Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом n = 100 измерений задана корреляционной

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом n = 100 измерений задана корреляционной таблицей: 2 3 4 5 6 0,8 2 3 – – – 5 2,3 3 8 2 – – 13 3,8 – 12 17 – – 29 5,3 – – 12 9 – 21 6,8 – – 9 10 – 19 8,3 – – 3 6 1 10 9,8 – – – 1 2 3 5 23 43 26 3 n = 100 1 Найти выборочные средние , и выборочные дисперсии , . Построить уравнение линии регрессии Y на Х в виде . На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:
0,8 2,3 3,8 5,3 6,8 8,3 9,8
5 13 29 21 19 10 3
2 3 4 5 6
5 23 43 26 3
Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:
выборочные дисперсии:
2. Найдем уравнение линии регрессии у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:
выше при вычислении числовых характеристик было найдено:
,
Используя корреляционную таблицу каждому варианту признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е . , результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 3).
Таблица 3
0,8 2,3 3,8 5,3 6,8 8,3 9,8
2,60 2,92 3,59 4,43 4,53 4,80 5,67
Вычислим:
Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим
.
Решим систему по формулам Крамера:
,
тогда
Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид: .
Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии
Найдем: , .
выборочный корреляционный момент найдем по формуле
в нашем случае
,
выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле
,
в нашем случае
Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :
,
следовательно, связь достаточно вероятна.
Подставим найденные значения в уравнение , получим
,
после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х:
.
3

. , результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 3).
Таблица 3
0,8 2,3 3,8 5,3 6,8 8,3 9,8
2,60 2,92 3,59 4,43 4,53 4,80 5,67
Вычислим:
Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим
.
Решим систему по формулам Крамера:
,
тогда
Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид: .
Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии
Найдем: , .
выборочный корреляционный момент найдем по формуле
в нашем случае
,
выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле
,
в нашем случае
Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :
,
следовательно, связь достаточно вероятна.
Подставим найденные значения в уравнение , получим
,
после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х:
.
3