Электрическая цепь, показанная на рис. 1, питается от источника синусоидального тока с частотой 180 Гц и

Электрическая цепь, показанная на рис. 1, питается от источника синусоидального тока с частотой 180 Гц и напряжением 220 В. Дано: R = 12 Ом, L = 14 мГн, C = 200 мкФ. Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей. рис. 1

Дано: f=180 Гц, U=220 В, R = 12 Ом, L = 14 мГн, C = 200 мкФ.
1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи
Индуктивное реактивное сопротивление, где индуктивность катушки равна L=14 мГн=14∙10-3 Гн составляет
XL=2πfL=2∙3,14∙180∙14∙10-3=15,826 Ом
Емкостное реактивное сопротивление, где емкость емкостного элемента равна C=200 мкФ=200∙10-6 Ф будет равно
XC=12πfC=12∙3,14∙180·200∙10-6=4,423 Ом
Реактивное и полное сопротивления всей цепи:
общее реактивное сопротивление цепи – это разность между индуктивным XL и емкостным XC сопротивлением, т.е.
X=XL-XC=15,826-4,423=11,403 Ом
Общее сопротивление всей цепи
Z=R2+X2=122+11,4032=16,554 Ом
2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи
Ток в цепи по закону Ома составит
I=UZ=22016,554=13,29 A
Напряжения (рис.1) на участках, т.е. на элементах цепи по закону Ома составят:
напряжение на резистивном элементе R:
U1=R∙I=12∙13,29=159,48 B
напряжение на индуктивном элементе (катушке):
U2=XL∙I=15,826∙13,29=210,328 B
напряжение на емкостном элементе
U3=XC∙I=4,423∙13,29=58,782 B
3. Вычисление мощностей
Активная мощность
P=R∙I2=12∙13,292=2119,489 Вт
Реактивные мощности:
реактивная мощность индуктивного элемента равна
QL=XL∙I2=15,826∙13,292=2795,253 BAp
реактивная мощность емкостного элемента равна
QC=XC∙I2=4,423∙13,292=781,208 BAp
Полная мощность цепи
S=U∙I=220∙13,29=2923,8 BA
или
S=P2+QL-QC2=2119,4892+2795,253-781,2082=2923,8 BA
4

. Расчет цепи методом комплексных чисел
Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи:
комплексное сопротивление резистивного элемента R R = 12ej0° = 12 Ом
комплексное сопротивление индуктивного элемента LXL = 15,826e+j90° = j15,826 Ом
комплексное сопротивление емкостного элемента C
XC = 4,423e-j90° = -j4,423 Ом
комплексное сопротивление всей цепи
Z = R + j (XL - XC) = 12+ j (15,826 - j4,423) =12+j11,403 Ом.
На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис.2а).
В сторону оси действительных чисел вправо откладываем величину вектора активного сопротивления R длиною
lR=R2=122=6 см
Из конца вектора R под углом 90° вверх вдоль оси мнимых чисел откладываем вектор индуктивного сопротивления величиной
lL=XL2=15,8262=7,9 см
Из конца вектора XL под углом 90° к вектору активного сопротивления R вниз вдоль оси мнимых чисел откладываем вектор емкостного сопротивления величиной
lC=XC2=4,4232=2,2 см
Полученный таким образом треугольник сопротивлений показан на рис.2а
Рис.2
Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ
Z=R2+(XL-XC)2=122+(15,826-4,423)2=16,554 Ом
φ=arctgXL-XCR=arctg15,826-4,42312=43,5°
В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде
Z=Ze+jφ=16,554ej43,5° Ом
Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи
I=UZ=220ej0°16,554ej43,5°=13,29e-j43,5° A
Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ