Функция fz разложена в ряд Лорана в окрестности своей изолированной особой точки z0, где

Функция fz разложена в ряд Лорана в окрестности своей изолированной особой точки z0, где 0<z-z0<R. fz=-n=0∞sin1+πn2n!∙z-1n, z0=1; А) Определите тип особой точки z0 и найдите в ней вычет функции fz. Б) Вычислите с помощью вычетов интеграл z-1=r fzz-1dz, если 0<r<R.

Известно, что если ряд Лорана для функции fz в окрестности изолированной особой точки z0 не содержит главной части, то точка z0 является устранимой особой точкой; если главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, то z0- полюс; если же главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, то z0- существенно особая точка.
Для заданного ряда имеем:
fz=-n=0∞sin1+πn2n!∙z-1n=-sin1-sin1+π2z-1-sin1+π2∙z-12-…
Очевидно, что в главной части ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, поэтому изолированная точка z0=1 является существенно особой точкой.
Вычетом Resz=af(z) функции f(z) в точке z=a называется коэффициент C-1 разложения функции в ряд Лорана по степеням z-a . Для заданного разложения функции в ряд Лорана коэффициенту C-1 соответствует
слагаемое -sin1+π2z-1,
значит, Resz=1fz=-sin1+π2=-cos1.
Согласно основной теореме о вычетах,
Г fzdz=2πik=1nResz=zkfz.
В нашем случае подынтегральной функцией является fzz-1
где функция
fz представлена рядом Лорана

. Для заданного разложения функции в ряд Лорана коэффициенту C-1 соответствует
слагаемое -sin1+π2z-1,
значит, Resz=1fz=-sin1+π2=-cos1.
Согласно основной теореме о вычетах,
Г fzdz=2πik=1nResz=zkfz.
В нашем случае подынтегральной функцией является fzz-1
где функция
fz представлена рядом Лорана