Оглавление

1.Общая  теория кривых  второго порядка  3

Кривые  второго порядка 3

Классификация кривых второго порядка 4

Построение  кривой второго порядка  в общей и канонической системах координат 5

Эллипс 6

2.Общая  теория поверхностей  второго порядка  8

Поверхности второго порядка 8

Исследование  формы поверхности  второго порядка  методом сечения  плоскостями 9

Построение  поверхности в  канонической системе  координат 10

Параболоиды 11

Список  используемой литературы 16

1.Общая теория кривых второго порядка

Кривые  второго порядка

      Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной  системе координат xOy уравнением:

             .  (1.1)

      Если  хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка. 

      Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка существует такая декартова прямоугольная система координат XO'Y, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

      1) , а ³ b > 0 — эллипс;

      2) — мнимый эллипс;

      3) — две мнимые пересекающиеся прямые;

      4) — гипербола;

      5) — две пересекающиеся прямые;

      6) — парабола;

      7) — две параллельные прямые;

      8) — две мнимые параллельные прямые;

      9) — две совпадающие прямые.

     В этих уравнениях a, b, p — положительные параметры.

      Систему координат XO'Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy — общей системой координат.

     Функция называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (1.1).

             , (1.2)

             . (1.3)

              (1.4)

            Значения не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.

Классификация кривых второго порядка

      В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.

      Если кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

      Если  кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.

      Если кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

      Кривая  второго порядка Г называется центральной, если .

      Кривые  эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.

      Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены симметрично парами. Точка является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

         (1.5)

      Определитель  этой системы равен  . Если , то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

             , . (1.6)

      Классификация кривых второго порядка в зависимости  от инвариантов:

      1) эллипс — ; 

      2) мнимый эллипс —  ;

      3) две мнимые пересекающиеся прямые (точка) —  ;

      4) гипербола —  ;

      5) две пересекающиеся прямые —  ;

      6) парабола —  ;

      7) две параллельные прямые —  ;

      8) две мнимые параллельные прямые  —  ;

     9) две совпадающие прямые — . 

Построение  кривой второго порядка  в общей и канонической системах координат

Рис.6. Кривая в канонической системе координат

Рис.7. Кривая в общей системе координат

Эллипс

     Эллипсом  называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами  и  , расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса  или  .

     Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат  выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид

      (1)

     где  ; очевидно,  . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса.

     

     При указанном выборе системы координат  оси координат являются осями  симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии (рис.). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии - просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. Вершины эллипса суть точки A’, A, B’, B. Часто осями эллипса называются также отрезки A’A=2a и B’B=2b; вместе с тем отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок OB=b - малой полуосью.

     Если  фокусы эллипса расположены на оси  Оу (симметрично относительно начала координат), то уравнение эллипса  имеет тот же вид (1), но в этом случае  ; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой b - полуось, расположенную на оси Оу, независимо от того, что больше, a или b. Если a=b, то уравнение (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса.

     Число

     

     где а - большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно,  (для окружности  ). Если М(x; y) - произвольная точка эллипса, то отрезки  и  (рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам

      ,  .

     Если  эллипс определен уравнением (1) и  , то прямые

      , 

     (рис.) называются директрисами эллипса  (если  , то директрисы определяются уравнениями  ,  .

     Каждая  директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

     

     Если  две плоскости  и  образуют острый угол  , то проекциейй на плоскость  окружности радиуса a, лежащей на плоскости  , является эллипс с большой полуосью а; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле

     

     (рис.).

     

     Если  круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность радиуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под острым углом  , будет эллипс, малая полуось которого рвна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле

     

     (рис.).

     

3.Общая теория поверхностей второго порядка

Поверхности второго порядка

      Поверхностью  второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

         (3.1)

где, по крайней мере, один из коэффициентов  отличен от нуля.

      Уравнение (4.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.

     Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением (3.1), существует такая декартова прямоугольная система координат O'XYZ что в этой системе поверхность S задана уравнением одного из следующих канонических видов:

      1) — эллипсоид,

      2) — мнимый эллипсоид,

      3) — однополостный гиперболоид,

      4) — двуполостный гиперболоид,

      5) — конус,

      6) — мнимый конус (точка),

      7) — эллиптический параболоид,

      8) — гиперболический параболоид,

      9) — эллиптический цилиндр,

      10) — мнимый эллиптический цилиндр,

      11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z),

      12) — гиперболический цилиндр,

      13) — две пересекающиеся плоскости,

      14) — параболический цилиндр,

      15) — две параллельные плоскости,

      16) — две мнимые параллельные плоскости,

      17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

     В вышеперечисленных уравнениях a, b, c, p — положительные параметры. Систему координат O'XYZ называют канонической.

Исследование  формы поверхности  второго порядка методом сечения плоскостями

      Если  дано каноническое уравнение поверхности  S, то представление о поверхности можно получить по форме линий пересечения ее плоскостями:

      Z = h — параллельными координатной плоскости XO'Y,

      X = h — параллельными координатной плоскости YO'Z,

      Y = h — параллельными координатной плоскости XO'Z.

      Уравнения проекций линий пересечения поверхности S c этими плоскостями на соответствующие координатные плоскости получаются в результате подстановки в каноническое уравнение поверхности S Z = h, X = h, Y = h соответственно.

Построение  поверхности в  канонической системе  координат

Рис. 11. Поверхность в канонической системе координат

Параболоиды

     Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид   где   и   -- положительные числа. Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости   ,   и координатная ось   . Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому   Координаты только одной точки плоскости   могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости  , поэтому   Это уравнение параболы на плоскости   . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью   также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью   . Уравнения этой линии   Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если   . Эта точка называется вершиной параболоида. Пусть   . Первое уравнение преобразуем к виду  то есть к виду   ( 13 .14) где   ,   . Уравнение ( 13.14 ) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При   плоскость поверхность не пересекает.  Рис. 13 . 19 .Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями Найдем сечения параболоида плоскостями   , параллельными плоскости   . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям  и являются параболами, такими же, как в плоскости   , только сдвинутыми вверх на величину   , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью   (рис. 13.20).  Рис. 13 . 20 .Дополнительные сечения параболоида Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости   . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости   , а вершина скользила по параболе в плоскости  . Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.  Рис. 13 . 21 .Эллиптический параболоид Если в уравнении ( 13.13 )   , то сечения плоскостями, параллельными плоскости  , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости  , вокруг оси   (рис. 13.22).   Рис. 13 . 22 .Параболоид вращения         Определение 13 . 8   Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид   ( 13 .15) где   и   -- положительные числа.          Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости   ,   и координатная ось   . Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому  Это уравнение определяет на плоскости   пару прямых  , изображенных на рисунке 13.23. Найдем линию пересечения с плоскостью   . На этой плоскости   , поэтому   Это уравнение на плоскости  задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью   также является параболой   но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).   Рис. 13 . 23 .Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью   ,   . Уравнения этой линии  Первое уравнение преобразуем к виду   то есть к виду   ( 13 .16) где   ,   . Уравнение ( 13.16 ) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси   , а мнимая -- оси   . Полуоси равны соответственно   и   . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24). Найдем линии пересечения с плоскостями   , параллельными плоскости   . Уравнения этих линий   Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью  , только сдвинутой вдоль оси   на величину   вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.   Рис. 13 . 24 .Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений Так как   -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости   . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости   , а вершина скользила по параболе в плоскости   . Плоскость   ,   , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы ( 13.16 ), ее действительная ось параллельна теперь оси   , а мнимая -- оси   (рис. 13.25).   Рис. 13 . 25 .Дополнительное сечение Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.   Рис. 13 . 26 .Гиперболический параболоид  
 
Список используемой литературы

1. Бобылева  Л. В., Брюхина Л. С. Линейная алгебра  и аналитическая геометрия: Исследование кривых и поверхностей второго порядка: Учебно-методическое пособие  — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997
3. Лекции по аналитической геометрии МГУ 
4. Интернет ресурсы: