Методика вивчення натуральних чисел

Вступ

Розділ І. Теоретичні основи теми дослідження.

1. Історія виникнення та розвитку уявлень про натуральне число.
2. Загальні відомості про поняття натуральне число.
3. Задачі, пов’язані з натуральними числами, їх види, способи розв’язання та класифікація.

Розділ ІІ. Методика навчання учнів натуральним числам та діям над ними.

1. Місце теми в програмі. Вимоги до знань, умінь та навичок учнів.
2. Навчання учнів натуральним числам та діям над ними. План-конспект уроку засвоєння нових знань.
3. Формування вмінь та навичок учнів у виконанні арифметичних дій над натуральними числами. План-конспект уроку формування вмінь і навичок.
4. Види контролю та його застосування.

Висновок

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Для шкільної математики натуральне число є тим поняттям, з якого, як правило, починається навчання. І  вже в початкових класах учні знайомляться з різними функціями натурального числа. Відповідаючи на запитання: « Скільки машин зображено на малюнку?», - вони мають справу з числом як кількісної характеристикою множини предметів. Роблячи підрахунок предметів, використовують натуральне число як характеристику порядку. В задачах, пов'язаних з вимірюванням величин, число виступає як значення величини при вибраній одиниці, тобто як міра величини. Велика увага приділяється в початковому курсі математики і ще однієї ролі числа - як компоненту обчислень. Таким чином, натуральне число має багато функцій, і багато з них повинні бути зрозумілі і засвоєні вже молодшими школярами та розширені уже в п’ятому класі. Для цього вчителі повинні бути дуже гарно підготовлені до викладу матеріалу учням.

Натуральні числа отримують  під час рахунку предметів і при вимірюванні величин. Але якщо при вимірюванні з'являються числа, відмінні від натуральних, то рахунок приводить тільки до чисел натуральних. Щоб вести рахунок, потрібна послідовність числівників, яка починається з одиниці і яка дозволяє здійснювати перехід від одного числівника до іншого і стільки раз, скільки це необхідно. Інакше кажучи, потрібен відрізок натурального ряду. Тому, вирішуючи завдання обґрунтування системи натуральних чисел, в першу чергу треба було відповісти на питання про те, що ж являє собою число як елемент натурального ряду. Відповідь на нього було дано в роботах двох математиків - німця Грассмана і італійця Пеано. Вони запропонували аксіоматику, в якій натуральне число обґрунтовувалося як елемент необмежено триваючої послідовності.

 

 

 

 

Розділ І. Теоретичні основи теми дослідження.

1. Історія виникнення та розвитку уявлень про натуральне число.

Числа виникли з потреби рахунку і вимірювання, і зазнали тривалий шлях історичного розвитку.

Був час, коли люди не вміли рахувати. Щоб порівняти кінцеві множини, встановлювали взаємно однозначну відповідність між даними множинами або між одною з множин і підмножиною іншої множини, тобто на цьому етапі людина сприймала чисельність предметів без їх перерахунку. Наприклад, про чисельність групи з двох предметів вона могла говорити: «Стільки ж, скільки рук у людини», про множину з п'яти предметів - «стільки ж, скільки пальців на руці». При такому способі порівнюваня множини повинні були бути одночасно доступні для огляду.

В результаті дуже довгого періоду розвитку людина прийшла до наступного етапу створення натуральних чисел - для порівняння множин стали застосовувати множини-посередники: дрібні камінчики, черепашки, пальці. Ці множини-посередники вже представляли собою зачатки поняття натурального числа, хоча і на цьому етапі число не відмежовувалася від предметів, що перераховувались: мова йшла, наприклад, про п'ять камінців, п'ять пальців, а не про число «п'ять» взагалі. Назви множин-посередників стали використовувати для визначення чисельності множин, які з ними порівнювалися. Так, у деяких племен чисельність множини, що складається з п'яти елементів, позначалася словом «рука», а чисельність множини з 20 предметів - словами «вся людина».

Тільки після того як людина навчилася оперувати множинами-посередниками, встановила те спільне, що існує, наприклад, між п'ятьма пальцями і п'ятьма яблуками, тобто коли відбувся відхід від природи елементів множин-посередників, виникло уявлення про натуральне число. На цьому етапі при рахунку, наприклад, яблук, не перераховувалися вже «одне яблуко», «два яблука» і т.д., а казали слова «один», «два» і т.д. Це був найважливіший етап в розвитку поняття числа. Історики вважають, що сталося це в кам'яному віці, в епоху первіснообщинного ладу, приблизно в 10-5 тисячолітті до н.е.

З часом люди навчилися не тільки називати числа, але і позначати їх, а також виконувати над ними дії. Взагалі натуральний ряд чисел виник не відразу, історія його формування тривала. Запас чисел, які вживали, ведучи рахунок, збільшувався поступово. Поступово склалося і уявлення про нескінченність множини натуральних чисел. Так, в роботі «Псамміт» давньогрецький математик Архімед показав, що ряд чисел може бути продовжений нескінченно, і описав спосіб утворення і словесного позначення як завгодно великих чисел.

Виникнення поняття натурального числа було найважливішим моментом у розвитку математики. З'явилася можливість вивчати ці числа незалежно від тих конкретних завдань, у зв'язку з якими вони виникли. Теоретична наука, яка стала вивчати числа і дії над ними, отримала назву «арифметика». Слово «арифметика» походить від грецького arithmos, що означає «число». Отже, арифметика - це наука про число.

Арифметика виникла в країнах Стародавнього Сходу: Вавилоні, Китаї, Індії та Єгипті. Накопичені в цих країнах математичні знання були розвинені і продовжені вченими Древньої Греції. У середні віки великий внесок у розвиток арифметики внесли математики Індії, країн арабського світу та Середньої Азії, а починаючи з XIII століття - європейські вчені.

Термін «натуральне число» вперше вжив у V ст. римський вчений А.Боецій, який відомий як перекладач робіт відомих математиків минулого на латинську мову і як автор книги «Про введення в арифметику», яка до XVI століття була зразком для всієї європейської математики.

У другій половині XIX століття натуральні числа виявилися фундаментом всієї математичної науки, від стану якого залежала і міцність всієї будівлі математики. У зв'язку з цим з'явилася необхідність в строгому логічному обгрунтуванні поняття натурального числа, в систематизації того, що з ним пов'язано. Так як математика XIX століття перейшла до аксіоматичної побудови своїх теорій, то була розроблена аксіоматична теорія натурального числа. Великий вплив на дослідження природи натурального числа зробила і створена в XIX столітті теорія множин. Звичайно, в створених теоріях поняття натурального числа і дій над ними отримали велику абстрактність, але цим завжди супроводжується процес узагальнення та систематизації окремих фактів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Загальні відомості про натуральні числа.

Натуральні числа 1,2,3,… - це числа, що використовуються для рахування  предметів або для вказування порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів. Будь-яке натуральне число можна  записати за допомогою десяти арабських  цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 0 не є натуральним  числом.

 Для читання натуральних  чисел їх розбивають, починаючи  справа, на групи по три цифри  в кожній. Три перші цифри праворуч  складають клас одиниць, три  наступні – клас тисяч, потім йдуть класи мільйонів, мільярдів і т.д. Кожна із цифр класу називається його розрядом.

 Із двох натуральних  чисел менше те, яке при підрахунку називають раніше. Наприклад, число 8 менше від 12 (записують так: 8 < 12). Коли одне число більше другого, це записують так: 386 > 99. Найменшим  натуральним числом є одиниця . Найбільшого натурального числа не існує. Множину натуральних чисел позначають символом N.

До арифметичних операцій над натуральними числами прийнято відносити такі операції:

• Додавання: доданок + доданок = сума.
• Множення: множник · множник = добуток.
• Віднімання: зменшуване - від'ємник = різниця. При цьому, щоб результат також був натуральним числом, зменшуване повинно бути більшим за від'ємник, але вони також можуть бути рівними. За означенням,

, якщо.

• Ділення: ділене : дільник = частка. За означенням, , якщо . У багатьох випадках ділення виводить за межі множини натуральних і навіть цілих чисел. Тому запроваджується також інша операція.
• Ділення з остачею: ділене : дільник = (частка, остача). За означенням, ділене = a, дільник = b, частка = q, остача = r, якщо,. Така дія над натуральними числами завжди здійсненна й однозначна, хоча можливі значення для частки й остачі — це натуральні числа та 0.

Операції додавання та множення є основними, а інші означаються  через них, як описано вище; це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Зазначимо  також, що додавання та множення є  замкненими операціями у множині  натуральних чисел, оскільки вони завжди дають у результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами); цього не можна сказати про віднімання та ділення.

Основні властивості:

Комутативність додавання:

Комутативність множення:

Асоціативність додавання:

Асоціативність множення:

Дистрибутивність множення відносно додавання:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Задачі пов’язані з натуральними числами, їх види, способи розв’язання та класифікація.

Задачі, що розв’язують за допомогою додавання. Для свідомого розв’язання арифметичних задач учні повинні перш за все повторити ті питання, на які відповідає кожна із чотирьох арифметичних дій, в данному випадку дія додавання.

Вчитель може запропонувати учням скласти просту задачу, розв’язання якої  вимагає застосування однієї дії додавання. У більшості випадків учнів це не затруднить і вони запропонують питання, що потребують застосування додавання: 1) в тому випадку, коли дані частини потрібно з’єднати в одне ціле і 2) в тому випадку, коли дія додавання застосовується для збільшення даного числа на декілька одиниць.

Вчитель підкреслює обидва питання, на які відповідає дія додавання.

Задачі, що розв’язують  за допомогою віднімання.

Задача 1. В класс принесли 37 підручників і з них роздано в перший день 12. Скільки підручників залишилось нерозданими?

Задача 2. В одному класі 37 підручників, в другому на 12 підручників менше. Скільки підручників у другому класі. І в першій і в другій задачах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ ІІ. Методика навчання учнів натуральним числам та діям над ними.

1. Місце теми в програмі. Вимоги до знань, умінь та навичок учнів.

Опрацювання понять про натуральне число і арифметичні дії проводиться  протягом усього навчання в початкових і в п’ятому класах, подільність натуральних чисел вивчають в шостому класі безпосередньо перед її застосуванням під час вивчення звичайних дробів. Ставляться завдання сформувати в учнів уявлення про натуральні числа; домогтися усвідомлення математичних понять і арифметичних дій, знання таблиць кожної дії та прийомів усного й письмового виконання дій; виробити міцні обчислювальні навички. На основі правил порядку виконання дій та властивостей арифметичних дій учні повинні вміти знаходити значення числових виразів, у тому числі виразів з дужками на багато операції.

Робота над нумерацією та арифметичними діями будується в початкових класах концентрично. Програмою намічена система поступового розширення області чисел, що розглядаються: перший десяток, другий десяток, сотня, тисяча, багатоцифрові числа (в межах мільйона). У межах першого і другого десятків розглядаються лише дії додавання і віднімання (табличні випадки та випадки, пов'язані з нумерацією чисел), а в межах решти концентрів — усі арифметичні дії. Принцип "концентричності" переважно стосується нумерації і арифметичних дій. Інші питання програми вивчаються за лінійним принципом. Тому точніше буде сказати, що програмовий матеріал вивчається за концентрично-лінійним принципом. Навчання починається з невеликих чисел. Числова область поступово розширюється, і вводяться нові поняття. Така побудова курсу забезпечує систематичне повторення і поглиблення знань і вмінь, відповідає психологічному розвитку учнів. Особливо вона корисна для формування поняття про систему числення.

Розширення меж натуральних  чисел здійснюється поступово: спочатку учні вчаться читати й записувати чотирицифрові числа, потім п'ятицифрові, а тоді шестицифрові. Така послідовність  забезпечує краще усвідомлення учнями сутності групування розрядів у класи і створює умови для формування міцних умінь читати й записувати багатоцифрові числа, оскільки методичний підхід вивчення нумерації в межах кожного розряду однаковий.

У вивченні додавання і  віднімання можна вичленити дії  з натуральними числами та дії  з іменованими числами. Оскільки діти вже ознайомлені з додаванням і відніманням трицифрових чисел, то ознайомлення з діями багатоцифрових чисел здійснюється прямим перенесенням. У формуванні навичок виконання дій увагу приділяють перевірці правильності обчислень способом застосування оберненої дії. Додавання і віднімання іменованих чисел супроводжується розглядом вправ на перетворення іменованих чисел.

Множення і ділення  натуральних чисел вивчається в такій послідовності: множення на одноцифрове число; ділення на одноцифрове число; множення чисел, що закінчуються нулями; ділення на числа, що закінчуються нулями; множення на двоцифрове і трицифрове числа; ділення на двоцифрове число. Пояснення письмового алгоритму дій другого ступеня займає чимало часу. Щоб дітям не доводилося тривалий час бути тільки спостерігачами та слухачами, варіюють методи пояснення нового матеріалу, зокрема застосовувати самостійне ознайомлення зі знаходженням значення виразу за поясненнями, поданими в підручнику.

Вивчення математики в 5-му класі базується на тій математичній підготовці, яку учні отримали в початковій школі. Загалом вона визначена тими вимогами, які вказані в програмі для учнів на кінець четвертого року навчання.

Мета засвоєння курсу  математики 5-го класу -  систематизація знань про розвиток поняття числа та вироблення вмінь виконувати усно і письмово арифметичні дії над числами, перекладати практичні задачі мовою математики, підготовка учнів до вивчення систематичних курсів алгебри й геометрії.

Курс базується на індуктивній  основі із залученням елементів дедуктивних  міркувань. Теоретичний матеріал викладається на наочно-інтуїтивному рівні, математичні  методи і закони формулюються у вигляді  правил. Програмою передбачено поглиблене вивчення натуральних чисел і нуля, що передбачає читання і запис натуральних чисел, їх порівняння, виконання арифметичних дій.

Учень повинен вміти розпізнавати, наводити приклади натуральних чисел; дотримуватися правил: читання і  запису натуральних чисел, додавання, віднімання, множення і ділення натуральних  чисел, знати як порівнювати натуральні числа. Учень повинен називати класні розряди натурального числа; формулювати  властивості арифметичних дій з  натуральними числами.

Учень має розв’язувати вправи, що передбачають: порівняння натуральних  чисел; виконання чотирьох арифметичних дій з натуральними числами; ділення  з остачею та нескладні текстові задачі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Навчання учнів натуральним числам та діям над ними.

У шкільних підручниках вводять таке означення натуральних чисел: «Числа 1,2,3,…, що використовуються при лічбі предметів дістали назву натуральних».

Перш ніж  розглядати питання  про читання і запис натуральних  чисел, потрібно повторити з учнями поняття про розряди і розрядні одиниці, класи десяткової системи  числення, співвідношення між розрядними одиницями, запис числа у вигляді  суми розрядних одиниць, навчити  правильно вживати слова: «цифра»  та «число», для цього слід звернути увагу на те,що цифри – це спеціальні позначення для чисел. Десяткова  система числення має десять цифр для позначення безлічі натуральних  чисел. Тому на перших уроках доцільно коротко нагадати про інші системи  числення

Для повторення усної та письмової нумерацій користуються таблицями розрядних одиниць і одиниць класів. Для повторення поняття класів дітям дають орієнтир щодо назви класів, бо у зв’язку з цим в учнів виникає маса помилок. Учням вводять правило читання багатоцифрових чисел.

Для того щоб прочитати  багатоцифрове число, потрібно:

1. розбити число на класи справа наліво;
2. якщо найвищий клас містить три цифри, то прочитати  зліва направо кожний клас як трицифрове число і додати назву класу4 назва класу одиниць не додається;
3. якщо найвищий клас містить одну або дві цифри, то прочитати його як одноцифрове або двоцифрове число і додати назву цього класу; ешту класів читати так само, як у попередньому випадку.

Під час запису багатоцифрових чисел багато помилок виникає  у зв’язку з відсутністю певних розрядів або класів. Тому учитель  на конкретних прикладах має пояснити спосіб міркування під час запису таких чисел. Наприклад, нехай потрібно записати число тридцять п’ять мільярдів шість мільйонів сорок тисяч. Міркуємо так: за класом мільярдів міститься клас мільйонів який повинен мати три цифри, а маємо лише третю цифру (6), отже, ліворуч від неї має бути два нулі. Далі за класом мільйонів іде клас тисяч який теж містить три цифри, а в нас 2 цифри (40), то ліворуч від неї ставимо нуль, потім іде клас одиниць який аналогічно повинен мати три цифри, а в нашому випадку ми не маємо жодної, тому дописуємо три нулі. Дістаємо: 35 006 040 000.

Практика показує, що для  дітей, які навчились виконувати чотири дії над натуральними числами  в початкових класах, виконання дій  над багатоцифровими числами  не становить значних труднощів. Особливу вагу потрібно звертати на питаннях теоретичного обґрунтування правила  виконання кожної дії, на розв’язуванні  складніших комбінованих вправ, раціоналізації обчислень, розв’язуванні складніших текстових задач. Вдосконалення  навичок усних обчислень є  важливим для всіх учнів.

Отже, спочатку проводять  діагностику знань учнів з  тим, щоб ефективно здійснювати  диференційоване навчання з погляду  як складності навчального матеріалу, так і рівня вимого до окремих  категорій учнів. Слід враховувати  і те, що учням відомий матеріал з початкової школи і тому потрібно підтримувати пізнавальний учнів до цього матеріалу. Для цього використовують дидактичні ігри, математичні ребуси, розв’язування вправ із зірочками, програмованих завдань, широко залучати наочність, історичні довідки.

Також потрібно дотримуватись  наступності з курсом початкової школи. Повторення кожної з чотирьох дій потрібно починати з практичних задач, що дасть змогу забезпечити  мотивацію навчання і підвищить  пізнавальний інтерес.

Додавання. Вважається, що поняття додавання інтуїтивно зрозуміле для учнів з досвіду початкової школи і практики. Використовуючи запис чисел у вигляді суми розрядних одиниць і закони додавання, теоретично обґрунтовують правило додавання багатоцифрових чисел, розглядаючи конкретні приклади спочатку без переходу через десяток. Наприклад, додаючи числа 5673 і 2315, подаємо кожне з них у вигляді суми розрядних доданків:

5673 = 5 тис. + 6 сот. + 7 дес. + 3 од.;

2315 = 2 тис. + 3 сот. + 1 дес. + 5 од.

Розглянувши доданки й  об’єднавши їх у групи, дістанемо:

(3 од. + 5 од.) + (7 дес. + 1 дес.) + (6 сот. + 3 сот.) + (5  тис. + 2 тис.) = 8 од. + 8 дес. + 9 сот. + 7 тис. = 7 тис. + 9 сот. + 8 дес. + 8 од. = 7988.

У разі виконання додавання  стовпчиком спочатку додають одиниці, потім – десятки і т.д. Тут  застосовують два закони: переставний  і сполучний. Достатню увагу потрібно приділити додаванню, що потребує переходу через десяток.

Окремого розгляду потребує питання про зміну суми залежно  від зміни доданків, що є елементом  пропедевтики вивчення поняття функції  у 7 класі. Для прикладу розглядають таке завдання: не обчислюючи, встановити, який знак потрібно поставити між виразами і і на скільки одна сума більша від іншої:

а) 5673 + 2345 і 5679 + 2345;

б) 123 + 2567 і 123 + 2543;

в) 1093 + 243 і 1090 + 256.

Також слід повторити додавання  натурального числа до нуля і  навпаки. Підводять дітей до висновку, що а+0 = а і 0 + а = а, 0 + 0 = 0.

Слід підкреслити можливість і однозначність дії додавання  двох натуральних чисел, натурального числа і нуля. Це важливо з погляду  розширення поняття про число.

З погляду пропедевтики різних видів виразів, доцільно звернути увагу  на неоднозначність терміна «сума». Його вживають у двох значеннях: як результат дії додавання і  як вираз, що складається з двох або  кількох чисел, сполучених знаком «+». Аналогічне зауваження стосується і  термінів «різниця», «частка».

Зауважують, що перевірка  дії додавання виконують за допомогою  цієї самої дією перестановкою доданків. Перевіряють також за допомогою  мікрокалькулятора.

Віднімання. Відняти від числа  а число b означає знайти таке число х, яке в сумі з числом b дає а. Позначають: b + х = а.

На цьому етапі навчання важливо вдосконалити навички віднімання багатоцифрових чисел. Важливо, щоб  учні усвідомили можливість двох способів перевірки дії віднімання: 1) додаванням, знаходячи зменшуване за від’ємником і різницею; 2) відніманням, знаходячи від’ємник за зменшуваним і різницею. За можливості доцільно розглянути зміну результату дії віднімання від зміни компонентів. Виявлені закономірності потрібно застосувати для раціоналізації обчислень. Рівності а - 0 = а і а – а = 0 обґрунтовують за допомогою означення дії віднімання. Учні мають міркувати так: за означенням дії віднімання маємо рівності  а+0 = а і 0 + а = а, які правильні за властивістю нуля щодо дії додавання. Отже, правильні також рівності  а - 0 = а і а – а = 0.

В межах натуральних чисел  учні повинні усвідомити, що зменшуване не може бути менше ніж від’ємник . Якщо зменшуване більше ніж від’ємник  або рівне йому, то різниця завжди існує і дорівнює певному натуральному числув першому випадку і нулю  - в другому. Повторення дії віднімання доцільно завершити повторенням типів задач, які розв’язують за допомогою цієї дії.

Множення. Вже з початкової школи учні множення натуральних чисел називають додавання однакових доданків. На етапі повторення важливо, щоб учні після розв’язування певної кількості прикладів змогли виконати узагальнення і сформулювати означення для двох чисел а і b у вигляді: помножити число а на число b відмінне від одиниці означає знайти суму b доданків,кожний з яких дорівнює а. Для добутку а · 1 потрібна домовленість, що а · 1 = а, а а · 0 = 0. Для закріплення і кращого усвідомлення означення дії множення слушними є такі запитання.

1. Чи будь-яке додавання можна замінити множенням? ( Ні. Якщо не всі доданки однакові)
2. Чи будь-яке множення можна замінити додаванням? ( Ні. Лише таке, коли множник відмінний від одиниці і нуля.)

Слід значну увагу приділити  запобіганню помилкам, яких деякі  учні припускаються під час множення на числа, що закінчуються нулями або  містять нулі всередині.

Шкільна практика свідчить, що в учнів не виникає особливих  труднощів стосовно питання про  зміну добутку в разі збільшення чи зменшення одного або двох множників  у кілька разів. Учні самостійно обґрунтовують  відповідні висновки для конкретних прикладів. Перевіряють дію множення перестановкою множників або за допомогою мікрокалькулятора.

Основні закони множення потрібно повторювати, ілюструючи їх застосування для раціоналізації обчислень. Наприклад, переставний закон дає змогу  швидше обчислити добуток 20 · 856 · 5, якщо переставити співмножники. Переставляючи  третій і другий множники, можна  усно обчислити добуток 

20 · 856 · 5 = 20 · 5 · 856 = 100 · 856 = 85 600.

Розподільчий закон також  часто використовують для раціоналізації обчислень. Наприклад,

42 · 225 = (40 + 2) ·225 = 40 · 225 + 2 · 225 = 40 · (200 + 25) + 450 = 8000 + + 1000 + 450 = 9450.

Ділення. Дію ділення означають аналогічно дії віднімання, як обернена дія до множення: поділити число а на число b означає знайти таке число х, при множенні якого на число b дістанемо число а. відразу можна обґрунтувати рівність 0 : а = 0. Заборона ділити на нуль повинна прийматися як означення. Проте доцільність такої заборони можна пояснити відповідною рівністю, записаною на основі означення дії ділення.

З погляду ідеї дальшого розширення поняття числа слід звернути увагу на виконуваність дії ділення  у множині натуральних чисел. Вона не завжди можлива, як і дія  віднімання.

З усіх чотирьох арифметичних дій найбільша кількість помилок, яких припускаються учні, припадає на дію ділення. Правило і сама дія ділення на натуральне число  найгірше сприймаються у випадках, коли між цифрами частки є нулі. Потрібно навчити учнів ще до виконання ділення визначати кількість цифр у частці. Можна ознайомити учнів із загальним прийомом визначення кількості цифр у частці: відокремивши в діленому стільки цифр, скільки їх у дільнику, підраховуємо, скільки цифр залишилось в діленому. Шукана частка міститиме стільки само цифр або на одну більше. Обґрунтувати це можна так: якщо відокремлене спочатку число ділиться (з остачею або без остачі) на дільник, то в частці дістанемо одну першу цифру, а якщо не ділиться, то не дістанемо такої цифри. При «знесенні» кожного наступного розряду діленого дістанемо в частці по одній цифрі.

Наголошують, що під час  ділення потрібно щоразу «зносити»  по одній цифрі і виконувати ділення  отриманого числа так, щоб остача була завжди меншою від дільника.