Двумерный случайный вектор X,Y имеет плотность распределения вероятностей fx,y=Cxy в области D=x,y0≤x≤1, x≤y≤1

Двумерный случайный вектор X,Y имеет плотность распределения вероятностей fx,y=Cxy в области D=x,y0≤x≤1, x≤y≤1

Для нахождения постоянной C используем свойство совместной плотности распределения вероятностей
-∞∞-∞∞fXYx,ydxdy=C-∞∞-∞∞xydxdy=C01xdxx1ydy=C01x12-x22dx=C01x2-x32dx=Cx24-x4801=C14-18=C8=1
C8=1 ⟹C=8
Плотность распределения вероятностей имеет вид
fx,y=8xy
Для нахождения одномерных плотностей вероятности fXx и fYy воспользуемся условиями согласованности и вычислим необходимые интегралы, зависящие от параметра:
fXx=-∞∞fXYdy=-∞∞8xydy=8x1xydy=8xy22x1=8x12-x22=4x-x3, x∈0,1
fYy=-∞∞fXYdx=-∞∞8xydx=80yxydx=8yx220y=4y3, y∈0,1
Вне указанных интервалов плотности компонент fXx и fYy равны нулю.
Условие независимости fXYx,y=fXx∙fYy ∀x,y∈R2 не выполняется, например, в точке x,y=1,1, где
8∙1∙1≠4∙1-1∙4∙1=0
так что случайные величины X и Y являются зависимыми.
Математические ожидания и дисперсии удобно вычислить, пользуясь уже найденными одномерными плотностями fXx и fYy:
mx=-∞∞xfXxdx=01x∙4x-x3dx=401x2-x4dx=4x33-x5501=413-15=815
my=-∞∞yfYydy=01y∙4y3dy=014y4dy=4y5501=45
Dx=-∞∞x2fXxdx-mx2=01x2∙4x-x3dx-8152=401x3-x5dx-8152=4x44-x6601-64225=414-16-64225=13-64225=11225
Dy=-∞∞y2fYxdy-my2=01y2∙4y3dy-452=014y5dy-452=4y6601-1625=23-1625=275
σx=Dx=11225=1115
σy=Dy=275
Ковариация случайных величины X и Y может быть вычислена по совместной функции распределения fXYx,y:
Kxy=-∞∞-∞∞xyfXYx,ydxdy-mxmy=8-∞∞-∞∞x2y2dxdy-815∙45=801x2dxx1y2dy-3275=801x213-x33dx-3275=801x23-x53dx-3275=8x39-x61801-3275=819-118-3275=49-3275=100-96225=4225
Отсюда,
ρxy=Kxyσxσy=42251115∙275=4225∙157522=4751522≈0,4924
Вероятность события G=X≥Y находим по определяющей формуле в виде двойного интеграла от совместной плотности вероятностей по области G=X≥Y
PX,Y∈G=fx,ydxdy=8-∞∞-∞∞xydxdy=801ydyyyxdx=0
Область G=X≥Y=X=Y.