1) определить вид кривой 2-го порядка и найти ее каноническое уравнение 2) определить взаимное расположение

1) определить вид кривой 2-го порядка и найти ее каноническое уравнение 2) определить взаимное расположение кривой 2-го порядка и заданной прямой 3) построить линии на плоскости 4x2-24x-y2-2y+31=0 и x-y-3=0

1) определим вид кривой 2-го порядка 4x2-24x-y2-2y+31=0:
A=4, B=0, C=-1
A*C=4*-1=-4<0→ гипербола.
2) найдем каноническое уравнение кривой:
(4x2-24x)-(y2+2y)+31=0
2x-62-36-y+12+1+31=0
4x-32-y+12=4
4x-324-y+124=1
x-321-y+124=1
x-3212-y+1222=1
Гипербола с центром в точке C(3;-1), действительной полуосью a=1 и мнимой полуосью b=2.
3) определим взаимное расположение кривой 2-го порядка и заданной прямой:
Решим систему уравнений, в которой 1-е уравнение является уравнением прямой, а второе – найденное каноническое уравнение кривой из п.2:
x-y-3=0x-3212-y+1222=1⇒x-3=y4x-32-y+12=4⇒x-3=y4y2-y+12=4⇒
x-3=y4y2-y2-2y-1=4⇒x=y+33y2-2y-5=0
D4=12+3*5=16;y=1±43;
y1=-1;x1=y1+3=-1+3=2; M12;-1;
y2=53;x2=y2+3=53+3=143; M2143;53.
Вывод: прямая x-y-3=0 пересекает ветви гиперболы x-3212-y+1222=1 в двух точках: M12;-1 и M2143;53.
4) строим линии на плоскости: