Функция y=fx задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: а)найти точки

Функция y=fx задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: а)найти точки разрыва функции, если они существуют, и определить их тип; б)сделать чертеж. y=1x+1, если x<-1;1-x2, если -1≤x<2;3-3x, если x≥2.

Это «кусочная» функция, каждая ее часть определена на своем интервале. Подозрительными на разрыв являются точки x=-1 и x=2. Исследуем функцию в этих точках.
1) x=-1 .
а)В точке x=-1 функция определена , ее значение в этой точке равно:
y-1=1--12=1-1=0.
б)Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
limx→-1-01x+1=1-1-0+1=1-0=-∞ ;
limx→-1+01-x2=1--1+02=1-1-02=0.
Левосторонний предел бесконечен, а правосторонний конечен и равен нулю, поэтому в точке x=-1 функция терпит разрыв второго рода.
2) x=2.
а)В точке x=2 функция определена , ее значение в этой точке равно:
y2=3-3∙2=3-6=-3
б)Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
limx→2-01-x2=1-2-02=1-4-02=-3;
limx→2+03-3x=3-3∙2+0=3-6-0=-3.
Получили: limx→2-0yx=limx→2+0yx=-3 - односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.
в) limx→2yx=y2=-3 - предел функции в точке х = 2 равен значению данной функции в данной точке.
Следовательно, функция y=fx непрерывна в точке х = 2 по определению непрерывности функции в точке.
Б)Сделаем чертеж:
Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х = -1, в которой она терпит разрыв второго рода.