Двумерная непрерывная случайная величина. Плотность распределения системы случайных величин (X,Y) задана формулой fξηx,y=Cx+y,если 0<x<3,

Двумерная непрерывная случайная величина. Плотность распределения системы случайных величин (X,Y) задана формулой fξηx,y=Cx+y,если 0<x<3, 0<y<1,0, в противном случае Найти постоянную C. Найти одномерные плотности fξx и fηy случайных величин X и Y. Вычислить P(3X>Y). Вычислить математические ожидания M(X), M(Y), дисперсии D(X), D(Y), и коэффициент корреляции rxy. Являются ли случайные величины X и Y независимы?

1. Из условия нормировки получаем:
1=-∞∞-∞∞fx,ydxdy=0103Cx+ydxdy=C∙01dy∙x22+xy03=C∙01322+3∙y-022+0∙ydy=3C∙0132+ydy=3C∙32∙y+y2201=32C∙3∙1+12-3∙0+02=6C
Откуда C=16.
Получаем плотность распределения:
fξηx,y=x+y6,если 0<x<3, 0<y<1,0, в противном случае
2. Найдем одномерные плотности fξx и fηy случайных величин X и Y:
fξx=-∞∞fx,ydy=01x+y6dy=16∙xy+y2201=16∙x∙1+122-x∙0+022=16∙x+12
fηy=-∞∞fx,ydx=03x+y6dx=16∙x22+xy03=16∙322+3y-022+0∙y=12∙32+y
3 . Вычислим P(3X>Y):
P3X>Y=Dfx,ydxdy
Изобразим область D на графике:
Получаем:
P3X>Y=01y/33f(x,y)dxdy=01y/33x+y6dxdy=16∙01x22+xyy/33dy=16∙01322+3y-y32+y3∙ydy=16∙0192+3y-49∙y2dy=16∙92y+32∙y2-49∙y3301=16∙92+32-49∙13≈0,892
4. Вычислим математические ожидания M(X), M(Y):
MX=-∞∞x∙fxdx=03x∙16∙x+12dx=16∙03x2+12xdx=16∙x33+12∙x2203=16∙333+12∙322=158
MY=-∞∞y∙fydy=01y∙12∙32+ydy=12∙0132∙y+y2dy=12∙32∙y22+y3301=12∙32∙12+13=1324
Найдем дисперсии D(X), D(Y):
DX=-∞∞x2∙fxdx-MX2=03x2∙16∙x+12dx-1582=16∙03x3+12x2dx-1582=16∙x44+12∙x3303-1582=3964
DY=-∞∞y2∙fydy-13242=01y2∙12∙32+ydy-13242=12∙0132∙y2+y3dy-13242=12∙32∙y33+y4401-13242=47576
Вычислим математическое ожидание M(XY):
MXY=-∞∞-∞∞xy∙fx,ydxdy=0103xy∙x+y6 dxdy=16∙0103x2y+xy2 dxdy=16∙0112∙x33+x22∙y03dy=112∙0132∙1+ydy=34∙y+y2201=34∙1+12=98
Найдем коэффициент корреляции rxy:
rxy=MXY-MX∙M(Y)DX∙D(Y)=98-158∙13243964∙47576=0,490
5

. Вычислим P(3X>Y):
P3X>Y=Dfx,ydxdy
Изобразим область D на графике:
Получаем:
P3X>Y=01y/33f(x,y)dxdy=01y/33x+y6dxdy=16∙01x22+xyy/33dy=16∙01322+3y-y32+y3∙ydy=16∙0192+3y-49∙y2dy=16∙92y+32∙y2-49∙y3301=16∙92+32-49∙13≈0,892
4. Вычислим математические ожидания M(X), M(Y):
MX=-∞∞x∙fxdx=03x∙16∙x+12dx=16∙03x2+12xdx=16∙x33+12∙x2203=16∙333+12∙322=158
MY=-∞∞y∙fydy=01y∙12∙32+ydy=12∙0132∙y+y2dy=12∙32∙y22+y3301=12∙32∙12+13=1324
Найдем дисперсии D(X), D(Y):
DX=-∞∞x2∙fxdx-MX2=03x2∙16∙x+12dx-1582=16∙03x3+12x2dx-1582=16∙x44+12∙x3303-1582=3964
DY=-∞∞y2∙fydy-13242=01y2∙12∙32+ydy-13242=12∙0132∙y2+y3dy-13242=12∙32∙y33+y4401-13242=47576
Вычислим математическое ожидание M(XY):
MXY=-∞∞-∞∞xy∙fx,ydxdy=0103xy∙x+y6 dxdy=16∙0103x2y+xy2 dxdy=16∙0112∙x33+x22∙y03dy=112∙0132∙1+ydy=34∙y+y2201=34∙1+12=98
Найдем коэффициент корреляции rxy:
rxy=MXY-MX∙M(Y)DX∙D(Y)=98-158∙13243964∙47576=0,490
5