Методы финансовой математики и их применение в экономическом анализа

Федеральное агентство по образованию 
 

Государственное образовательное учреждение

 высшего  профессионального образования

«Рязанский  государственный 

радиотехнический  университет» 

Факультет инженерно – экономический 

Кафедра финансового менеджмента 
 

Курсовая работа по дисциплине

ТЕОРИЯ  ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 

Тема: Методы финансовой математики и их применение в экономическом анализа 
 
 
 

Выполнил: Мымрикова Н. В.

  группа 676

Руководитель  Фролова С. В.

Подпись:________________ 
 
 
 
 
 

Рязань, 2009 г.

Оглавление

Введение

§ 1. Логика финансовых операций в рыночной экономике.

1. Временная ценность денег
2. Фактор времени в финансовых расчетах.

§ 2. Процентные ставки и методы их начисления

1. Простые проценты
2. Сложные проценты
3. Эффективная и номинальная процентные ставки.

§ 3. Операции наращения и дисконтирования.

§ 4. Учет инфляции при наращении и дисконтировании.

§ 5. Аннуитеты.

Заключение 

Список  использованной литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

   Экономический анализ – основа любого управленческого  решения. На уровне экономики в целом и на уровне отдельных хозяйствующих объектов он позволяет принять не просто решение, а наиболее оптимальное, рациональное и экономически обоснованное, максимально приближающее к достижению поставленной цели.

   Экономический анализ относится к прикладной экономике, которая опирается на опыт и практику хозяйствования, конкретные показатели экономической деятельности хозяйствующих субъектов.

   Экономические показатели – универсальное средство экономики в целом и экономического анализа в частности, объединяющее словесное и числовое описание объектов, процессов и явлений. Система экономических показателей, представляющая совокупность взаимосвязанных, систематизированных показателей, описывает или характеризует с количественных и качественных позиций состояние экономики и ее объектов в настоящем, прошлом и будущем.

   Основу анализа составляют цели, методы и процедуры, которые обеспечиваются всеми необходимыми ресурсами: финансовыми, кадровыми, материальными, информационными.

   Среди математических методов наиболее часто используется дисконтирование, расчет простых и сложных процентов. Применение метода дисконтирования позволяет учесть неравноценность затрат и результатов, относящихся к разным периодам времени. Данные методы вошли в экономический анализ из финансовой математики.

   В России термин финансовая математика постепенно завоевывает сторонников, приходя на смену таким названиям, как финансовые и коммерческие расчеты, высшие финансовые вычисления и т.п.

   Финансовые  вычисления появились с возникновением товарно-денежных отношений, но в отдельную отрасль знания оформились только в XIX в.: они назывались "коммерческие вычисления" или "коммерческая арифметика". Как утверждал русский математик, финансист и бухгалтер Н.С. Лунский, коммерческая математика изначально существовала под именем "политической арифметики", родоначальником которой является английский экономист Вильям Петти, – отец политической экономии и родоначальник статистической науки.

   Быстрый экономический рост стран в XIX в. во многом был обусловлен распространением коммерческих знаний. В частности, в России действия правительства привели к тому, что к концу XIX в. появились коммерческие училища, торговые школы, классы, курсы, поскольку актуальность и важность коммерческого образования не у кого не вызывала сомнения, а основу коммерческих наук составляла коммерческая арифметика, так как именно она обуславливает каждый торговый акт, каждую финансовую операцию.

   В области финансовых или коммерческих вычислений работал целый ряд  российских ученых: И.З. Бревдо, Р.Я. Вейцман, П.М. Гончаров, И.И. Кауфман, Н.С. Лунский, Б.Ф. Мелешевский и другие, которые развили теорию и практику "коммерческой арифметики".

   В послереволюционный период коммерческая арифметика в России не получила должного развития, поскольку многие вопросы, связанные с финансами и финансовыми расчетами, попросту игнорировались. В странах с ориентацией на рыночную экономику коммерческая арифметика развилась в самостоятельное направление в науке – в финансовую математику.

   Сегодня процедурная сторона данной науки кажется относительно несложной, но содержательная сторона коммерческих расчетов не потеряла актуальности и в наше время.

   Значительные  достижения перечисленных ученых стали  основанием для дальнейшего исследования проблем и формирования предложений относительно методов финансовой математики.

   Целью курсовой работы является рассмотрение методов финансовой математики и их применение в экономическом анализе.

   Для достижения поставленной цели, в работе предусмотрено решение следующих основных задач:

   - обозначить и раскрыть методы финансовой математики;

   -определить их применение в экономическом анализе.

   Объектом  исследования являются процессы использования  методов финансовой математики в практической деятельности на предприятиях.

   Предметом исследования является совокупность теоретических, методологических и практических основ формирования финансово математики в применении к экономическому анализу. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 1. Логика финансовых операций в рыночной экономике.

1. Временная ценность денег.

   Подавляющее большинство решений, которые приходиться  принимать высшему и среднему управленческому персоналу, - это  решения финансового характера. Логика подобных решений выражается известным соотношением: доходы, которые ожидаются в результате принятия данного решения, должны определенным образом превосходить совокупные затраты, связанные с его подготовкой и реализацией. Безусловно, некоторые решения могут иметь иное обоснование, нежели текущая выгодность, среди них – отсутствие убытка, социальный аспект, действие факторов, не поддающихся элиминированию, осознанная неэффективность в краткосрочном плане в сочетании с ожидаемой прибыльностью в долгосрочный перспективе и т. п. Тем не менее решения, основанные на денежных оценках, без сомнения преобладают.

   Решения финансового характера в подавляющем  большинстве случаев не являются одномоментными в плане проявления вызываемых ими последствий. Иными  словами, здесь весьма важную роль играет фактор времени. Формализованная основа подобных решений – так называемые финансовые вычисления, имеющие давние традиции, в том числе и в отечественной учетно-аналитической практике.

   Финансовые  вычисления базируются на понятии временной  стоимости денег; именно с их помощью  удается принимать управленческие решения, эффективные во временном аспекте. Подобными вычислениями обязаны владеть как лица, принимающие решения, так и их помощники – аналитики.

   Без сомнения, финансовые вычисления входят в число краеугольных элементов  процесса управления финансами организации  и используются в различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке бизнеса и др.

   Ключевыми моментами методов оценки эффективности  финансовых операций, определяющими их логику, являются следующие утверждения:

• практически любую финансово-хозяйственную операцию можно выразить в терминах финансов;
• в подавляющем большинстве случаев собственно операции или их последствия «растянутые» во времени;
• с каждой операцией можно увязать некоторый денежный поток;
• денежные средства должны эффективно оборачиваться, т. е. с течение времени приносить определенный доход;
• элементы денежного потока, относящиеся к разным моментам времени, без определенных преобразований несопоставимы;
• преобразования элементов денежного потока осуществляются путем применения операции наращения и дисконтирования;
• наращение и дисконтирование могут выполняться по различным схемам и с различными параметрами.

2. Фактор  времени в финансовых расчетах.

   Российская экономика все более интегрируется в мировую экономику, что требует использования финансового инструментария, применяемого развитыми странами и международными организациями в финансовой практике.

   Становление рыночных отношений в России сопровождается появлением навыков и методов, которыми приходится овладевать для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заемных операциях, в оценке бизнеса и др.

   Кардинальное  изменение банковской системы, внедрение  новых форм собственности, развитие фондового рынка и финансовой самостоятельности предприятий сделали актуальным управление финансовыми ресурсами, одним из краеугольных элементов которого являются финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной ценности денег.

   Известный всем лозунг "время – деньги" имеет под собой реальную основу, позволяющую определить истинную ценность денег с позиции текущего момента.

   Важность  учета фактора времени обусловлена  принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих. Отмеченная зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени:

   во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, т.е. деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход. Рубль в руке сегодня стоит больше, чем рубль, который должен быть получен завтра ввиду процентного дохода, который вы можете получить, положив его на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию;

   во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию  денег во времени. Сегодня на рубль  можно купить товара больше, чем  завтра на этот же рубль, т.к. цены на товар  повысятся;

   в-третьих, неопределенность будущего и связанный  с этим риск повышает ценность имеющихся  денег. Сегодня рубль в руке уже  есть и его можно израсходовать  на потребление, а будет ли он завтра в руке, – еще вопрос. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 2. Процентные ставки и методы их начисления.

    Предоставляя  свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного  промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

- схема простых процентов (simple interest);

   - схема сложных процентов (compound interest).

2.1 Простые проценты.

   С экономической точки зрения "процент" это плата за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

   Источник  постоянно текущего дохода - есть капитал, а доход с него - "интерес" или прибыль. Разница между прибылью и капиталом заключается в том, что размер капитала, как источник дохода, может не изменяться с течением времени, а доход с него накапливается через некоторые промежутки времени; значит, величина капитала зависит от числа его единиц, а величина дохода определяется и размерами капитала и временем накопления прибыли.

   Простые проценты – это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.

   Сущность  простых процентов состоит в  том, что они начисляются на одну и туже величину капитала К в течении всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.

   Схема простых процентов предполагает неизменность базы начисления и реализуется  с помощью формулы:

             ( 1.1 )

   Значение  символов:

   Р_Т — сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;

   Р₀ – начальная сумма;

   i – номинальная процентная ставка;

   Т – конечный момент времени;

   t – начальный момент времени;

   K – фиксированный момент времени (базовый период, период начисления).

   В зависимости от соотношения длительности финансовой операции T – t₀ и периода начисления К возникают следующие подробности начисления простых процентов:

1. если T – t₀ = К, то Р_Т= Р₀(1+i);
2. если T – t₀ = nК, то Р_Т= Р₀(1+ni);
3. если T – t₀ < К, то такая операция относится к краткосрочным финансовым операциям, которые являются основной сферой применения простых процентов. Наращенная сумма в этом случае может быть найдена тремя способами.

   Способ 1. Точные проценты с точным числом дней операции дают самый точный результат, обозначаются условно как 365/365, подразумевают точную продолжительность периода начисления (365 или 366) и точное число дней между началом и окончанием операции, исключая первый или последний день. Этот способ называется еще английской системой начисления простых процентов при краткосрочных операциях.

   Способ 2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней операции обозначаются 360/360, или германская система, подразумевают приближенный период начисления (360 дней) и приближенную длительность финансовой операции, исходя из 30 дней в каждом месяце. Первый и последний день, по-прежнему, принимаются за один день.

   Способ 3. Обыкновенные проценты с точным числом дней операции обозначаются как 365/360, или  французская система, подразумевают приближенный период начисления (360 дней) и точную, как в английской системе, длительность операции.

   Пример 1.

   Определить  сумму накопленного долга, если ссуда  составляет 50000 руб., проценты простые  по ставке 20% годовых, а сделка осуществляется в период с 7 сентября по 25 декабря 2006 года.

   Рассмотрим  решение примера тремя способами. Предварительно определим точное и  приближенное число дней ссуды.

   Точное  число дней ссуды можно найти  либо по календарю, либо по таблице  порядковых дней в году.

   По  календарю: подсчитаем число дней с 7 сентября по 25 декабря включительно (110 дней), вычтем первый или последний  день (109 дней).

   Приближенное  число дней ссуды находим из расчета 30 дней в каждом месяце. Удобна следующая  схема:

   с 7 сентября по 6 октября – 30 дней,

   с 7 октября по 6 ноября – 30 дней,

   с 7 ноября по 6 декабря – 30 дней,

   с 7 декабря по 25 декабря – 19 дней,

   всего – 109 дней, за вычетом первого дня  – 108 дней.

   Находим сумму накопленного долга.

1. Английская система (365/365):

      Р_Т = 50000(1 + (109/365)0,2) = 52978,14 руб.

2. Германская система (360/360):

      Р_Т = 50000(1 + (108/360)0,2) = 53000 руб.

3. Французская система (365/360):

      Р_Т = 50000(1 + (109/360)0,2) = 53027,78 руб.

   Наращенные  суммы, получились, естественно, разными. Это очень характерно при работе с простыми процентами и говорит о том, что ни одна из схем начисления не является универсальной и приоритетной – все зависит от конкретных обстоятельств.

2. Сложные проценты.

   Для оценки движения финансовых потоков  во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты, начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При этом происходит капитализация процентов по мере их начисления и база, с которой начисляются проценты, постоянно возрастает.

   Сложные проценты - проценты, полученные на начисленные (реинвестированные) проценты.

   Формула сложных процентов выглядит так:

              ( 1.2 )

   В зависимости от соотношения длительности финансовой операции T – t₀ и период начисления К возникают следующие подробности начисления сложных процентов:

   а. если T–t₀ = К, то Р_Т=Р₀(1+i); схема простых и сложных процентов совпадают;

   б. если T–t₀ = nК (n-целое), то Р_Т=Р₀(1+i)ⁿ. Эта формула является основной в схеме сложных процентов, так как большинство финансовых операций содержат в себе целое число периодов начисления. Множитель (1+i)ⁿ называется множителем наращения. Он может быть найден по таблице сложных процентов, которые приводятся во всех книгах по финансовой математике.

   в. если T–t₀ = nК+Dt, т. е. продолжительность операции равна дробному числу периодов, то проценты могут быть начислены двумя методами: общим и смешанным. Согласно первому расчеты ведутся непосредственно по формуле сложных процентов. Согласно второму расчеты распадаются на два этапа. За целое число периодов начисляются сложные проценты, а за оставшуюся дробную часть – простые:

   Р_Т=Р₀(1+i)ⁿ(1+i(Dt/K))           ( 1.3 )

   Расчеты по смешанному методу приводятся к  несколько большему результату, чем  по общему.

   Пример 2.

   Кредит  в размере 300000 руб. выдан на 3 года и 160 дней

   (T–t₀ = 3*(160/365)=3, 43836 года) под 16,5% сложных годовых. Определить сумму долга на конец срока.

   Сумма долга по общему методу: Р_Т=300000(1+0,165)^3,43836=507193,6 руб., в свою очередь, смешанный метод дает

   Р_Т=300000(1+0,165)³(1+0,165*0,43836)=508659,6 руб.

   В схеме сложных процентов существует понятия номинальной и эффективной  процентной ставке.

   2.3 Эффективная и  номинальная процентные  ставки.

   Удобным поводом для их рассмотрения является, например, такое условие контракта: «банк предлагает 12% годовых с ежемесячным (в других вариантах – полугодовым, поквартальным) начислением процентов». Годовая ставка, которая фигурирует в этом контракте (12% годовых), является номинальной (условной). Фактически речь идет о месячном периоде начисления и о месячной процентной ставке в 1% (ставка за период находится как отношение номинальной ставки к числу периодов начисления в году). Поэтому расчеты можно осуществлять по исходной формуле сложных процентов, переводя временные интервалы в месячную размерность и используя процентную ставку i=0,01.

   С другой стороны, можно использовать исходные условия контракта и  специальные формулы:

               ( 1.3 ) 

   или при целом числе лет       .         ( 1.4 )

   Здесь j – номинальная годовая ставка, m – число периодов начисления в году, К – годовой период начисления (К=1 год, 2 полугодия, 4 квартала, 12 месяцев или 365 дней в зависимости от размерности срока операции T–t₀), n – число лет.

   Пример 3.

   Какова  сума долга через 25 месяцев, если его начальная величина 500000 руб., проценты сложные, 20% годовых, начисление поквартальное?

   По  условиям задачи j=0,2; m=4; T–t₀=25 месяцев; К=12 месяцев. Применим два метода наращения – общий и смешанный.

   Согласно  общему методу

   Р_Т=750840,04 руб.

   Смешанный метод дает такой результат:

   Р_Т=500000(1+0,05)⁸(1+0,05*1/3)=751039,85 руб.

   Рассмотрим  понятие эффективной (действенной) ставки процентов. Это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m – разовое начисление по ставке j/m:

   Р₀(1+i)ⁿ= Р₀(1+j/m)^mn, отсюда i=(1+j/m)^m-1.

   В условиях примера 3 эффективная ставка равна  i=0,2155.

   Таким образом, поквартальное начисление процентов по ставке 20% годовых эквивалентно начислению процентов раз  году по ставке 21,55% годовых.

   При анализе условий контракта, при  сравнении нескольких условий контракта  необходимо оценить именно эффективную  ставку.

   При увеличении m множитель наращения (1+j/m)^mn увеличивается, но как бы часто не начислялись проценты, множитель наращения не превысит величины

                                             ( 1.5 )

   где е – основание натуральных  логарифмов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 3. Операции наращения  и дисконтирования.

   В практике финансовых операций нередко  возникает потребность в изменении условий контракта, например, в переносе срока платежа, в объединении нескольких платежей в один (консолидация платежей), в замене заданного множества на эквивалентное множество (конверсия платежей). Такие изменения базируются на принципе финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными считаются такие обязательства, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования суммы платежа (перенос к более ранней дате) или наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

   Для краткосрочных операций дисконтирование  и наращение проводятся по формуле  простых процентов. Если приведение осуществляется путем дисконтирования  сумм платежей к началу момента времени, то оно реализуется по формуле

                                      ( 2.1 )