Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей: Таблица

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом измерений задана корреляционной таблицей: Таблица 3 2 2,8 3,6 4,4 5,2 0,8 2 3 – – – 5 2 3 8 2 – – 13 3,2 – 12 16 – – 28 4,4 – – 12 10 – 22 5,6 – – 9 10 – 19 6,8 – – 3 6 1 10 8 – – – 1 2 3 5 23 42 27 3 1. Найти выборочные средние и выборочные дисперсии . 2. Построить уравнение линии регрессии у на х в виде . 3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки и построить прямую .

Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:
Таблица 4
0,8 2 3,2 4,4 5,6 6,8 8
5 13 28 22 19 10 3
Таблица 5
2 2,8 3,6 4,4 5,2
5 23 42 27 3
Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:
,
,
выборочные дисперсии:
,
,
2. Найдем уравнение линии регрессии у на х по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов а и b:
,
выше при вычислении числовых характеристик было найдено:
,
Используя корреляционную таблицу каждому варианту признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.
,
результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).
Таблица 6
0,8 2 3,2 4,4 5,6 6,8 8
2,48 2,7385 3,2571 3,96361 4,0211 4,24 4,9333
Вычислим:
Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим
Решим систему по формулам Крамера:
тогда
Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:
Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии
.
Найдем:
выборочный корреляционный момент найдем по формуле
,
в нашем случае
выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле
,
в нашем случае
Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим :
следовательно, связь достаточно вероятна.
Подставим найденные значения в уравнение
,
Получим
Преобразуем полученное выражение:
3