциплин, а также проблемы других научных дисциплин чаще всего приводят к сложным уравнениям или системам уравнений, в частности к дифференциальным уравнениям. Но это не умаляет значения элементарной алгебры: составление уравнений по условиям задач является своеобразной пропедевтикой к аналогичному использованию более сложных видов уравнений, а в частности и дифференциальных уравнений.

  д) Алгебраический способ решения задач требует от учащихся критического отношения к полученным результатам: необходимо проверить полученные числа по отношению уравнения, необходимо выяснить пригодность полученных результатов для условий задачи, необходимо, наконец, в иных случаях изучить решения в зависимости от частных значений известных или от особых соотношений между ними, выяснить условия решаемости задачи, подметить особые частные случаи при решении. Все это воспитывает у учащихся критическое отношение к работе, прививает осторожность в использовании результатов алгебраических расчетов.

  е) Применение уравнений к решению задач является завершением изучения того ила другого раздела алгебры: оно оправдывает в сознании ученика сложную, кропотливую работу с тождественными преобразованиями, с решением уравнения преобразования и сопутствующие виды уравнений являются практически нужными и полезными.

  ж) Следует, наконец, отметить, что алгебра дает значительно более совершенные методы, решения задач, чем арифметика. И как раз там, где методы арифметики оказываются мало удобными или несостоятельными, методы алгебры оказываются особо эффективными и удобными. Конечно, эта мысль должна быть достаточно обстоятельно и ярко на конкретных задачах продемонстрирована учащимся, чтобы они осознали все преимущества уравнений и систем уравнений в решении задач.

  Итак, решение  задач алгебраическим способом имеет  многогранную воспитательно-образовательную ценность: оно является прекрасной школой для развития математического мышления; оно приучает к контролю и критическому отношению к результатам решения уравнений; оно является тем этапом изучения алгебры, который с особой силой показывает практическую полезность и применимость этой дисциплины, а в частности ее применимость к решению теоретических и практических вопросов других предметов элементарной математики и также других дисциплин; оно является тем этапом изучения алгебры, когда можно показать полезность ее в решении технических задач, а в результате этого в представлении учащихся находит оправдание и весь кропотливый процесс изучения алгебры.

  Эта многогранная воспитательно-образовательная ценность рассматриваемого вопроса делает его  с методической точки зрения интересным и придает ему особую значимость.

Трудности, испытываемые учащимися  при решении текстовых  задач

  Каждый  учитель математики, работающий в неполной средней или средней школе, знает, что решение задач с помощью составления уравнений является в методическом отношении довольно трудным материалом. Наблюдения за классами показывают, что составление уравнений вызывает значительные затруднения у многих учащихся, что такие затруднения можно видеть не только в VII классе, где учащиеся впервые встречаются с этим вопросом, но и в старших классах до Х включительно. Профессорско-преподавательский состав высших учебных заведений, в которых изучается математика, и которые обычно укомплектовываются молодежью наиболее полноценно подготовленной по математическим предметам, хорошо знает, что одним из узких мест в подготовке абитуриентов высшей школы является решение задач с помощью составления уравнений.

  Вместе  с тем наша методическая литература бедна конкретными указаниями по интересующему нас вопросу, эти указания разбросаны в различных источниках, не систематизированы, а это мешает использованию их, а в условиях работы провинциальных школ часто бывает совершенно невозможно найти необходимую литературу. Такое положение нередко затрудняет учителя математики.

  В этой работе мы пытаемся дать возможно полное решение методической проблемы о составлении уравнений по условиям задач. С этой целью мы суммируем тот ценный опыт школ, который нашел отображение в нашей литературе, как методической, так и учебной. Вместе с тем мы намечаем и новые пути в преодолении трудностей рассматриваемого методического вопроса, разрабатывая их в деталях.

  Как при  решении многих методических вопросов, и в нашем случае полезно ясно осознать те трудности, которые мешают продуктивному решению задач с помощью уравнений. Знание этих трудностей позволит наметить целесообразные пути их преодоления. Итак, в чем же заключаются трудности алгебраического способа решения задач?

  1) В общем плане обучения математике в школе решению задач с помощью составления уравнений предшествует довольно длительный период обучения решению задач в курсе арифметики. По-видимому, дать безупречную классификацию задач на арифметические и алгебраические крайне трудно, а, может быть, и невозможно. Приведем одну из классификаций, практически достаточно удобную. Пусть а, b, ..., k—данные в задаче числа, а х искомое число; если решение задачи приводится к уравнению x=f(a, b, ... k), то такая задача может быть названа арифметической; если же решение задачи приводится к уравнению F(x, а, b, ... А)=0, то задача будет алгебраическая. Эта классификация не является безупречной, но практически она достаточно удобна.

  Рекомендуется уже при изучении арифметики решать задачи алгебраического характера. Конечно, методы их решения в курсе арифметики существенно отличны от методов решения в курсе алгебры. Но все же решение задач в курсе арифметики вообще и алгебраических в частности является хорошей подготовкой для решения задач с помощью составления уравнений.

  И нередко те трудности, которые испытывают ученики при составлении уравнений по условиям задач, зависят от того, что учащиеся имеют недостаточные умения и навыки в решении арифметических задач. Это учителю необходимо помнить. А отсюда первое требование—учитель математика должен всемерно поднять уровень знаний, умений и навыков по решению арифметических задач.

Как поднять  эти умения и навыки? Очевидно, обсуждение этого вопроса выходит за пределы нашей темы.

  Ограничимся одним указанием, имеющим непосредственный интерес с точки зрения нашей  темы. При решении задач с помощью  уравнений, как правило, приходится составлять формулы. Составление формул есть обязательная часть вопроса о составлении уравнений. Но составлению буквенных формул должно предшествовать составление числовых формул по условиям задач. Дать некоторые навыки в составлении числовых формул по условиям арифметических задач целесообразно при изучении арифметики: это облегчит впоследствии составление уравнений. Составление числовых формул полезно и в курсе алгебры, как подготовка к составлению буквенных формул и к составлению уравнений, о чем будет речь еще в дальнейшем.

  2) Иногда ученики не могут составить уравнение по условию задачи или составляют неверное уравнение в силу того, что они не понимают условия задачи, вкладывают неверный смысл в это условие. Автору этой работы пришлось наблюдать, как некоторые ученики VI класса неправильно истолковывали выражения „больше в 2 раза", „больше на 2 единицы", „меньше в 3 раза", „меньше на 3 единицы", несмотря на то, что в V классе ученики многократно пользовались такими выражениями.

   Совершенно  аналогичные затруднения вызывает иногда непонимание смысла фраз, употребляющихся при чтении алгебраических выражений. Например, выражения Зa²b, а²+b² ученики приучаются читать так: „три а квадрат b", „а квадрат плюс b квадрат", а поэтому их может затруднить, если в формулировке условия задачи будет сказано: „утроенное произведение квадрата числа а на число b", „сумма квадратов чисел а и b". Разрыв между чтением выражений, которое преобладает при классной работе, и тем языком, на котором формулируются алгебраические правила и, условия задач, вызывает существенные затруднения в изучении алгебры вообще и в частности в составлении уравнений.

В отношении  затруднений в понимании учащимися  условий задачи интересные экспериментальные  факты приводит М. Змиева, например, в задаче: „Курьерский поезд вышел на 1 час позже пассажирского и догнал его через 3,5 часа. Сколько времени шел пассажирский поезд?"—учащиеся VII класса не поняли слова „позже": „ ... чтобы узнать, сколько времени шел пассажирский поезд, 20% учеников вычитали один час". В другой задаче: „Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов и едут навстречу один другому. Одинаковое ли число часов каждый из них проедет до встречи?"—учащиеся не понимали смысла слова „одновременно" и 58% из них связывали время со скоростью и расстоянием и давали неверные ответы: „одинаковое при одинаковой скорости", „неодинаковое, а может быть одинаковое, потому что мы не знаем, на одинаковом ли расстоянии были они друг от друга", и т. д.

  Итак, непонимание условий задачи является одним из препятствий, мешающих решению задач на составление уравнений. Как изжить непонимание условий задач?

  Между окончанием решения арифметических задач и  началом решения задач на составление уравнений имеется довольно значительный промежуток времени. Надо этот промежуток сделать возможно короче, а этого можно добиться, во-первых, введением в занятия задач с самого начала обучения алгебры, хотя бы решение их и было арифметическое, во-вторых, более ранним введением решения задач с помощью уравнений. В дальнейшем будут указаны и другие пути преодоления трудности, связанной с пониманием условия задачи.

  3) В основе сюжета каждой математической задачи лежит та или другая функциональная зависимость, иногда несколько функциональных зависимостей. Пусть, например, имеем такую задачу: „Скорый поезд за три часа прошел 126 км. В какое время этот поезд пройдет 441 км, если будет идти с тою же средней скоростью?" При решении этой задачи пользуемся тем, что путь, проходимый равномерно движущимся телом, прямо пропорционален скорости и прямо пропорционален времени движения. Такова та функциональная зависимость, которая лежит в основе задачи и которая позволяет решить эту задачу.

  Какова  бы ни была алгебраическая задача, в  ее основе необходимо лежат одна или несколько каких-либо функциональных зависимостей. Наличие этих функциональных зависимостей и дает ключ к ее решению. Незнание необходимых функциональных зависимостей явится препятствием к решению задачи.

Многие учащиеся не знают тех функциональных зависимостей, которые лежат в основе задач на составление уравнении. И это является одной из главнейших причин слабой эффективности решения задач алгебраическим способом.

  Нам пришлось наблюдать такой факт, когда многим учащимся одного Х класса не удавалось составлять уравнения для тех задач, в которых шла речь о равномерном движении. Учитель находился в затруднении, пока не понял, что корень неудачи кроется в незнании многими учащимися формулы s==v∙t, в неумении пользоваться этой формулой в условиях конкретной задачи. При этом особые затруднения вызывали те операции, когда приходилось определять скорость или время движения.

  Очевидно, чтобы преодолеть затруднения, которые  вызываются незнанием тех функциональных зависимостей, которые нужны для решения задач, необходимо изучить эти зависимости. Может показаться, что число этих зависимостей очень велико, и что фактически невозможно охватить все могущие встретиться зависимости. Верно, зависимостей, которые могут лежать в основе задачи, много. Однако практически наши задачники по алгебре оперируют весьма ограниченным количеством таких зависимостей.

  Возьмем, например, „Сборник алгебраических задач" Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцева. Изучая те задачи, которые решаются с помощью составления уравнения первой степени с одним неизвестным и систем линейных уравнений мы приходим к заключению, что число разнообразных функциональных зависимостей весьма невелико.

В дальнейшем укажем те функциональные зависимости, которые встречаются наиболее часто и охватывают, примерно, 80% всех из указанных выше задач. Заметим, что мы здесь подходим к подразделению этих функциональных зависимостей не с точки зрения их математической сущности, а с точки зрения осмысливания учащимися сюжета задачи, с точки зрения освоения учащимися смысла задачи. Кроме того, во избежание недоразумений надо отметить, что указываемые ниже функциональные зависимости ни в каком случае не являются критериями для классификации алгебраических задач.

  а) Имеется  многочисленная группа задач, сюжет  которых строится на том, что над  двумя или несколькими числами  выполняются те или другие арифметические действия, а по их результатам и некоторым из этих чисел определяются другие числа. Чаще всего встречается разностное или кратное отношение чисел.

      б) К указанной группе примыкает довольно распространенная группа задач, которая внешне характеризуется тем, что производится „перекладывание" вещей из одной совокупности в другую, „переливание" жидкости из одного сосуда в другой и по соотношению между результатами этой операции требуется найти первоначальные количества.

    в) В сюжетах задач следующей группы лежит изменение результатов действий в зависимости от изменения компонент.

    г) Следующая группа имеет сюжетом  куплю-продажу.

    д) Встречаются задачи, использующие структуру  чисел в десятичной системе счисления.

  е) Далее  надо отметить задачи, в которых используется структура обыкновенной дроби и изменение ее с изменением •числителя или знаменателя или того и другого одновременно.

  ж) Затем  надо указать группу задач на бассейны.

   з)  К ним примыкает группа задач,  в сюжетах которых лежит работа (количество рабочей силы и время  выполнения).

и) Широко распространенной темой задач является равномерное движение.

к) Встречаются  задачи, в сюжетах которых лежит  рычаг 1-го и реже 2-го рода.

л) Имеется немногочисленная группа задач, в которых речь идет об удельном весе.

м) Наконец, отметим  задачи с геометрическими сюжетами, чаще всего в них речь идет о  площадях фигур.

  Для успешного  решения задач необходимо добиться, чтобы учащиеся хорошо знали те функциональные зависимости, которые лежат в основе задач, чтобы она могли использовать эти зависимости в конкретных условиях. А отсюда встает проблема вести преподавание алгебры так, чтобы эти функциональные зависимости были известны учащимся.

  4) Задача, решаемая с помощью составления уравнения или системы уравнений, представляет собой ряд суждений на определенную тему, выраженных на родном языке учащихся. В процессе составления уравнения или системы уравнений требуется эти суждения выразить с помощью алгебраических формул. Каждая алгебраическая формула есть суждение или ряд суждений, выраженных особым символическим языком алгебры. При составлении уравнений и приходится суждения с родного языка учащихся переводить на язык алгебраических символов. Вот этот-то перевод по признанию многих методистов и учителей и является одной из значительных трудностей. Если учитель хочет, чтобы учащиеся хорошо составляли уравнения и системы уравнений, то он должен научиться переводить с их родного языка на язык алгебраических символов и наоборот. Такой перевод представляет существенное значение не только с точки зрения рассматриваемого вопроса, а имеет более широкое значение.

  Интересны по этому вопросу высказывания Дж. В. А. Юнга. Он пишет :                                  

  „Символика  алгебры, да и вообще всей математики, представляет собой разновидность скорописи, а потому одинаково необходимо уметь переводить, как с обыкновенного родного языка на язык этой скорописи, так и обратно — с языка скорописи на родной язык. Только при условии постоянного выполнения учениками подобных переводов учитель может рассчитывать на то, что дети действительно в состоянии правильно истолковывать каждый из применяемых ими символов. Следует постоянно пересказывать формулы обыкновенным языком, а также прилагать их к различным частным случаям"...

  В другом месте Юнг пишет:

  „Все  учителя знают по опыту, что ученикам стоит большого труда научиться переводить на язык уравнений условия, выраженные словами. Но уменье выполнить этот процесс относится к числу наиболее важных и ценных результатов занятий по алгебре; развитие способности мыслить в этом направлении является одним из наиболее полезных следствий работы в этой области математики, и не следует допускать такого положения дела, при котором ученики кончали бы изучение алгебры, не достигнув в достаточной мере успеха в такого рода переводах".

  5) В учебно-методической литературе по алгебре и среди учителей-практиков распространен взгляд, что нельзя указать общих приемов, общих путей для составления уравнения или системы уравнений по условиям задач. Примером учебника с таким взглядом на этот вопрос может служить „Начальная алгебра" А. Давидова, широко распространенная как учебник средней школы в конце прошлого столетия и в первом десятилетии текущего столетия. Во II главе отделения второго читаем: „Что касается до составления уравнения, то оно представляет гораздо больше затруднений, потому что, вследствие чрезвычайного разнообразия вопросов, нельзя дать общих правил для составления уравнения; только ясным пониманием основных действий и частым упражнением можно приобрести навык в этом" .

  Такая точка  зрения встречается и до сих пор. Например, И. И. Чистяков неоднократно повторяет, что „определенных правил для составления уравнений из условий задач нет", что „общего  правила для составления уравнений, пригодного для всех случаев, дать невозможно"*.

  Конечно, такое положение, когда ни учебник, ни учитель не могут указать общих  правил, общих приемов составления  уравнения, и не только не могут, но глубоко уверены в том, что  таких приемов не существует,—такое положение не может способствовать успешному развитию педагогического процесса в интересующем нас направлении.

  Но правильно  ли утверждение, что нельзя указать  общих путей при составлении  уравнений?

  С. С. Бронштейн решительно восстает против утверждения, что нельзя указать единого способа составления уравнения. Он пишет: „Неверно, что нет единого принципа составления уравнений. Общий принцип, которым руководствуются при составлении уравнений, можно сформулировать так: надо проанализировать, какие величины, находящиеся во взаимной зависимости, равны между собой. Соединив такие два выражения знаком равенства, составляют уравнение".