На дифракционную решетку, содержащую 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется

На дифракционную решетку, содержащую 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана 1,2 м. Границы видимого спектра: кр=780 нм, ф= 400 нм. Дано: n = 6·105 м−1 L = 1,2 м λкр =780 нм = 7,8·10–7 м λф =400 нм =4·10–7 м Найти: ℓ ― ?

Для спектра первого порядка условие максимума при дифракции на дифракционной решётке имеет вид:
dsinφкр=λкр
dsinφф=λф,
где d = 1/n ― период дифракционной решётки.
sinφкр = λкр/d = nλкр;
sinφф = λф/d = nλф.
Из рисунка:
х/L = tgφкр
x=Ltgφкр=Lsinφкр1-sin2φкр=L⋅nλкр1-n2λкр2; (1)
l+xL=tgϕф;
l+x=Ltgφф=Lsinφф1-sin2φф=Lnλкр1-n2λф2. (2)
Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):
l=Lnλкр1-n2λф2-L⋅nλкр1-n2λкр2=nL⋅λкр1-n2λф2-λкр1-n2λкр2;
С учётом начальных данных:l=6⋅105⋅1,2⋅7,8⋅10-71-(6⋅105)2⋅(7,8⋅10-7)2-4⋅10-71-(6⋅105)2⋅(4⋅10-7)2=0,16(м)
Ответ: l=0,16(м)