Індикатор цілої функції та його властивості

Тема: Індикатор цілої функції та його властивості.

 

План

     Вступ

§1. Поняття індикатора цілої функції та теорема про нього

§2. Тригонометрична опуклість індикатора

§3. Неперервність та інші властивості індикатора

§4. Індикатори основних елементарних цілих функцій

§5. Індикатор похідної цілої функції

Висновок

Список використаної літератури

 

Вступ

Теорія цілих функцій є однією з класичних областей теорії функцій. Це найпростіший клас аналітичних функцій. Систематичне вивчення цілих функцій почалося в другій половині ХІХ століття в роботах К.Вейєрштраса, Г. Міттаг-Леффлера та інших математиків. Як самостійна навчальна дисципліна, теорія цілих функцій виділилась на межі ХІХ і ХХ століття Після робіт Ж. Адамара, Е. Бореля, Е. Лагерра.

В процесі розвитку і становлення цієї теорії були виявлені численні її зв'язки з диференціальними рівняннями, теорією чисел, функціональним аналізом, математичною фізикою, теорією ймовірностей, та іншими математичними дисциплінами, в яких вона знайшла корисні застосування.

Одним з найважливіших як при побудові загальної теорії, так і в застосуванні, виявився напрямок, пов'язаний з вивченням росту цілих функцій

Питання зв'язку розподілу коренів цілої функції з її ростом були досліджені ще в 90-х роках ХІХ століття і на початку ХХ століття в роботах Адамара, Бореля, Ліндельофа, які були розвитком класичних теорем Сохоцького, Вейєрштраса, Пікара.

Як відомо, цілою функцією називається однозначна функція ₵→₵, що аналітична в ₵. Важливим є питання про характеристики цілої функції, зокрема максимум модуля, порядок, тип, величина типу цілої функції, індикатор росту цілої функції.

Метою даної роботи є вивчення поняття індикатора цілої функції, а також визначення зв'язку між індикаторами функції та її похідної. Відповідно до мети поставлені наступні завдання:

1. Ввести означення індикатора цілої функції.

2. Визначити основні властивості індикатора.

3. Визначити індикатори основних елементарних цілих функцій.

4. Встановити умови, при яких індикатори цілої функції та її похідної співпадають.

Курсова робота складається з вступу, п'яти параграфів та висновку.

 

§1. Поняття індикатора цілої функції та теорема про нього.

Нехай f(z) - ціла функція скінченного порядку і скінченного типу . Тоді для кожного променя, нахиленого до додатного напряму дійсної осі під кутом , розглянемо величину

.  (1)

Ця функція є однозначною і періодичною з періодом . Вона називається індикатором росту функції f(z).

В силу співвідношення

маємо:

,

тобто величина обмежена зверху.

Теорема. Якщо і задовольняють умовам

і якщо a i b - скінченні числа такі, що i , то у всьому інтервалі виконується нерівність

,   (2)

де А і В визначаються системою рівнянь

  ₍₃₎

Крім того,  для будь-якого маємо:

   ₍₄₎  

при

і .

Доведення. Нехай η- довільне додатне число. Визначимо і з рівнянь

  (3_�)

Це можливо, бо визначник системи . Очевидно,

  i .

Введемо допоміжну функцію

.

Вона є однозначною (якщо покласти ) і аналітичною в кутовій області g: , , і задовольняє в цій області при нерівності

,    (5)

де К=К(η). Крім того,

,

при , тобто модуль обмежений на сторонах кута g:

,    ,   (6)

де .

З (5) і (6) випливає, що до в області g, що являє собою кут, розхил якого , можна застосувати теорему Фрагмена-Ліндельофа. Отримаємо:

,  ,

звідки

,   (7).

Фіксуємо для заданого настільки мале число , щоб виконувалися нерівності

  і  ,

а потім знайдемо таке , щоб при виконувалась нерівність

.

Тоді при і будемо мати на основі нерівності (7):

,

тобто співвідношення (4). З нього далі випливає, що

або внаслідок довільної малості :

  .

Теорема доведена. ([1], ст. 256-258)

§2. Тригонометрична опуклість індикатора

Визначимо А і В з рівнянь (3):

;

;

;

;  ;

і підставимо знайдені значення в нерівність (2), отримаємо:

 

,    .  (8)

Зокрема, на бісектрисі кута g

маємо:

.  (8�)

Покажемо, що індикатор має скінченне значення для будь-якого :

.  (9)

Припустимо супротивне, і нехай . Зафіксуємо яке-небудь натуральне і застосуємо нерівність (8�) до бісектриси кута: . Отримаємо:

,

де а і b - довільні скінченні числа, які задовольняють умови

  і  .

Зафіксувавши b, перейдемо в знайденій нерівності до границі при . Отримаємо: . Повторюючи ті ж операції, знайдемо, що взагалі

, (k = 0, 1, …, 4m - 1).

За означенням індикатора функція f(z) повинна бути обмежена на кожному з променів: (k = 0, 1, …, 4m - 1), звідки випливає, що він взагалі обмежений, тобто (два сусідні промені утворюють кут ). Ми отримали суперечність з тим, що f(z) - ціла функція порядку . Отже, співвідношення (9) доведене. З нього випливає, що в основній теоремі цього пункту можна завжди покладати:

, .([1], ст. 259-260)

§3. Неперервність та інші властивості індикатора

Якщо покласти в нерівності (8) , то вона набере наступного вигляду:

.  (10)

З останньої нерівності випливає важливий наслідок:

Індикатор росту цілої функції скінченного порядку є скрізь неперервною функцією.

Дійсно, зафіксувавши довільне , покладемо в співвідношенні (10) і перейдемо до границі при . Отримаємо:

Покладаючи в (10)  і переходячи до границі при знаходимо:

.

Отже,

   (11)

Покладемо тепер в (10) і перейдемо до границі один раз при , а другий раз при . Отримаємо:

; ,

тобто

.   (12)

Співставляючи (11) і (12), знаходимо:

,

що і треба було довести.

Покажемо далі, що якщо , то не може існувати двох значень і таких, що

,

причому

і .

Припустимо, що такі значення існують. Тоді покладаючи в (8�):

,  

будемо мати:

.

При права частина в силу зроблених припущень і доведеної неперервності функції повинна прямувати до -∞, що неможливо. Звідси і випливає наше твердження. Зокрема, при не існує жодного значення , для якого .

Зазначимо, що при також не може існувати жодного значення , для якого . Дійсно, вздовж відповідного променя функція f(z) повинна бути обмеженою, що для функції порядку менше , не рівних тотожно сталій, неможливо. Отже, для функцій порядку не вище індикатор росту невід'ємний: .

Нехай тепер і - значення , для якого . Так як для деяких значень повинно виконуватись , то і снує інтервал , який містить , в якому і на кінцях якого . Очевидно, що ; дійсно, якщо припустити, що , то тоді можна вказати значення і із інтервалу , для яких . Але і , і ми приходимо, таким чином, до суперечності з установленою вище властивістю індикатора росту.

Припустимо для визначеності, що - ближчий до з двох кінців інтервалу ; тоді . Використаємо формулу (10), замінивши в ній на і на , де . (Ця формула застосовна до даного випадку, бо

.)

Отримаємо:

,

звідки

.

Так як це співвідношення справедливе для будь-якого , то в силу неперервності воно справедливе і при переході до границі при . Тому

.

Але , де - тип функції f(z); тому,

.

Отже, при маємо:

.  (13)

Ця нерівність при , як ми бачили, заміняється більш сильною:

.  (13�)

Зазначимо, що для функцій мінімального типу із однієї і другої нерівності отримаємо, що

.

Покажемо, нарешті, що в усіх інших випадках

.   (14)

Дійсно, якщо припустити, що ,  то в основній теоремі про індикатор можна покласти , після чого нерівність (4), в якій ми замінимо А і В їх значеннями з рівнянь (3), набере вигляду

при і . Покладемо і ; тоді будемо мати на сегменті :

при .

Вираз в квадратних дужках прямує до границі при і (рівномірно відносно і ) і, отже, при досить малих і може стати меншим, ніж , де . Таким чином,

при і .   (15)

Очевидно, можна взяти рівним , де m - досить велике натуральне число. Тоді у всіх кутах

  (k = 0, 1,…, m -1)

нерівність (15) буде виконуватись при досить великих r, звідки випливає, що

при r > R

і

,

що неможливо. ([1], ст. 260-263)

§4. Індикатори основних елементарних цілих функцій

Графік індикатора росту цілої функції в полярних координатах r i :

називають індикатором цілої функції.

Знайдемо індикатори росту основних елементарних функцій.

Розглянемо функцію , де . Як відомо, . Тому

.

Якщо , ₵, то і індикатор росту функції

.

Можливі два випадки:

а) . Тоді

.

б) . В цьому випадку

.

Тобто можна записати, що для функції індикатор росту .

Таким самим чином можна показати, що для функції індикатор росту рівний .

Для функції , n - натуральне число, маємо, що і . Тоді

.

Отже, індикатори росту для функцій

1)

, де ,  2) sin z,   3) cos z,   4)

(n натуральне) такі

1)

, 2) і 3) ,  4) .

 Відповідні криві (1) - коло, яке обходиться двічі, побудоване на відрізку, який з'єднує точки О і , як на діаметрі; 2) і 3) - два дотичні в початку координат кола з центрами на уявній осі і діаметрами, рівними 1; 4) 2n- пелюстковий віночок) представлені на малюнку 1.

 

([1], ст. 263)

§5. Індикатор похідної цілої функції

Нехай f(z) - ціла функція скінченного порядку і нормального типу ,

  (1)

-її індикатор росту.

Як відомо, функція є більш повною характеристикою росту цілої функції f(z) (в порівнянні з порядком і типом) і має важливе значення при вивченні багатьох властивостей цієї функції.

Зазначимо, що, якщо для якого-небудь індикатор росту (1) , то вздовж променя при , бо, припустивши в цьому випадку обмеженість f(z) по модулю при будь-якому на вказаному промені, прийдемо до нерівності . Якщо ж для якого-небудь , то, очевидно,

при .

Відносно порядку росту і типу похідної цілої функції f(z) відомо, що має той же порядок і тип, що й f(z).

Вияснимо тут, в якому співвідношенні знаходяться індикатори росту цілої функції f(z) і її похідної. Це питання виникло із розгляду гіпотези Р. Невалінни про асимптотичну рівність функцій

і

у випадку, коли f(z) - ціла функція скінченного порядку. Позначимо через індикатор росту похідної

.  (2)

Доведемо наступні теореми.

Теорема. Якщо для деякого значення , функція відмінна від нуля, то має місце рівність

.  (3)

Доведення. а) Припустимо спочатку, що . Перш за все, переконаємось, що в цьому випадку не може бути меншим за нуль.

Дійсно, нехай . Задамо при умові, що . ПО знайденому знайдемо таке , щоб при всіх виконувалась нерівність

.  (4)

Із рівності

,  (5)

де інтеграл взятий вздовж променя , і нерівності (4) отримаємо:

при всіх z в напрямку , де М - деяке визначене додатне число. Але за умовою , значить,

при .

звідси слідує, що не може бути меншим нуля. Тепер рівність (5) запишемо у такому вигляді:

,

де фіксоване число вибрано за умови, що при всіх виконується нерівність (4). Помітивши, що

,

оскільки не є від'ємним, отримаємо:

,   (6)

де

.

Із (6) випливає, що

.  (7)

Нерівність (7) справедлива при довільному , отже,

.  (8)

Тепер доведемо, що . Нехай таке, що функція в околі залишається додатною.

Розглянемо похідну

,   (9)

де , С - коло малого радіуса q з центром в точці z.

Візьмемо довільне і по ньому виберемо число таке, щоб виконувалась нерівність

при будь-яких і з околу . Нехай . Число q виберемо так, щоб круг повністю лежав всередині кута, утвореного променями і , точка z така, що виконується нерівність

.

Тоді на колі С функція f(z) буде задовольняти нерівності

,

де - деяке додатне число не менше, ніж q. Тому

,  (10)

і, отже,

.

Значить, оскільки довільне, то

.  (11)

Із нерівностей (8) і (11) отримаємо:

.

б) Тепер будемо вважати .Розглянемо знову рівність (9).

Мислячи аналогічно тому, як у випадку , отримаємо для точок кола С

,

де

,

і

,

звідки

.  (12)

Тепер доведемо, що . Оскільки , то, як було відзначено вище,

при ,

тому f(z) можна записати так:

,   (13)

де інтеграл взятий по променю . Помічаючи ще, що за доведеним , виберемо таке, щоб . В рівності (13) число z візьмемо таке, щоб виконувалась нерівність

 

при всіх . Тоді

і

,  (14)

де

.

Із нерівності (14) і випливає, що

.

Таким чином, і у випадку виконується нерівність (3)

.

Теорема доведена.

 Таким чином, диференціювання цілої функції не змінює її індикатора росту, коли індикатор росту відмінний від нуля.

Відмітимо також, що якщо функція перетворюється в нуль в окремих точках, то в цих точках силу неперервності функції і рівність (3) також зберігається. Якщо ж у всіх точках деякого відрізка, то в загальному випадку рівність (3) не зберігається.

Має місце наступна

Теорема. Якщо на деякому замкнутому відрізку , то на тому ж відрізку .

Доведення. Нехай - довільна внутрішня точка із інтервалу , в якій і таке, що в околі функція . По знайдемо таке число , щоб функція на відрізку задовольняла нерівності (3)

при всіх . Розглянемо похідну

,

де С - коло малого радіуса q, яке повністю лежить всередині кута, утвореного променями і . Оцінюючи модуль похідної , отримаємо:

.   (15)

В силу неперервності функції співвідношення (15) не порушується для межових точок.

Теорема доведена.

Розглянемо для прикладу функцію . Для неї . Знайдемо її індикатор росту:

.

Можливі два випадки:

а) . Тоді

.

б) . Тоді , і, отже,

.

Отже,

Розглянемо тепер функцію . Як було показано вище, . Очевидно, що на відрізку , де .

Із цих теорем випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Якщо функція (2) для якого-небудь , то і функція (1) також буде рівна нулю для цього значення .

Наслідок 2. Якщо для якого-небудь , а , то функція f(z) на промені буде обмежена по модулю при будь-якому z.

Примітка. Установлені вище теореми 1 і 2 залишаються справедливими і для узагальненого індикатора росту функції f(z) (3), який визначається рівністю

,

де - деякий уточнений порядок росту. Уточнений порядок , введений Валіроном [4], визначається умовами:

1)існує границя

і 2) . ([2], ст. 166-171)

 

Висновок

У даній роботі розглянуто означення і основні властивості індикатора росту, його зв'язок з іншими характеристиками цілої функції.

В ході виконання курсової роботи нами було розглянуто поняття індикатора. Отже, індикатором росту цілої функції f(z) називається однозначна, - періодична функція , яка визначається рівністю

.

_{У даній роботі досліджено основні властивості індикатора росту цілої функції, а саме:}

_{1) Тригонометрична опуклість. Ми встановили, що для функції h(θ) має місце нерівність:}

_{2) h(θ) є неперервною функцією.}

3) Якщо порядок цілої функції , то не може існувати двох значень і таких, що , причому і  .

4) Для функцій мінімального типу .

5) Для функцій скінченного типу виконується рівність .

У четвертому параграфі ми вивели індикатори росту основних елементарних цілих функцій. Отже, індикатори росту для функцій

1)

, де ,  2) sin z,   3) cos z,   4)

(n натуральне) такі

1)

, 2) і 3) ,  4) .

Нами було встановлено, що

Якщо для деякого значення , функція відмінна від нуля, то має місце рівність .

Якщо на деякому замкнутому відрізку , то на тому ж відрізку .

Отже, слід зазначити, що індикатор росту цілої функції є важливою характеристикою для порівняння цілих функцій і він займає важливе місце в теорії цілих функцій.

 

Список використаної літератури

1. А.И.Маркушевич. Теория аналитических функцій в 2-х томах, том 2, М: Наука, 1968 р. (ст. 256-263)
2. В.И.Беневоленский. О некоторых предельных свойствахцелых функций конечного порядка и их производных//Сборник статей «Исследования по соверменным проблемам теории функцій комплексного переменного». - ГИФМЛ. Москва, 1960
3. И.И.Привалов. Введение в теорію функций комплексного переменного. - Изд. 13-е - М.: Наука, Главная редакція фізико-математической литературы, 1984г. - 432ст.
4. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2 томах. -- М.: Наука, 1976. -- 720 с.