Отработка приемов решений задач финансовой математики

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

 

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МИСиС»

 кафедра промышленного менеджмента

 

 

 

 

Курсовая работа

 

по курсу: «Финансовая математика»

 

На тему:

 «Отработка приемов решений  задач финансовой математики»

     

 

 

 

 

   

 

 

 

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2012.

 

 

 

 

Содержание 

 

1. Теоретическая часть.............................................................…………………..………….3 

    1.1 Финансовые вычисления  на основе простых процентов……..…………………….3

    1.2. Финансовые вычисления на основе сложных и смешанных процентов…….……5 

    1.3. Дисконтирование .................................………………………………………..……..7 

    1.4. Принцип эквивалентности процентных ставок ………………....…………….….10

    1.5. Наращивание процентов в условиях инфляции …………………...……….….....12

    1.6. Денежные потоки и их использование в инвестиционном анализе ……..……...13

    1.7. Модели управления финансами предприятия ……………………………....…....20

2. Решение задач финансовой математики………………………….…………….……...24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Теоретическая часть.

1.1 Финансовые вычисления на основе простых процентов.

 

Прежде всего необходимо понять, какова роль фактора времени в коммерческих сделках. Известен принцип неравноценности денег с учетом фактора времени в финансовых вычислениях, в соответствии с которым неправомерно без внесения некоторых поправок суммировать деньги, относящиеся к разным моментам времени по двум причинам: наличие инфляции; необходимость учета упущенной выгоды (денежная сумма могла бы быть инвестирована - вложена в дело и приносила бы доход). Денежные суммы должны быть приведены к одному и тому же моменту времени, а уже потом их можно складывать или вычитать.

Далее следуем  разобраться в понятии «процентные  деньги», под которыми понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег  в ссуду, вложения их в виде вклада, депозита.

При заключении кредитной сделки договариваются по крайней мере о трех условиях:

- сумма кредита S₀;

- период времени n;

- процентной ставке (норма процента) i.

 

Последняя является результатом взаимодействия хозяйственных субъектов на рынке ссудного капитала и находится из условия пересечения кривых предложения ссудного капитала и спроса на него.

Затем необходимо перейти к рассмотрению простых  процентов, которые используются в  банковской практике, если срок ссуды  меньше года - дни, месяцы. Начисление простых  процентов осуществляется дискретно - за месяц, квартал, полугодие, год.

Наращенная  денежная сумма S при использовании простых процентов имеет вид

 

S=S₀(1+ni),

 

где i - процентная ставка за период наращения;

n - время (в годах)

 

Доход кредитора (он же - процентный платеж) определяется соотношением

 

I=S-S₀=S₀*n*i

 

С учетом различий в измерении временной базы используют три простых процентов:

- обыкновенные  проценты с приближенным числом  дней пользования ссудой

(год принимается  за 360 дней, а любой месяц - за 30 дней);

- обычные  проценты с точным числом дней  ссуды (год принимается за 360 дней, а срок, на который выбрана  ссуда определяется по календарю);

- точные  проценты с точным числом дней  ссуды.

Формулы для  расчета наращенной денежной суммы  в каждом из указанных случаев  имеют вид:

где ¶_прибл и ¶_точн - соответственно приближенное и точное число дней ссуды.

 

Далее осваивают  простейшие коммерческие расчеты: определение  величины задолженности с использованием переменной ставки процентов; при использовании  ломбардным кредитом; составление плана  погашения краткосрочного кредита  при начислении процентов на остаток  долга; установление курса девиз  и выбор из вида с целью наиболее выгодного погашения долга.

При использовании  переменной ставки процентов формула  для определения наращенной суммы  имеет вид:

 

S=S₀(1+n₁i₁+ n₂i₂+...+ n_ki_k),

где n₁, n₂, ..., n_k - рассматриваемые периоды времени;

i₁, i₂,..., i_k - процентные ставки.

 

Ломбардным  называется кредит, который заемщик  должен обеспечивать ценными бумагами или материальными ценностями. Сумма  кредита обычно рассчитывается, исходя их 75-80% текущей курсовой стоимости  ценных бумаг, предоставляемых в  залог. При выдаче ломбардного кредита  на короткий отрезок времени процентный платеж часто изымается сразу  при выдаче кредита. Изымаются также  затраты банка по обслуживанию кредита.

Потребительский кредит - один из наиболее распространенных форм кредитования населения, стимулирования спроса на товары, которые население  не могло бы приобрести только за заработную плату. Процентный платеж за пользование  краткосрочным потребительским  кредитом рассчитывается следующим  образом. Для первого месяца он рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий - на остаток. Общая величина выплат процентов за пользование  таким кредитом в течение m месяцев будет

 

 

где S₀ - сумма кредита

i - годовая процентная ставка

 

Необходимо  уметь составлять план погашения  кредита (амортизационный план).

 

«Девизы» - платежные  и кредитные документы (векселя, чеки, переводы), выраженные в иностранной  валюте. В более широком смысле девизы  - не только платежные документы, но и сама иностранная валюта. С  вопросами установления курса девиз  и выбора их вида с целью наиболее выгодного погашения долга следует  ознакомиться по книге [2]. В качестве математического аппарата здесь применяются обычные пропорции ценные подстановки.

 

 

1.2 Финансовые вычисления на  основе сложных и смешанных  процентов.

 

До изучения сложных процентов следует освоить  операцию реинвестирования, когда после  начисления процентов полученную сумму  присоединяют к исходной величине и  далее вновь начисляют проценты. При использовании реинвестирования наращенная сумма вычисляется по формуле:

 

S=S₀(1+n₁i₁)(1+n₂i₂)...(1+ n_ki_k),

где n₁, n₂, ..., n_k - продолжительность периодов наращивания денег

i₁, i₂,..., i_k - ставки, при которых происходит реинвестирование.

 

При равных периодах начисления и ставках:

 

S=S₀(1+ni)^k,

где k - число операций реинвестирования. Реинвестирование позволяет лучше понять суть вычислений при начислении сложных процентов.

Рекомендуется убедиться в том, что операция реинвестирования всегда выгодна вкладчику, сопоставив результаты расчета наращенной денежной суммы по формуле простых  процентов и с использованием реинвестирования за один и тот же период времени.

Затем переходят  к изучению двух способов начисления сложных процентов - декурсивного (последующего) и антисипативного (предварительного).

Декурсивное начисление сложных процентов - начисление и добавление процентного платежа к капиталу в конце каждого периода является традиционным для отечественной практики. При этом наращенная денежная сумма определяется по формуле:

 

S=S₀(1+i)ⁿ

 

Изменение ставки сложных процентов для различных  периодов времени n₁, n₂, ..., n_k приводит к следующей формуле для определения наращенной суммы:

 

 

 

При антисипативном расчете процентный платеж начисляется в начале каждого периода. Сумму капитала S₀ в начале расчетного периода можно представить как разницу между суммой S₁ в конце расчетного периода и процентным платежом на сумму S₁, вычисленным антисипативно: S₀= S₁- S₁i.

Отсюда S₁= S₀(1-i),  аналогично S₂= S₁/(1-i)= S₀/(1-i)ⁿ и т.д. В итоге после n-го шага получим S= S₀/(1-i)ⁿ.

 

С помощью  соответствующих расчетов желательно убедиться, что при антисипативном способе начисления сложных процентов получается больший доход, чем при декурсивном.

Заметим, что  в мировой практике антисипативный способ расчета используется в условиях высокой инфляции.

Далее в основном уделяется внимание декурсивному способу начисления сложных процентов. Нужно уметь рассчитывать наращенную денежную сумму при периодах начисления процентов месяц, квартал, год, а также при непрерывной капитализации; оценивать период удвоения исходной суммы при использовании простых и сложных процентов.

Начисление  процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная  ставка процентов i_ном - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.

Формула для  расчета наращенной суммы при  начислении сложных процентов  m в году имеет вид:

 

S=S₀(1+i_ном/m)^mn

 

Таким образом данная формула при ежемесячном начислении процентов имеет вид:

 

S=S₀(1+i_ном/12)¹²ⁿ, а ежеквартальном - S=S₀(1+i_ном/4)⁴ⁿ.

Для перехода к непрерывному наращиванию процентов  нужно вычислить:

 

Желательно  сопоставить результаты расчета  наращенной суммы по простым процентам, а также сложным процентам  при их непрерывности и дискретном исчислении.

Необходимо  также рассмотреть сопоставление  результатов начисления простых  и сложных процентов для периодов менее и более года и убедиться, что при периоде менее года использование простых процентов  более выгодно вкладчику, чем  сложных. Если же кредит выдает банк, то для периода менее года ему  также более выгодно использование  простых процентов.

В то же время  существует практика, в соответствии с которой крупные коммерческие структуры для дополнительного  смягчения условия сделок выдают предприятиям своей системы кредиты на срок более года выдают под простые проценты.

При расчете  периода удвоения денежных сумм поступают  следующим образом. В случае простых  процентов рассматривают равенство (1+ni)=N_pas. Отсюда n_прост=(N-1)/i и при N=2 n_прост=1/i. В случае сложных процентов пользуются соотношением (1+i)ⁿ=Nраз. Тогда n_слож=lg N/lg (1+i) и для периода удвоения (N=2) получим n_слож=lg 2/lg (1+i). Для i=1 периоды удвоения, рассчитанные для случаев простых и сложных процентов, совпадают и равны одному году:

 

n_прост=1/1=1;       n_слож=lg 2/lg 2=1

 

Далее необходимо рассмотреть смешанные проценты, которые используются для расчета  наращенной денежной суммы за дробное  число лет. По формуле смешанных  процентов наращенная денежная сумма  оценивается следующим образом

 

S_смеш=S₀(1+i)^a(1+bi), где a - целое число лет, b - дробная часть года.

Понятно, что S_смеш больше наращенной суммы, вычисленной по формуле сложных процентов S_слож=S₀(1+i)^a+b, поскольку (1+bi)>(1+i)^b при b<1.

В расчетах с дробным числом лет может  применяться номинальная годовая  ставка процентов i_ном. В этом случае наращенная сумма может определяться либо по формуле сложных процентов:

 

1.3 Дисконтирование

 

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы:  по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время, определить сумму полученной ссуды S₀^B. Такая ситуация может возникать, например, при разработке условий контракта. Кроме того, задача расчета S₀^B и S возникает и тогда, когда проценты с суммы удерживают непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что суммы S дисконтируется. Сам процесс начисления и удержания процентов называется учетом, а разность S- S₀^B - дисконтом.

Исходя из целей дисконтирования и вида ставки применяют 4 способа расчетов:

- математическое  дисконтирование (простая ставка  процентов);

- банковский  учет (простая учетная ставка);

- дисконтирование  по сложной ставке (сложная ставка  процентов);

- банковский  учет (сложная учетная ставка).

 

С этими способами  связаны соответственно следующие  методы определения наращенной денежной суммы:

- расчет  по формуле простых процентов;

- наращение  суммы по простой учетной ставке;

- расчет  по формуле сложных процентов;

- наращение  суммы по сложной учетной ставке.

 

Кроме того, используется одновременное начисление простых процентов и учет по простой учетной ставке.

Изучение  темы начинают с обсуждения понятия  «дисконтирование» с одной стороны, как термина, эквивалентного понятию  «учет векселей», а, с другой стороны, как операции, применяемой при  приведении денежных сумм к одному и тому же моменту времени, в частности, к начальному.

Далее необходимо изучить операцию математического  дисконтирования; освоить традиционные расчеты, которые возникают при  разработке условий сделки: определение  номинальной величины векселя, ставки, сроки ссуды.

Простейший  способ определения номинальной  величины векселя сводится к следующему. Предположим, что предприятие выдало m_в векселей для получения некоторой денежной суммы S₀^B. На первом шаге определяются сроки погашения каждого векселя. Эти сроки суммируются и рассчитывается средний срок погашения векселя в днях. Тогда номинальная величина всех m векселей будет.

 

), где i - годовая ставка процентов, под которую выданы векселя. Номинальная же величина векселя составит S/m_B.

 

При математическом дисконтировании сумма, которую  следует выдать в долг на n лет, чтобы при начислении на нее процентов по ставке i получить наращенную сумму, равную S, рассчитывается по формуле

 

S₀^B=S/(1+ni)

 

Если  требуется  предварительно определить ставку i , используемую в расчетах, то пользуются соотношением

 

,

а Nгод=360 или 365 (366) дней. Сам же срок ссуды рассчитывается по формулам

 

 

Затем переходят  к рассмотрению банковского учета  по простой учетной ставке. По определению  простая годовая учетная ставка i_уч (ставка для процентов «вперед») равна отношению

 

i_уч= ,

 

в то время  как годовая простая ставка процентов i (ставка для процентов «потом») находится как

 

i=

Размер дисконта при банковском учете равен S×n×i_уч. Отсюда полученная ссуда определяется по формуле

 

=S- S×n×i_уч.=S(1- n×i_уч.),

а наращенная сумма по простой учетной ставке (номинальная стоимость векселя) имеет вид:

 

S= /(1- n×i_уч)

Здесь n - срок ссуды в годах от момента учета до момента уплаты по векселю.

Заметим, что  иногда в контрактах размер дисконта при банковском учете фиксируется  в виде процента на общий срок платежного обязательства.

Далее полезно  сопоставить результаты банковского  учета и математического дисконтирования  по простой ставке и убедиться, что  при банковском дисконтировании  владелец векселя получит большую  сумму, чем при использовании  математического дисконтирования.

Иногда совмещают  начисление простых процентов по ставке i с дисконтированием по учебной ставке i_уч. В этом случае номинальная стоимость векселя будет

 

S= (1+n₁i)(1-n₂i_уч),

 

где - первоначальная суммы ссуды;

n₁ - общий срок платежного обязательства

n₂ - срок от момента учета обязательства

до погашения  долга, n₂£n₁;

S - сумма, полученная при учете обязательства (номинальная стоимость векселя).

Определение же срока ссуды при использовании  учетной ставки и самой учетной  ставки осуществляется с использованием следующих соотношений:

n=(1- _уч

¶=(1- _уч

i_уч=(1-

где n и ¶ - сроки ссуды в годах и днях, N_год - число дней в году, которое в данном случае чаще всего принимается равным 360 дням. Число же дней в периоде обычно берется точным.

Затем переходят  к рассмотрению использования сложной  процентной ставки. Первоначальная величина ссуды при использовании этой ставки находится по формуле

 

 

Если первоначальная величина ссуды рассчитывается из условия  начисления процентов m раз в году, то она определяется по формуле

 

, где  - номинальная годовая ставка процентов.

Изучается зависимость  современной величины банковского депозита от сроков платежа и ставки процентов: чем выше ставка величина при прочих равных условиях; при увеличении сроков платежа современная величина стремится к нулю.

С ростом величины m - количества начислений процентов в году дисконтный множитель уменьшается и, следовательно, уменьшается современная величина банковского депозита.

Изучается зависимость  современной величины и дисконта от времени, оставшегося до момента выплаты долга S. Чем ближе момент, для которого определяется современная величина к моменту выплаты суммы S, тем меньше сумма дисконта.

Рассматривается соотношение между дисконтными  множителями по простой и сложной  ставке процентов в зависимости  от срока сделки.

Затем переходят  к рассмотрению дисконтирования  по сложной учетной ставке. Здесь  используется соотношение

 

=S(1-i^сл_уч)ⁿ

где i^сл_уч - сложная годовая учетная ставка;

n - срок ссуды.

 

Полезно убедиться  в том, что дисконтирование по сложной учетной ставке для владельца  векселя выгоднее, чем по простой  учетной ставке в силу того, что  при использовании сложной ставки процесс дисконтирования происходит с замедлением.

В дальнейшем переходят к рассмотрению дисконтирования  по номинальной учетной ставке i^ном_уч. При этом

=S(1-i^ном_уч/m)^m´n

Здесь дисконтирование  осуществляется m раз в году. Желательно убедиться, что дисконтирование не один, а m раз в году замедляет этот процесс и уменьшает сумму дисконта при прочих равных условиях, что для банка, как правило не выгодно.

Далее рассматривают  определение наращенной суммы с  помощью учетной ставки. При этом применяются соотношения:

S= (1-i^ном_уч)ⁿ и S= (1-i^сл_уч/m)^mn

 

Изучение  темы заканчивают рассмотрением  использования различных ставок в финансовых расчетах. При этом рассматривают как соотношения  между множителями наращения, так  и дисконтными множителями для  сроков меньше 1 года, больше 1 года и  равных 1 году.

 

1.4 Принцип  эквивалентности процентных ставок

 

Изучение  темы начинается с определения эквивалентных (эффективных, реальных, действительных) процентных ставок.

 

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых  дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется  инструмент для корректного сравнения  этих условий. Пусть речь идет, например, о сопоставлении эффективности  различных кредитных предложений, в которых используются различные  процентные ставки. Все предложения  пересчитываются на один и тот  вид ставки процентов. При этом используются формулы для расчета эквивалентных  ставок. Условия для получения  кредита будут более выгодными  в том случае, где соответствующая  эффективная ставка, по которой нужно  выплачивать проценты, будет  ниже.

Далее рассматривается  случай, когда все условия финансовых операций совпадают, т.е. первоначальный капитал, временная база, метод расчета (точный или обыкновенный) процентов  и период начисления одинаковы. В  противном случае применяются те же рассуждения и преобразования, только полученные формулы будут содержать большее количество переменных.

Эквивалентные ставки вычисляются из условия равенства  множителей наращения при различных  способах вычисления наращенной суммы.

Приведем  примеры таких ставок:

эффективная (эквивалентная) годовая ставка простых  процентов

 

i_э=i_П×m,

где i_П - ставка процентов в период их начисления;

эквивалентные ставки простых и сложных процентов  при их начислении 1 раз в году

 

эквивалентные ставки простых и сложных процентов  при начислении процентов m раз в году

 

эквивалентные непрерывные и дискретные  ставки сложных процентов

 

,

отсюда

 

;

 

эквивалентная простая годовая ставка ссудного процента и простая годовая учетная  ставка:

 

 

откуда

 

эквивалентные сложная годовая ставка процента и сложная годовая учетная ставка:

 

Проанализировав приведенные формулы, можно сделать  следующие два вывода:

 

1. эквивалентность  различных процентных ставок  не зависит от величины первоначальной  суммы S₀, поскольку она предполагалась одинаковой при сопоставлении способов вычисления наращенных сумм.

2. эквивалентность  процентных ставок обычно зависит  от продолжительности периода  начисления, кроме случая когда сопоставляют сложные ставки с одинаковым периодом начисления.

Изучение  темы заканчивается рассмотрением  зависимости между эквивалентными сложными учетными ставками и сложными годовыми ставками ссудного процента. При этом полезно убедиться, что  небольшие учетные ставки имеют  эквивалентные ставки ссудного процента, сопоставляемые по величине, но с ростом учетных ставок разница увеличивается  достаточно быстро:

 

iул.сл (%)	iсл (%)
5%	5,26%
6%	6,4%
10%	11%
20%	25%
50%	100%
80%	200%
90%	900%
99%	9900%

 

 

1.5 Наращивание  процентов в условиях инфляции.

 

Изучение  темы начинается с ознакомления с  понятиями уровень (темп) и индекс инфляции. Уровень инфляции h показывает на сколько в относительном выражении выросли цены за рассматриваемый период времени: h=DS/S, где DS - сумма, на которую надо увеличить сумму S для сохранения ее покупательной способности. Индекс же инфляции отвечает на вопрос, во сколько раз увеличились цены за тот же период времени: I_n=(S+DS)/S=(1+h). Здесь нужно уметь вычислять годовые уровень h_год и индекс инфляции , если известно месячное значение уровня инфляции:

 

 

Далее переходят  к рассмотрению собственно наращения  процентов в условиях инфляции. Для  расчета наращенной суммы используются сложные проценты, а для учета  влияния инфляции производится дисконтирование  по сложной ставке, равной темпу  инфляции. Наращенная сумма вычисляется  по формуле

 

 

Отсюда видно  следующее:

если i=h (доходность вложений и уровень инфляции равны), то S=S₀ , т.е. весь доход поглощается инфляцией; если i<h (доходность вложений ниже уровня инфляции), то S<S₀, т.е. операция приносит убыток; если i>h (доходность вложений выше уровня инфляции), то S>S₀, т.е. происходит реальный прирост вложений капитала.

В заключение темы возвращаются к понятиям номинальной  и реальной процентных ставок. Выше было дано определение номинальной  ставки как годовой ставки, по которой  определяется ставка процентов, применяемая  на каждом интервале начисления (например, в случае, когда интервал начисления равен одному месяцу).

На самом  деле, понятие номинальной ставки используют в более широком смысле, в частности, когда речь идет от учете инфляции.

Номинальной называют ставку, по которой заключено  или заключается кредитное соглашение. Пусть требуется, например, найти  номинальную банковскую ставку i_Н - некоторую увеличенную ставку процентов, позволяющую компенсировать влияние инфляции.

Обозначим через i_ч реальную банковскую ставку. Реальная сумма выплат означает, что то количество товаров, которое в момент выплаты можно купить на сумму S₀(1+i_ч) 1 год назад можно было купить на сумму S₀(1+i_Н). С учетом инфляции имеем следующее балансовое соотношение для товарных эквивалентов

 

_ч)

 

Понятно, что  в данной задаче i_ч равна существующей банковской ставке процентов, таким образом