Виды логических задач

Содержание

Введение                                                                                                                                 3

1Теоретические аспекты использования логических задач на уроках математики

в начальной  школе                                                                                                                 5

     1.1 Виды логических задач                                                                                         5

     1.2 Задачи на исчисления высказываний                                                                  7

     1.3 Задачи использования графов                                                                              11

2 Методика использования логических задач на уроках математики в начальной

школе                                                                                                                                      13

          2.1 Анализ учебников по математике на наличие логических задач                     13

          2.2 Дидактический материал для развития логического мышления

младших школьников                                                                                                           16

Заключение                                                                                                                            29

Список использованных источников                                                                                  30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     Одна  из основных целей, которую преследует каждый учитель − развитие логического, мышления учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам.

     Безусловно, развитие мышления учащихся происходит в процессе изучения всех учебных  предметов, в процессе собственной деятельности и общения детей со сверстниками и взрослыми в повседневной жизни. Но в развитии психических процессов особенно велика роль обучения математике.

     Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и в ней наиболее естественным способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному. Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов развития мышления является решение школьниками логических задач.

     Идеи  развития логического мышления младших  школьников отражены в трудах многих ученых, педагогов, психологов (Немов  Р.С., Выготский Л.С., Мухина B.C., Фельдштейн Ф.И., Эльконин Д.Б., Петерсон Л.Г., Колягин Ю.М. и др.) Кроме того, решение логических задач способно привить интерес ребенка к изучению математики.

     Необходимостью  решения проблемы поиска новых путей  формирования и развития логического мышления младших школьников при изучении математики обусловлена актуальность данного исследования.

     Цель − определить сущность и виды логических задач, а также их место в начальном курсе математики.

     Объектом  исследования является процесс обучения математике в начальных классах.

     Предметом исследования является процесс формирования логического мышления у младших школьников.

     Задачи  исследования:

     - изучить теоретические основы введения в начальной школе логических задач;

     - проанализировать рабочие программы по математике;

     - разработать дидактический материал, содержащий логические задачи;

     - создать сборник логических задач  для учащихся 1- 4 классов.

     Методы исследования: изучение методической литературы по математике; анализ учебников, учебных пособий для начальной школы. 

1 Сущность и виды логических задач 

     Выделение термина «логическая задача», носит до некоторой степени условный характер. Трудно определить, какую задачу следует называть логической. Некоторые задачи принято считать арифметическими, поскольку в них имеем дело с числовым материалом, другие – геометрическими или алгебраическими в зависимости от того, идет ли в них речь о фигурах или об алгебраических выражениях. Задачи, в которых нет ни геометрических фигур, ни чисел, в которых речь идет о высказываниях и объектах – такие задачи называют логическими [1 с. 26-27].

     1.1 Виды логических задач

     Среди широко распространенных логических задач  можно выделить несколько классов, решение которых сводится к применению определенных приемов. Различают следующие классы задач:

     - турнирные задачи;

     - числовые ребусы;

     - установление соответствия между элементами различных множеств;

     - задачи на исчисление высказываний;

     - задачи использования графов.

     Турнирные задачи.

     Здесь рассматриваются класс логических задач, связанные с выяснением итогов некоторых турниров. В задачах  этого класса обычно приводятся неполные данные об итогах проведенных спортивных встреч, и требуется путем логических рассуждений получить полные данные.

     Естественно, что в большинстве случаев  решению задачи способствует оформление турнирной таблицы по данным, полученным логическим путем. Конечно, решая задачу о шахматном или футбольном турнире, нужно знать основные положения таких турниров. 
 
 

     Числовые  ребусы

     К числовым ребусам относятся арифметические выражения, в которых все или  некоторые цифры заменены символами (буквами, звездочками и т.д.) Чаще всего числовые ребусы представляют собой числовые равенства.

     Числовой  ребус представляет собой логическую задачу, в которой путем логических рассуждений требуется расшифровать значение символа и восстановить числовую запись.

     Установление  соответствия между  элементами различных

     множеств

     Множеством  называется коллекция, собрание объектов, объединенных по некоторому признаку.

     Можно говорить о множестве учеников в  классе, о множестве рыб в пруду, о множестве яблок на яблоне и так далее.

     Предметы, входящие в множество, называются его  элементами.

     Многие  логические задачи связаны с рассмотрением  нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов, между элементами которых имеются некоторые зависимости, и требуется установить эти зависимости.

     Решению таких задач помогает использование  различных таблиц и графов [7 с. 36-37].

     В современной методической системе  обучения наметился перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной  для усвоения учащимися, на формирование общелогических математических умений. Логические задачи направлены на формирование логического мышления, то есть на развитие общеинтелектуальных умений младших школьников:

     I. Анализ и синтез

- задания на рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий;

     - задания на узнавание объектов по данным признакам;

- постановка различных заданий к данному математическому объекту.

     II. Сравнение

     -  задания на обнаружение сходных признаков;

     - задания на обнаружение отличных признаков.

     III. Аналогия и обобщение

     -  задания на аналогию;

     -  задания на обобщение.

     IV. Классификация

- задания на нахождение признака, по которому произведена классификация;

     - задания на распознавание правильных группировок [10 с. 37-39].

     Особенно  можно выделить задачи на исчисление высказываний и задачи решаемые при помощи графов.

1.2 Задачи на исчисление высказываний 

      Высказывание называется всякое утверждение (или всякое предложение), о котором можно судить, истинно оно или ложно.

      Например, утверждение «2 > 0» является высказыванием и оно истинно, а утверждение «2 < 0» − ложно, утверждение же «x² + y² = z²» высказыванием не является, ибо о нем нельзя судить, истинно оно или ложно.

      Высказывания  обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a, b, c, …

      Существенной  характеристикой высказывания есть истинность или ложность; эту характеристику называют значением истинности (или истинным значением) данного высказывания.

      Значение  истинности высказывания обозначают числом 1(И), если высказывание истинно, и числом 0(Л), если высказывание ложно. Таким образом, 1 и 0 выступают как значения некоторой функции, заданной на множестве высказываний и принимающей только два значений: 1 и 0.

      Те  утверждения (или предложения), о  которых нельзя судить – истинны  они или ложны, не являются высказываниями. Например, утверждение «эта книга интересная» не является высказыванием. Не будут высказыванием предложения вопросительные и восклицательные.

      Из  простых или элементарных высказываний можно составить сложные высказывания или формулы − логические операции. Для этой цели употребляются символы, отвечающие союзам «и», «или», «если…, то…» и отрицанию «не» или «неверно, что…». Важно то, что значение истинности сложных высказываний полностью определяется значениями истинности составляющих элементарных высказываний.

      Наиболее  основными выделят следующие  логические операции над задачами:

      Конъюнкция  — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

      — в естественном языке соответствует союзу «и»;

— в алгебре высказываний обозначение & или /\ (А&B или A/\B);

Таблица истинности

 

          Дизъюнкция – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

          В математике, как правило, используется неисключающее "или", что приводит к логической операции дизъюнкции (логическое сложение), обозначаемой символом "\/ ". Получившемуся в результате сложения множеств А и В, соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

Таблица истинности

 

          Отрицание - логическая операция, которая позволяет из всякого высказывания А получить новое высказывание, отрицая его, т.е. утверждая, что высказывание А не имеет места, не выполняется. Отрицание высказывания А обозначается символом А. Запись А читается как <отрицание высказывания А> или <не А>.

Таблица истинности 

 

      Эквиваленция (логическое равенство) – это логическая операция, значение которой истинно когда оба высказывания истинны или оба ложны, и ложно во всех остальных случаях.  
        Эквивалентность высказываний А, В обозначается символом А<–>В, читается «для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В» или «В тогда и только тогда, когда А».

Таблица истинности  

 

      Импликацией – двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается ложным, если А истинно, а В - ложно, и истинным во всех остальных случаях.  
        Импликация высказываний А, В обозначается символом А—> В, читается «если А, то В» или «из А следует В». Высказывание А называют условием или посылкой, высказывание В - следствием или заключением, высказывание А—>В следованием или импликацией.

Таблица истинности

 

 

      Таблицы истинности, дают возможность заниматься своеобразным исчислением, т. е. определять значение истинности формулы на основании значений истинности составляющих высказываний.

      В задачах на исчисление высказываний приводятся сложные высказывания, образованные с помощью логических операций и  указывается, какая часть простых высказываний является истиной [8 с. 136].

      Например: Студент Петров интересуется логикой и не любит праздное времяпрепровождение.

      1. 3 Задачи использования  графов 

      Некоторые логические задачи удобно решать при  помощи построения графов. Иногда граф может играть вспомогательную роль в сочетании с другими методами решения.

      Графом называют схему (сетку, карту), составленную из нескольких точек, называемых вершинами графа, и нескольких отрезков (или дуг), соединяющих эти точки и называемые ребрами графа.

      Вершины в графе могут отличаться друг от друга тем, скольким ребрам они  принадлежат. Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

     Путем в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от начала и до конца, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

     Вершина - начало пути, вершина - конец.

      Путь  от и до называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза.

     Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины. Простым циклом в графе называется цикл, не проходящий ни через одну вершину графа более одного раза.

      Если  из каждой вершины графа по ребрам можно попасть в любую другую вершину, то граф называется связным.

      Применяя  граф к решению логических задач, обычно вершинам и ребрам графа придают  определенный смысл [21 с. 68].

      Различают следующие виды графов:

       1) Граф, все ребра которого ориентированы, называется ориентированным графом. Ребро графа называется ориентированным, если одну вершину считают началом ребра, а другую - концом.

      2)   Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом (или граф, регулярный степени).

      3)  Граф называют плоским (или планарным), если его можно нарисовать на плоскости так, чтобы никакие два его ребра не имели других общих точек, кроме их общей вершины. 

2 Методика использования логических задач на уроках математики в начальной школе

2.1 Анализ учебников  по математике на наличие логических задач 

В работе проанализированы следующие учебники по математике:

- «Математика»  М. И. Моро, С. И. Волкова, С.В.  Степанова «Школа России»;

     - «Математика» Л. Г. Петерсон «Школа 2000»

- «Математика»  Э. И. Александрова «Классическая начальная школа»

В них  используются следующие виды логических задач:

     Задания на рассмотрение данного  объекта с точки зрения различных понятий

     Прочитай  выражение всеми различными способам

а) 18+16 (это сумма чисел 18 и 16; к 18 прибавить 16; первое слагаемое 18, а второе 16; надо увеличить 18 на 16. Получится 34);

б) 34-16 (разность 34 и 16; уменьшаемое 34, вычитаемое 16; из34 вычесть 16; 34 уменьшить на 16. Получится 18) [12 с. 72].

     Задания на узнавание объектов по данным признакам

     1) Какой предмет обладает одновременно следующими признаками:

     - имеет 4 стороны и 4 угла (Ответ: четырехугольники);

     - имеет 3 стороны и 3 угла (Ответ: треугольники) [16 с. 46].

2) К  учителю подошли 6 ребят. Каждый  сдал по две тетрадки. Какое  арифметическое действие должен выполнить учитель, чтобы определить, сколько тетрадок сдали дети? (Ответ: 2*6=12) [3].

     Постановка  различных заданий  к данному математическому  объекту

1)Саша, Коля и Дима собирают марки.  У одного из них 3 марки, у другого 24, а у третьего • 8. У кого сколько марок, если известно, что у Коли не 3 марки, у Саши не 24 марки, а у Димы не 8 марок, а меньше?

     (Ответ:  У Коли - 24, у Саши  8, у Димы - 3) [13 с. 85].

     Задания на обнаружение сходных  признаков

1) Чем  похожи числа 7 и 71? (Ответ: В записи чисел используется цифра 7; эти числа нечетные).

2) Что  общего в числах 12, 26, 28, 24, 82, 62? (Ответ: Числа двузначные; делятся на 2; четные; в записи каждого есть цифра 2).

3) Назови  общие признаки чисел, получаемых  в результате действий: 42:6; 48:6 (Ответ: 7 и 8 - однозначные числа; меньше 10) [4 с. 59].

     Задания на обнаружение отличных признаков

1)Чем  отличается каждое число от  предыдущего: 12,18,26,36? (Ответ: Разница между числами 12 и 18 равна 6, в разряде единиц в первом случае 2, во втором - 8. Остальные числа рассматриваются по аналогии.

     3)Найди  «лишний» ряд. Чем он отличается  от других?

     1, 2, 4, 8,16

     2, 6, 18, 54, 162

     5, 10, 20, 40, 80

     7, 14, 28, 56, 112

     (Ответ:  «Лишний» ряд второй, так как  числа увеличиваются в 3 раза) [17 с. 41].

     Задания на аналогию

1) Подчеркни нужный ответ.

____4____       ______________3________________

четное            цифра, ответ, нечетное, сумма чисел

(Ответ:  Нечетное).

2)Допиши  ответ:

- часть  — целое, слагаемое - … (Ответ:  Сумма);

- дерево  — рубят, число - ... (Ответ: Делят);

- магазин — секция, число - ... (Ответ: Разряды) [5 с. 68]. 

     Задания на обобщение

1)Выбери  одно понятие.

- 2, 4, 6, 14, 28, 30 - цифры, числа, однозначные числа, двузначные числа, четные числа. (Ответ: Четные числа).

- Условие  и вопрос — решение, выражение,  схема, задание, задача.

(Ответ:  Задача) [6].

2)Допиши  ответ.

Слагаемое - сумма, множитель - ... (Ответ: Произведение);

Литр  — объем, килограмм - ... (Ответ: Масса) [14 с. 73].

     Задания на нахождение признака, по которому произведена  классификация

     1) Выбери правильный ответ: 1,3, 5, 7,9...;     2,4,6, 8,10...

     Ответ: 1) однозначные и двузначные числа; 2) четные и нечетные числа. (Ответ: Четные и нечетные числа).

     2) Подчеркни два самых значимых  слова для слова перед скобками: куб (чертеж, камень, сторона, дерево, углы). (Ответ: углы, сторона) [18 с. 48].

     Задания на распознавание  правильных группировок.

     1)Что  «лишнее»? Почему?

     - 62, 4, 8, 8+16, 9. (Ответ: Выражение 8+16).

     - Сумма, произведение, разность, делитель. (Ответ: Делитель)

     Метр, километр, килограмм, сантиметр, миллиметр.

     (Ответ:  Килограмм),

     2)В  классе 33 ученика. Они занимаются  в кружках музыки, рисования и  ритмики. Можем ли мы их разделить только на музыкантов, художников или танцоров? (Ответ: Нет) [15 с. 52]. 
 
 

Числовые  ребусы, содержащие операции умножения  и деления.

     ͓ * *

           8

        96

     Решение задачи. Так как при умножении двузначного числа ** на число 8 мы получаем двузначное число, то число десятков множимого должно быть равно 1.