Двумерная В момент времени t = 0 диск соударяется одновременно с двумя стенками, имеющими нормали

Двумерная В момент времени t = 0 диск соударяется одновременно с двумя стенками, имеющими нормали n1 и n2. Непосредственно до соударения (t = -0) диск имел скорость v (может быть любого (!) направления и величины). Диск и стенки абсолютно твёрдые и абсолютно гладкие (трения нет), пара диск - стенка 1 имеет коэффициент восстановления е1 , пара диск - стенка 2 имеет коэффициент восстановления е2. Какой будет скорость диска сразу после соударения (t = +0) ?

Введем в рассмотрение три декартовых системы координат:
Первая с центром в точке О и осями x и y; при этом ось х проходит через вершину угла конуса и является биссектрисой этого угла.
Вторая с центром в точке O1, которая является точкой касания шара с левой плоскостью
Третья с центром в точке O2, которая является точкой касания шара с правой плоскостью
Обозначим угол конуса через 2β, а угол между вектором скорости V и осью х через α
Поскольку направление вектора V скорости V произвольное, то
-900≤α≤900
Проекции вектора скорости на оси выбранных осей декартовых систем координат равны:
Vx1=Vcosγ1; Vу1=Vsinγ1 ;
Vx2=Vcosγ2; Vу2=Vsinγ2 ;
γ1=90-β-α
γ2=90-β+α
При α>0 вектор Vx1 направлен противоположно оси О1x1 ;
Вектор Vx2 направлен вдоль оси О2x2
Следовательно, шар будет взаимодействовать с левой стенкой и будет иметь место косой удар
Запишем основное уравнение удара:
mU-V=S
Спроецируем векторное равенство на нормаль и касательную к плоскости контакта:
mVx1-Ux1=S
mVy1-Uy1=0
Uy1=Vy1→U=Vsinγ1sinφ
Коэффициент восстановления будет равен
e1=Ux1Vx1=U∙cosφV∙cosγ1=Vsinγ1sinφ∙cosφV∙cosγ1=tgγ1tgφ
Поскольку коэффициент восстановления e1<1, то угол отражения φ больше угла падения
Величина скорости после удара равна:
U=Ux12+Uy12=(e1∙Vcosγ1)2+(Vsinγ1)2=V(e1∙cosγ1)2+(sinγ1)2
γ2=90+β-α
При α<0 вектор Vx1 направлен вдоль оси О1x1 ;
Вектор Vx2 направлен противоположно оси О2x2
Следовательно, шар будет взаимодействовать с правой стенкой и будет иметь место косой удар о правую стенку
Спроецируем векторное равенство на нормаль и касательную к плоскости контакта:
mVx2-Ux2=S
mVy2-Uy2=0
Uy2=Vy2→U=Vsinγ2sinφ
Коэффициент восстановления будет равен
e2=Ux2Vx2=U∙cosφV∙cosγ2=Vsinγ2sinφ∙cosφV∙cosγ2=tgγ2tgφ
Поскольку коэффициент восстановленияe2<1, то угол отражения φ больше угла падения
Величина скорости после удара равна:
U=Ux22+Uy22=(e2∙Vcosγ2)2+(Vsinγ2)2=V(e2∙cosγ2)2+(sinγ2)2
При α=0 вектор Vx1 направлен противоположно оси О1x1 ;
Вектор Vx2 направлен противоположно оси О2x2
γ2=γ1=90-β
Шар будет взаимодействовать одновременно с левой и правой стенкой и будет иметь место два косых удара
e1=tgγ1tgφ1
e2=tgγ2tgφ2
Величина скорости после удара равна:
U=Ux12+Uy12+Ux22+Uy22=
=(e1∙Vcosγ1)2+(Vsinγ1)2+(e2∙Vcosγ2)2+(Vsinγ2)2=
=V(e1∙cosγ1)2+(sinγ1)2+(e2∙cosγ2)2+(sinγ2)2