Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей:

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей: 2 3 – – – 5 3 8 2 – – 13 – – – – – – – – 9 10 – 19 – – 3 6 1 10 – – – 1 2 3 5 3 где , . 2.2.1 Найти выборочные средние и выборочные дисперсии . 2.2.2. Построить уравнение линии регрессии Y на Х в виде . 2.2.3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

Y
X 2 2,8 3,6 4,4 5,2
0,8 2 3
5
2 3 8 2
13
3,2
12 16
28
4,4
12 10
22
5,6
9 10
19
6,8
3 6 1 10
8
1 2 3
5 23 42 27 3 100
1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:
0,8 2 3,2 4,4 5,6 6,8 8
5 13 28 22 19 10 3
2 2,8 3,6 4,4 5,2
5 23 42 27 3
Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:
,
,
выборочные дисперсии:
,
,
2. Найдем уравнение линии регрессии у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:
,
выше при вычислении числовых характеристик было найдено:
Используя корреляционную таблицу каждому варианту признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.
,
результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).
Таблица 6
0,8 2 3,2 4,4 5,6 6,8 8
2,48 2,74 3,26 3,96 4,02 4,24 4,93
5 13 28 22 19 10 3
Вычислим:
Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим
Решим систему по формулам Крамера:
Δ = 2018,08 414,8 = 29749,0
414,8 100
Δa = 1591,2 414,8 = 9792,0
360 100
Δb = 2018,08 1591,2 = 66479,0
414,8 360
тогда
Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:
Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии
.
Найдем:
выборочный корреляционный момент найдем по формуле
,
в нашем случае
выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле
,
в нашем случае
Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :
следовательно, связь достаточно вероятна.
Подставим найденные значения в уравнение
,
получим
после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х