Двумерная д.с.в. (Х,Y) задана таблицей: Х\Y 4 5 6 7 1 0,08 0,10 0,10 0,03 2 0,08

Двумерная д.с.в. (Х,Y) задана таблицей: Х\Y 4 5 6 7 1 0,08 0,10 0,10 0,03 2 0,08 0,14 0,16 0,05 3 0,04 0,06 0,14 λ а) Найдите λ. б) Найдите безусловные законы распределения с.в. X и Y. в) Напишите условные законы распределения X при Y = 7, Y при X =2. г) Вычислите М(Х), М(Y), D(Х), D(Y), σ(Х), σ(Y). д) Найдите М(ХY), cov(Х;Y), rXY е) Определите, являются ли зависимыми с.в. X и Y.

А) Сумма всех вероятностей должна равняться единице:

б) Безусловные ряды распределения компонент Х и Y найдем как сумму вероятностей соответственно по столбцам и по строкам:
Х 1 2 3
Y 4 5 6 7
p 0,31 0,43 0,26
p 0,2 0,3 0,4 0,1
в) Условным законом распределения одной из СВ, входящих в систему (X, Y), называется закон ее распределения, найденный при условии, что другая СВ приняла определенное значение.
В частности, в случае системы двух дискретных случайных величин (X, Y) условным законом распределения СВ Y при условии X = xi называется совокупность вероятностей
j = 1, …, m, i = 1, …, n.
Аналогично определяется условный закон распределения дискретной СВ X при условии Y = yj.
Найдем условный закон распределения .
Полученные вероятности записываем в виде таблицы:
Х 1 2 3
Р 0,3 0,5 0,2
Найдем условный закон распределения .
Соответствующие условные вероятности находим так:
Полученные вероятности записываем в виде таблицы:
Y 4 5 6 7
Р 0,19 0,33 0,37 0,12
г) Вычисляем основные числовые характеристики случайных величин Y и Х, пользуясь рядами распределения этих величин:
д) найдем М(ХY), cov(Х;Y), rXY
= 1 · 4 · 0,08 + 1 · 5 · 0,1 + 1 · 6 · 0,1 + 1 · 7 · 0,03 +
+ 2 · 4 · 0,08 + 2 · 5 · 0,14 + 2 · 6 · 0,16 + 2 · 7 · 0,05 +
+ 3 · 4 · 0,04 + 3 · 5 · 0,06 + 3 · 6 · 0,14 + 3 · 7 · 0,02 =
=10,61

Вычисляем коэффициент корреляции по формуле :
= 0,1159
е) Так как ковариация и коэффициент корреляции не равны нулю, то случайные величины Х и Y являются зависимыми, но так как коэффициент корреляции довольно близок к нулю, то зависимость меджу Х и Y очень слабая и прямая, т.к